相對論、量子力學、黑洞和反物質

愛因斯坦發表相對論至今已超過 100 年。百年之間,無數科學家使用各種方法檢驗相對論,所有結果都與愛因斯坦寫下的方程式的結果吻合,從未出錯。

䇄立不倒的相對論

自邁克生(Albert Michelson)與莫雷(Edward Morley)在 1887 年做的光干涉實驗驗證了狹義相對論的假設,到 2015 年位於美國的兩座激光干涉重力波天文台(LIGO)直接探測到廣義相對論預言存在的重力波,愛因斯坦的相對論的所有預言已全被實驗和天文觀測驗證。無獨有偶,這兩個發現同樣都基於光干涉實驗,巧合呼應愛因斯坦發現相對論之前所作的光線騎士思想實驗。

不過,這並不代表在未來不會發現相對論出錯。牛頓力學在很多情況仍然適用,例如計算太空探測器的軌道並不需要使用相對論。在需要比較精確的數據時,如全球衛星定位系統,才必須利用廣義相對論去糾正重力影響時間流逝速率的效應。沒有人知道在未來更加精確的測量下,相對論的公式會否出現偏差。

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Animated image converted from video by The News Lens Hong Kong. Original video credit: R. Hurt – Caltech/JPL

相對論與量子力學

物理學家非常清楚相對論與量子力學的假設互不相容。簡單地說,相對論禁止比光速更快地傳遞資訊,而量子力學則允許資訊在一刹那間橫跨宇宙。神奇地,描述大尺度時空的相對論與描述極微細粒子的量子力學,兩者於其應用範疇的預言都未曾出錯。

現在,物理學界傾向認為相對論並非大自然最基本的定律。很多人相信未來人類會找到能夠取代相對論、又與量子力學相容的時空和重力理論。

黑洞「火牆」

從前黑洞被認為是永不消失的。根據相對論,沒有任何物質能由黑洞視界(即光線也不能逃逸的界線)裡逃脫。然而,霍金(Stephen Hawking)在 1974 年預言,黑洞亦會以輻射粒子的形式流失能量。根據量子力學,真空並非真的一無所有,而是充斥著虛粒子對。量子力學裡的穿隧效應意味宇宙可以由虛無之中「借」來能量以產生虛粒子對,就好像這些虛粒子對由虛無之中穿越隧道到我們的宇宙中來,然後在極短時間內又互相碰撞、湮滅消失。宇宙似乎是個好債仔,有借有還。

霍金想像在黑洞的視界附近會有大量的虛粒子對產生又消失。可是,如果這些虛粒子對在非常接近黑洞視界出現的話,那麼它們就有可能在重新碰撞消失之前,其中一個粒子「不小心」越過了視界,落入沒有回頭路的黑洞之中。這樣的話,另一個粒子就失去了能與其湮滅的伴侶,能夠逃逸到遠處。由於能量必須守恆,逃逸的粒子帶有正能量,掉入黑洞裡的粒子就必須帶有負能量。所以對於遠方的觀測者來說,就如同黑洞拿自己的能量發射出一個帶有正能量的粒子。這個效應被稱為霍金輻射。

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美國科學人雜誌曾以黑洞火牆理論作為封面故事。

近年有理論物理學家發現,霍金輻射可能顯示相對論在黑洞視界失效。相對論的公式不能應用於無限密度。愛因斯坦本人也清楚,在黑洞中央、密度無限大的奇點,相對論會失效。不過,由於黑洞的奇點永遠被視界包圍,而沒有任何資訊能夠從視界內傳遞出來,所以相對論在視界外的宇宙仍力保不失。

愛因斯坦說,一個人不可能以任何實驗或觀測分辨出自己正受重力影響加速、或是位於無重力的慣性參考系之中。這叫做等效原理,是廣義相對論的基本假設。相對論公式說明,視界內外的時空並無分別,等效原理同樣適用。可是有理論物理學家發現霍金輻射在一般條件下會在視界外形成一道超高溫的高能量粒子「火牆」,任何穿越視界的人都會被極高能量𣊬間分解成基本粒子。如果真的如此,那就意味著相對論在視界外已經失效。不過,現時仍未有任何觀測證據能檢驗這個黑洞火牆理論。

反物質支持相對論?

迪拉克(Paul Dirac)在 1928 年把量力子學與狹義相對論結合,預言了反粒子的存在。他發現結合了狹義相對論的薛丁格方程有兩個數學解,其中一個是正常的物質,另一個是擁有相反物理特性(例如相反電荷)的物質。現在,我們稱這道公式為迪拉克方程,叫擁有相反物理特性的物質做反物質。

反物質的其中一個未解之謎,就是究竟它們會否擁有「負質量」?迄今所有科學觀察皆顯示質量只有「正」、沒有「負」。因此萬有引力只能相吸,不像電磁力般能相吸或相斥。

由於反物質碰到物質就會立即湮滅,長時間地控制並觀察反物質非常困難。今年,歐洲核研究組織(CERN)的物理學家團隊首次成功測量反氫原子(antihydrogen)的發射光譜。反氫原子由一個反質子(antiproton)與一個正子(positron,即反電子)構成。他們發現反氫原子的發射光譜與普通的、由一個質子與一個電子構成的氫原子完全一樣。這亦代表反氫原子與氫原子的量子能階結構相同,而且同樣擁有正質量。

這個發現支持相對論的正確性。就如前面所述,等效原理是相對論的基本原則。如果反氫原子與氫原子的發射光譜不同,科學家就能夠透過觀察反氫與氫的光譜推斷出自己是否正被重力場吸引。這就違反了等效原理,相對論就是錯的。

相對論能繼續䇄立嗎?

費曼(Richard Feynman)說過:「科學知識是不同肯定程度的陳述的整體。有些非常不確定、有些差不多確定,但沒有任何是絕對確定的。」

Scientific knowledge is a body of statements of varying degrees of certainty – some most unsure, some nearly sure, but none absolutely certain.

其實,當科學家說一個舊科學理論被「推翻」了,並不代表那理論是錯的。如同愛因斯坦相對論取代牛頓力學一樣,我們仍然可以用牛頓力學公式計算出大部分相對論預言的重力效應,只是兩者在很多個小數位後會有差異。因此我們會說,相比牛頓力學,我們更有信心相對論比較正確。我們不會說牛頓力學沒有用,因為在低速、低重力的日常情況下,牛頓與愛因斯坦的公式的計算結果沒有分別。

無論日後人類能否找到比相對論更精確的重力理論,大自然定律依舊不會改變、物件依舊會向下掉、地球依舊會繞太陽公轉。唯一不同的是,人類對大自然的了解會更深、更準確。

這就是科學的意義。

延伸閱讀:

霍金輻射論文

測量反氫原子發射光譜論文

愛因斯坦教授 你是正確的

費曼誕辰:談科學精神、機率和不確定性

光速:宇宙高速公路的速度限制

為什麼夜空是黑色的?

這是一個非常古老的問題。問題的答案並不簡單,涉及對光線本質以及宇宙的理解。

想像宇宙是一個大球體,地球在球體正中心。球體裡面有隨機分佈的發光點,代表一顆又一顆的恆星。有些星星離中心點地球比較近、有些比較遠。想像這個球體不斷變大,新的星星在新的空間裡隨機生成。如果這個球體趨向無限大,星星的數量就會趨向無限多。由於星星的分佈是隨機的,我們從中心點往任一方向觀測,視線都必然會落在某一顆星之上。如果光線不需要傳播時間,即光速無限,那麼夜空就應該是白色的!

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奧伯斯悖論示意圖。Image courtesy of Kmarinas86/Wikimedia Commons

這個問題叫做奧伯斯悖論 (Olbers’ paradox),是從前一個著名的科學悖論。現在我們知道宇宙並非無限大、可觀測宇宙大小有限、宇宙中星星的數量並非無限多、光速亦非無限快,因此從較遠的恆星出發的光不夠時間傳播到地球。

1861 年,馬克士威證明光是電磁波。當時的科學家都相信,就如同其他波動需要傳播媒介一樣,傳播光波亦需要一種假想的媒介,稱為以太。1907 年,阿爾伯特・邁克生 (Albert Michelson) 因為使用干涉儀非常準確地測量出光的速率而獲頒諾貝爾物理學獎。光速大約為每秒 30 萬公里,只需 1.3 秒就能從地球走到月球。

邁克生干涉儀實驗的另一目的是測量地球在以太之中運行的速率。他以為於一年四季不同時間做同樣的光干涉實驗,實驗結果理應會顯示光速因地球在以太中運動方向不同而有所分別。可是,邁克生和莫雷 (Edward Morley) 的干涉儀實驗結果顯示,不論地球的運動方向,光速都沒有改變。

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地球在假想的以太之中以不同方向運動會導致光速測量結果不同。Image courtesy of Cronholm144/Wikimedia Commons

愛因斯坦在 1905 年發表狹義相對論,解釋了邁克生和莫雷的實驗結果。相對論之中,時間和空間被結合成為一體,叫做時空。由於時間和空間的物理單位不同,我們需要一個因子去在兩者之間轉換。這個因子有著距離除以時間的單位,即是速率。這個速率是宇宙間所有物質的極限速度,因為跟據相對論,質量非零的物質需要無限多能量才能達到此極速。

愛因斯坦認為光是傳播資訊的最快方法。邏輯裡的因果定律成立是因為沒有資訊能傳遞快過光。因此,光速就是這個宇宙中的終極速度限制,而這個極速跟據相對論是個常數,永恆不變。在光速不變的前提下,空間會因觀測者的運動狀態不同而收縮。所以,相對論亦意味著光波不需要以太或任何傳播媒介。

相對論其實並沒要求光速不變而且為宇宙極速,只是這個極速必須剛好等於光速,才能解釋我們所觀察到的所有物理現象。因此,一直有理論物理學家研究可變光速理論。

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狹義相對論對光速不變導致時空收縮的數學圖解。不同顏色代表不同運動狀態的觀測者的時空。Image courtesy of Army1987/Wikimedia Commons

理論物理學家 João Magueijo 自 1990 年代起研究可變光速,亦寫了一本不錯的科普書講述他在發表論文時遇到的困難和科學家之間的合作與衝突。由於光速可變這假設會動搖所有物理理論的基礎,很少科學家會投入自己一生職業去研究。

今年 10 月,Magueijo 與合作者 Niayesh Afshordi 在科學期刊 Physical Review D 上發表了一篇新的可變光速研究論文,他們推導出宇宙微波背景 (cosmic microwave background, CMB) 的純量光譜指數 (scalar spectral index)。這是第一次可變光速理論研究能夠提供一個實在的數字去與觀測作比較。

現在的觀測結果雖然與 Afshordi 和 Magueijo 理論的數字吻合,但他們未能解釋光速可變會導致其他物理常數改變的後果。例如,光速可變意味著電磁力的大小在過去、現在、未來都不相同。這樣的話,依靠電磁力的化學知識全部都要改寫,科學家就很難解釋宇宙如何演化成今日的模樣、甚至地球上亦未必可以演化出生命。

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Afshordi 和 Magueijo 的可變光速論文明確預言宇宙微波背景光譜能量分佈斜率等於 0.96478(64)。Afshordi & Magueijo 2016, Phys. Rev. D, 94, 101301

“The predicted value is within current constraints, but improved observations would unambiguously prove or rule out the theory.” – Afshordi & Magueijo (2016)

光速是否可變是一個重要的科學問題,絕對有必要研究。然而為光速可變理論下結論,仍言之尚早。就如 Afshordi 和 Magueijo 所說,未來更精確的觀測結果將能證實或證偽光速可變理論。

提出預言、對比實驗,科學也。

延伸閱讀:

Critical geometry of a thermal big bang, Afshordi & Magueijo 2016, Phys. Rev. D, 94, 101301

光之系列:夜空為什麼是黑的?》- EVEREST. 議事之峰

1907年諾貝爾物理獎:阿爾伯特・邁克生》- 余海峯

超光速與時間倒流:叮噹可否不要老》- 余海峯

照亮相對論的光 (上)》- 余海峯

照亮相對論的光 (下)》- 余海峯

愛因斯坦教授 你是正確的

萬一觀測結果與你的理論不符呢?

1919 年,愛因斯坦的一個學生如此問他。那天,愛丁頓 (Sir Arthur Stanley Eddington) 在西非普林西比島 (Príncipe) 以電報向全世界傳送他的日全食觀測結果。他的觀測顯示星光的確被太陽重力扭曲,成為愛因斯坦廣義相對論的第一個證據。

若然如此,我會為上帝感到惋惜。我的理論是正確的。

愛因斯坦這樣回答。

今年 2 月 11 號,激光干涉重力波天文台 (LIGO) 正式發表人類史上首次直接觀測到重力波 GW 150914 的證據。6 月 14 號,LIGO 再發表第二個重力波 GW 151226 的證據。

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GW 151226 重力波訊號。(Abbott et al. 2016, PRL 116, 241103)

這兩個重力波都是雙黑洞結合系統所釋放出的。另外比較少人留意的是 LIGO 同時發表了第三個疑似重力波 LVT 151012 的證據。相比 GW 150914 與 GW 151226 的 99.99997%,LVT 151012 只有 87% 機會是真實的重力波。

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三個重力波訊號在天空上的可能來源方向。(Abbott et al. 2016, arXiv:1606.04856)

這三個重力波訊號打開了人類觀察宇宙的另外一個窗戶。幾千年的人類文明以來,我們終於能夠以電磁波以外的方法觀察這個宇宙。如果人類文明能夠延續下去,這肯定佔有未來歷史書中極其重要的一頁。

另一方面,這三個重力波訊號也帶給了人類另一個難題:為什麼擁有幾十倍太陽質量的雙黑洞系統比我們想像的還要多?這對於人類了解恆星演化和宇宙演化等課題極為重要。

今年剛好是愛因斯坦發表廣義相對論 100 週年。97 年前,廣義相對論的第一個預言「星光偏折」得到了證實。今年,廣義相對論的最後一個預言「重力波」也得到了驗證。科學就是如此的一門學問,能夠用嚴謹的數學作出在 100 年後以 99.9999% 準確度證實的預言。

我想像,如果愛因斯坦得知人類在過去一個世紀窮幾代科學家一生努力才能夠在今天證實他的預言,他應該會說:「我早就知道,我的理論是正確的。」

封面圖片:LIGO, NOVA | Einstein’s Big Idea

延伸閱讀:

GW 150914 論文:Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger

GW 151226 論文:GW151226: Observation of Gravitational Waves from a 22-Solar-Mass Binary Black Hole Coalescence

三個重力波觀測結果的論文預印:Binary Black Hole Mergers in the first Advanced LIGO Observing Run

LIGO 第 2 次發現重力波 再證愛因斯坦廣義相對論》- 立場報導/eh

重力波:愛因斯坦的最後預言 (上)》- 余海峯

淺談 E=mc^2:愛因斯坦 137 歲誕辰

每年的 3 月 14 號是 Pi Day 圓周率日,因為 Pi = 3.141529……。

今天同時也是愛因斯坦 137 歲生日。去年 3 月 14 號,我寫了《拋開常識的學者.愛因斯坦》一文去紀念這位物理學家的 136 歲誕辰。文中我介紹了愛因斯坦的前半生平。關於他的成名之作相對論,我後來也在其他文章了作了簡單介紹,包括《你也能懂相對論》淺談狹義相對論的基本數學和《照亮相對論的光(上)、(下)》介紹了相對論與電磁學的關係。

很多讀者都跟我說,希望我寫一篇關於愛因斯坦最著名的方程式 E = mc^2 的文章。在今天愛因斯坦 137 歲誕辰,我們就來看看愛因斯坦在 1905 當年是如何推導出這家傳戶曉的質能轉換公式吧!

任何一本現代物理學或相對論教科書,無論是本科或研究生程度,都必定會講解 E = mc^2 的推導過程,涉及四維向量和微積分的數學技巧。不過,原來愛因斯坦當年的推導並沒有使用這些數學工具,而是用更直接的物理去得出 E = mc^2 這結論。

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我家靜止不動的兩隻喵星人。

想像有一隻喵星人。愛因斯坦本來並非說喵星人,而是一個廣義的物理系統,只不過我選擇喵星人做這個物理系統。這隻喵星人會發光(我們今天不討論生物學)。喵星人在靜止不動的時候(牠們很擅長),就有

總能量 = 喵星人能量 E_0

然後想像喵星人發光。由於光是能量,所以我們就會有

總能量 = 喵星人發光後的能量 E_1 + 光的能量。

假設喵星人放出的光總能量為 L。現在隨意選擇一個方向叫做 x,如果我們與喵星人相對靜止,就會觀察到一半的光能量 \frac{1}{2}L 沿著 +x 方向擴散開去、另外一半的光能量 \frac{1}{2}L 沿著 -x 方向擴散開去。因此就有

總能量 = 喵星人發光後的能量 E_1 + \frac{1}{2}L + \frac{1}{2}L

現在,假設我們觀察喵星人發光的時候並非靜止不動,而是沿著與 x 軸的一個夾角 \theta 方向以均速 v 跑。跟據狹義相對論,我們也可以說自己是靜止的,是喵星人在沿著與 -x 軸的一個夾角 \theta 方向以均速 -v 跑。所以我們就有

總能量 = 喵星人能量 H_0

注意 H_0 不等於 E_0,因為喵星人的運動狀態不同。然後,我們亦見到喵星人發光。我們知道一道波動在不同的波源運動狀態下,其頻率會有所改變,例如我們會聽到救護車的警報聲由高頻變成低頻,這現象叫做都普勒效應 (Doppler effect)。光也是波動的一種(電磁波動),因此也會有都普勒效應。不過由於光以光速行進,聲波的都普勒公式並不適用,我們需要使用相對論都普勒公式:

頻率比 = 能量比 = \frac{1+v/c \cos\theta}{\sqrt{1-v^2/c^2}}

所以

總能量 = 喵星人發光後的能量 H_1 +\frac{1}{2}L \times \frac{1+v/c \cos\theta}{\sqrt{1-v^2/c^2}} + \frac{1}{2}L \times \frac{1-v/c \cos\theta}{\sqrt{1-v^2/c^2}}

於由能量守恆,喵星人發光前後的總能量必須相等,簡化後就有

E_0 = E_1 + L

H_0 = H_1 + \frac{L}{\sqrt{1-v^2/c^2}}

現在我們來想一想,究竟這兩條公式代表什麼?首先我們會發現 \theta 不見了。這是合理的,因為 \theta 方向是可以隨意選擇的,任一 \theta 都不應該影響最後的物理結論。然後我們能夠看出 H_0 - E_0 = K_0 是喵星人發光前的能量於兩個運動狀態下觀測的差別、 H_1 - E_1 = K_1 是喵星人發光後的能量於兩個運動狀態下觀測的差別。因於喵星人從來沒有做過除發光外的事,這兩個能量差別 K_0K_1 必定是喵星人在兩個運動狀態下被觀測到的動能。

把上述兩式相減,我們就得到

K_0 - K_1 = \frac{L}{\sqrt{1-v^2/c^2}} - L

把上式右邊做泰勒展開 (Taylor expansion),忽略所有 4 次方或更高冪項,就得到近似值

K_0 - K_1 = \frac{1}{2}\frac{L}{c^2}v^2

這代表什麼呢?如果 K_0K_1 來自動能,其差也必來自動能。相信大家都知道動能的公式是 \frac{1}{2}mv^2(相對論的動能公式作泰勒展開並忽略所有 4 次方或更高冪項後也是 \frac{1}{2}mv^2),因此

\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}\frac{L}{c^2}v^2

化簡後得到

m = \frac{L}{c^2}

即是發光的能量來自喵星人的質量。除了發光外,考慮任何能量為 E  的物理過程,上述推導過程都完全一樣。因此

E = mc^2

愛因斯坦,祝你生日快樂。喵。

延伸閱讀:

拋開常識的學者.愛因斯坦》 – 余海峯

你也能懂相對論》 – 余海峯

照亮相對論的光(上)》 – 余海峯

照亮相對論的光(下)》 – 余海峯

封面圖片:http://www.hetemeel.com/einsteinform.php

被取代的科學理論

在科學中,我們時不時會聽到「某某理論已經被新理論取代」的新聞。拋開內容農場之類的假新聞不說,究竟在科學之中,說一個理論「被取代」或者「錯」的意思是什麼?

Well,如果你有留意,牛頓的萬有引力理論在 100 年前已經被愛因斯坦的廣義相對論取代了。

(賣個廣告:2016 年是廣義相對論發表 100 週年,敬請留意我將為立場寫的專題)

在廣義相對論之中,萬有引力不再被描述為一種力,而是時空的扭曲結果。

萬有引力理論預言光線不受重力影響,但廣義相對論說會;萬有引力理論說時間與空間互相獨立,但廣義相對論說時空本為一體;萬有引力理論預測的水星近日點進動與廣義相對論預測的數值不同。還有其他許多不同之處,而實驗與觀測證據皆顯示廣義相對論才是「正確」的。

換句話說,萬有引力理論是「錯」的。但很明顯,直到今天仍然很不幸地有許多跳樓輕生或失足墜樓的新聞。

為什麼?不是說萬有引力已被新理論取代了嗎?

精確的說,科學理論其實不是自然現象的解釋。大自然從來不需要解釋;科學理論是人類對自然現象的描述。

舊的科學理論之所以被說是「錯」的,純因它們對自然現象的描述沒有新理論那麼精確。在萬有引力理論對廣義相對論的例子中,其精確程度其實在很多情況下都可以忽略。例如水星近日點進動,現代儀器測量得到的數值是每世紀 0.1594 度,比萬有引力理論預測的多了每世紀 0.0119 度。這好比一個人在田徑場繞圈跑,跑了一個世紀才跑偏了 30 厘米。而廣義相對論的預測則與觀測吻合。

非常好。可是,很多人只著眼於新理論如何在精確程度要求高的情況下比舊的優勝,卻忽略了同樣重要的一點:在精確程度要求低的情況下,新理論必須還原至 (reduce to) 舊有理論。當我們用比較差的實驗儀器和望遠鏡時,廣義相對論與萬有引力理論的預測必須互相吻合。舉個極端的例子,當我們以身做試驗 (大家千萬不要學),從崖邊跳出去時,我們必須向下墜落。因為這是我們對於「重力」這個東西最最最根本的觀察:物質往下墜落。

換句話說,假使愛因斯坦的廣義相對論預測物質並非往下墜落而是往上上升,那麼即使他的理論在先進的實驗觀測結果下如何精確也沒有用,因為它未能還原至舊理論。

另一個我想討論的科學理論,是達爾文的演化論。拋開那些不知所謂的偽科學不說,很多人仍然以為新的理論將能夠取代「物種會演化」這個概念。

很遺憾,物種會演化的證據,就如同物質會墜落的證據一樣,多如天上繁星。物種演化不是比卡超進化,是經過很多代的遺傳加上環境壓力才能顯著地顯示出來。因為物種演化的時間尺度比物質墜落的長很多,所以人類的腦袋比較難直觀感受。順帶一提,其實在星系的尺度,物質墜落的時間也能夠長至億萬年之久。

換句話說,物種會演化,就如同物質會墜落一樣,是基本的觀察事實。最簡單的例子就是細菌會變種,人人皆知。這不是細菌有智能可以知道如何抵抗藥物,而是細菌的繁殖速率高 (以天甚至小時計),所以自然汰擇能夠在人類感知得到的時間內使細菌帶有抗藥性。在細菌變種的例子中,人類發展的藥物就是環境壓力。

總而言之,假使有朝一日,新的理論出現,提供了對於物種變遷更精確的描述,它也不可能完全推翻演化論的根本:物種會演化和物質會墜落的證據,皆鐵證如山。任何新的物種理論都必須還原至演化論。就如同任何新的時空理論都必須還原至廣義相對論、萬有引力理論。阿門。

封面圖片:http://www.richard-feynman.net/gallery.htm

延伸閱讀:

區分科學與偽科學的價值在哪? — 以一個真實的法律案件為例》- 楊梓燁

演化之鑰:人類獨特基因 或致腦部更發達》- ac

恐龍如何變成雀鳥》- 小肥波

行星.生命.演化》- 余海峯

請尊重事實:有些文章,可看,但請別 share》- 余海峯