Pi 是永恆 (二)

上回我說亞視永恆。但我錯了,亞視已執粒。不過圓周率 \pi 卻是真的永恆,不會錯。

今次我們來看看,在公元前兩百多年,阿基米德 (Archimedes) 是如何計算 \pi。阿基米德用的方法叫做窮盡法 (method of exhaustion),但我喜歡叫它做三文治方法。以下就讓我們試試把 \pi 像夾三文治般夾出來。

首先,想像有一個半徑為 R 的圓形,在圖的內外各畫一個緊貼著的正方形。由下圖中可以看出,外面較大的正方形邊長為 2R、裡面較小的正方形對角線就是圓形的直徑,長為 2R

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畫得樣衰,sor9ly sosad。注意 B = R 只有正方形 (n = 4) 才成立。

我們想要知道圓周,那就可以計算 \pi = C/(2R) = (圓周/直徑) 了。由上圖可知圓周 C 比內正方形週界 p 長、比外正方形週界 P 短。因此

p \le C \le P

那麼,pP 分別有多長?在《畢氏定理 X 圓 X 三角學》文中我們學會了用三角函數去表示三角形邊長之比。看上圖可知 b = R\sin\thetaB = R\tan\theta。在我們上圖中正方形的例子中正方形有 n = 4 條邊,因此 p = 2n \times bP = 2n \times B\theta = 360/(2n) = 360/8 = 45 度。所以我們就有

2nb \le C \le 2nB

2nR\sin[360/(2n)] \le C \le 2nR\tan[360/(2n)]

n\sin(180/n) \le C/(2R) \le n\tan(180/n)

所以,當我們使用 n = 4 的正方形去夾圓形時,就可以知道 \pi = C/(2R) 介乎 4\sin(45) \approx 2.8284\tan(45) = 4 之間。似乎使用正方形去夾並不足夠。我們可以增加邊的數量 n 去逼近 \pi,如下圖:

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想像當 n 越來越大,外內圖形就會越來越像一個圓形。當 n 趨向無限大時,我們就有

\lim_{n\to\infty} n\sin(180/n) \le C/(2R) \le \lim_{n\to\infty} n\tan(180/n)

我們嘗試計算 \lim_{n\to\infty} n\sin(180/n)\lim_{n\to\infty} n\tan(180/n)。把兩式各乘以 (180/180),就有

\lim_{n\to\infty} n\sin(180/n) = \lim_{n\to\infty} 180 \times \sin(180/n)/(180/n)

以及

\lim_{n\to\infty} n\tan(180/n) = \lim_{n\to\infty} 180 \times \tan(180/n)/(180/n)

我們可以把 180/n 叫做 x,所以 n 趨向無限大就即是 x 趨向 0。如果各位有學過極限,就必定學過 \lim_{x\to 0} \tan(x)/x = 1 和 \lim_{x\to 0} \sin(x)/x = 1,這是考試必考之題 (嗱,我貼緊題喇)。於是我們就有答案

180 \le C/(2R) \le 180

即是

\pi = C/(2R) = 180 度,

用角度 (degree) 與孤度 (radian) 的定義,即是 C/(2R) = \pi rad。阿基米德當年用了兩個正 96 邊形去夾,得出 \pi 介乎 3.1408 與 3.1428 之間。今天我們可以輕易地用電腦去算,如下圖般我用兩個正 1024 邊形去夾,得出 \pi 介乎 3.14159 與 3.14160 之間。

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電腦計算出用正多邊形的三文治方法夾出來的圓周率。紅點是下限、藍點上限、紫色直線是圓周率的真正數值。

這就是如何用窮盡法去找出圓周率 \pi。下次再介紹多些 \pi 的趣事。

\pi是永恆。

封面圖片:

羅馬軍隊攻入敘古拉城之時,阿基米德正在地上思考數學。

延伸閱讀:

古希臘的科學 (五) 撐起地球的支點》- 余海峯

Pi 是永恆 (一)》- 余海峯

三角 X 斜率 X 微積分》- 余海峯

畢氏定理 X 圓 X 三角學》- 余海峯

加菲證明畢氏定理》- 余海峯

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三角 X 斜率 X 微積分

上回介紹了三角學的基本函數 sine 和 cosine 與圓形的關係。在下回介紹圓周率 \pi 之前,有一項非常重要的結果必須首先介紹。

對於一條任意畫的線,只要它是可以一筆過不斷開地畫出來和沒有尖角的 (嚴謹的數學概念叫連續的和可微分的),那麼我們就可以定義一個叫做斜率的東西:

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換句話說,斜率就是描述該線段相對於橫軸的斜度而已,即是講一道斜坡相對於平地有多斜。從上式定義之中,可見斜率以小數或分數來表示的。日常生活中,通常我們都習慣用角度表示斜率,不過這對我們的討論沒有影響。

數學中一個非常重要的技巧就是微積分 (calculus)。微積分是牛頓 (Isaac Newton) 萊布尼茲 (Gottfried Leibniz) 在同一時期分別獨自發現的。現在我們用的微積分符號是萊布尼茲的版本。如果沒有微積分,今天我們日常生活中各式各樣便利的現代發明都不可能存在。微積分可說是人類史上最重要的數學發現。

故名思義,微積分就是微分和積分的運算。在我們的討論裡不會用到微積分的運算,大家只需要記住:微分就是計算無限短的線段的斜率的方法。至於積分我們會在以後再講。

上回圖中,我們知道了 sine 和 cosine 函數的圖形。現在我們問,它們的斜率是多少?換句話說,我們問:

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有學習過微分運算的讀者,必定能夠立即說出答案:

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上式中我們使用了 \textrm{d} 代替 \Delta,以表示無限小的改變。這只是數學慣用符號而已,只要我們記得現在所做的一切都是在趨向無限短的線段上做的,那麼兩個符號在概念上就是一樣的。

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現在,讓我們來試試不使用微分運算去找出 sine 和 cosine 的斜率吧!首先考慮上圖。圖中有一半徑為 R 的圓形,圓心為 O 點。把 R 從水平逆時針畫出一角度 \theta,連起 O 點和 A 點。再繼續逆時針畫出一細小角度 \Delta\theta,連起 O 點和 B 點。所以 A 和 B 都在圓周之上。現在同時由 A 點垂直向上及由 B 點水平向右畫,相交於 C 點。因此角 ACB 就是一個直角。下圖是 A、B、C 點附近的放大。

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根據 cosine 的定義 (見上回討論),我們可以直接看出直線 BC 的長度就是

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\Delta\theta 趨向無限小的時候,三角形 ABC 的邊 AB 就會趨向圓形的弧 AB。因為圓弧長度等於 R\Delta\theta,我們就有

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現在需要一點平面幾何想像力。由於 \Delta\theta 趨向無限小,角 OAB 就趨向直角。所以我們可以看出角 BAC 等於 \theta。考慮三角形 ABC,我們就有

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最後把 (1) 和 (2) 式相等,就有

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上式左邊的就是 cosine 斜率的定義。因此,我們就證明了 \frac{\textrm{d}\cos x}{\textrm{d}x}=-\sin x。證明  \frac{\textrm{d}\sin x}{\textrm{d}x}=\cos x 的方法亦一樣,只需要重複上述步驟找出 AC 的長度就可以了,有興趣的讀者可以自行證明。

下回,就讓我們來證明圓周率 \pi 是永恆不變的常數吧!

延伸閱讀:

畢氏定理 X 圓 X 三角學》- 余海峯

加菲證明畢氏定理》- 余海峯

畢氏定理 X 圓 X 三角學

大家知道畢氏定理、圓、三角學這三樣東西有著密切的關係嗎?

首先,我們來考慮一個直角三角形:

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[圖一]

根據前文討論過的畢氏定理,我們就有 a2 + b2 = c2

現在來考慮一個圓形。我們可以如何定義一個圓形呢?

「指定一點叫做圓心 O ,向任一方向伸延一長度 R,然後將這長度 R 繞 O 轉一圈,那麼 R 的頂點畫出來的形狀就定義為『圓』,並且 R 稱為這圓的半徑。」

好了,我們現在有了三角函數和圓的定義,就來看看它們之間有什麼關係吧!首先,我們把 O 放在二維平面上,並使 O 與 (x, y) = (0, 0) 重疊。我們問,一個半徑為 R 的圓形,如何以 (x, y) 座標表達呢?看看下圖,我們在圓周上隨意選一點 (x, y) = (a, b),並與 O 點連接,因此 (x, y) = (a, b) 和 O 之間的長度就是半徑 R。

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[圖二]

然後在 (x, y) = (a, b) 點垂直於橫軸畫一直線,就得到了一個直角三角形。根據畢氏定理,我們就有 a2 + b2 = R2。而由於 (a, b) 可以是圓周上的任何一點 (x, y),所以我們就得到了圓形的數學表達方程:

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接著,我們來談談三角學。三角學,簡單地說,當然就是研究三角形的學問了。而三角學的基本,大家都知道就是 sine、cosine 和 tangent 三個三角函數 (中文分別是正弦、餘弦和正切)。現在定義 sine、cosine 和 tangent 為圖一之中直角三角形裡夾角 θ 的函數:

sin θ = a/c

cos θ = b/c

tan θ = a/b

即是,其實 sin θ 就是對邊 a 與斜邊 c 之比、cos θ 就是底邊 b 與斜邊 c 之比、tan θ 就是對邊 a 與底邊 b 之比。舉一個例子,如果我們有一個圓,把定的半徑 R 設為 1 (設為什麼數字也沒有關係,不過 R = 1 比較方便下面的解釋而已),那麼根據 sine 和 cosine 的定義,b 就直接等於 sin θ、a 就直接等於 cos θ 了。換句話說,可以想像 sine 和 cosine 都是跟隨著圓周上的一點 (x, y) = (cos θ, sin θ) 在逆時針公轉!這樣的話,我們就得到了 sine 和 cosine 的函數形狀了:

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[圖三]

最後,我們再從畢氏定理出發,就得到下面的三角函數與圓形的關係:

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相信心水清的讀者,看到這裡已經猜到我的陰謀了:現在我們已經有了足夠的工具,下回我們就開始討論期待已久的圓周率了!

延伸閱讀:

加菲證明畢氏定理》- 余海峯