勿忘童真:米高.法拉第 (Michael Faraday)

米高.法拉第 (22.9.1791 – 25.8.1867) 是我最尊敬的科學家之一。

 

 

 

[左、法拉第,約 1861 年。右、法拉第繪畫的電磁感生實驗圖,約 1821 年。Michael Faraday, Experimental Researches in Electricity, Vol. 2, Plate 4]

19 世紀的英國是個階級分明的社會。法拉第因為家境貧窮,沒有錢讀書,要去書店做書本釘裝學徒,賺錢生活和養家。不過法拉第並沒有氣餒,這經驗反而使他有機會接觸各種書籍。他每天一邊釘裝書本,一邊讀書。法拉第最有興趣的是科學,他大部分的科學知識都是這樣不屈不朽地自學的。

當時的倫敦聖誕科學講座由漢弗里.戴維,第一代從男爵 (Sir Humphry Davy, 1st Baronet) 主持,喜愛科學的法拉第當然不會錯過,跑去做聽眾。當其他人都在看戴維表演的時候,法拉第卻認真地做筆記,回家可以溫習。他更把筆記整理好,再自行釘裝,送了給戴維,希望能夠在戴維的實驗室工作。

可是,戴維看不起這個窮小子,沒有給他工作。

幾年後,戴維因為一次實驗室意外弄傷了眼睛,因此聘請法拉第當實驗室助理。雖然法拉第的工作更像一個僕人,但他依然全心全意做好戴維要他做的事,同時把他接觸到的知識全部學習,一滴不漏。法拉第十分高興,因為他終於能夠做科學研究了。

因為這樣,大自然的光照亮人類科學。最終,法拉第發現了電磁感生 (electromagnetic induction),即是著名的法拉第定律:改變的磁場能感生電流。法拉第用磁鐵感生出一個電流,使浸在水銀中的電線迴轉運動,就是現代摩打與發電機的原理。法拉第在實驗中造出世上第一個摩打,然而他並不知道在百多年後的今天,他的研究對世界貢獻有多大。

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法拉第和他尊敬著的導師決裂。圖片來自 PBS 科學紀錄片 Einstein’s Big Idea (2005) 之中法拉第的故事。

戴維曾經有一段時間非常看不起出身低微的法拉第,妒忌法拉第的成就超越自己。他用自己的權力打壓法拉第,阻撓他進入皇家學會 (Royal Society)。因為法拉第出色的研究成果,他於 1824 年獲選為皇家學會院士。然而,法拉第始終感激著這個給他機會做科學研究的老師,並一生都非常尊敬他。有傳戴維在臨終前,也終於說出身為科學家引以自豪的說話:

我這一生最大的發現,就是法拉第。

法拉第從未受過高等教育,嚴格來說戴維只是他的僱主而非老師。法拉第的數學知識非常有限,只懂得基本三角與代數的他,憑過人的洞察力、對科學的熱誠、堅毅的研究態度,發現了電、磁、光三種概念的關係。在法拉第晚年時,數學物理學家馬克士威 (James Clerk Maxwell) 以高等數學歸納出電磁學的所有定理。馬克士威方程有一個結果:光是電磁波,證明法拉第的電磁理論是正確的。

現代物理之中電容的單位,就是以法拉第命名 (Farad, F)。法拉第發展出力線 (line of force) 概念,用來描述和計算力場的大小及方向。馬克士威非常欣賞力線概念,形容法拉第為「一個能夠啟發後世、非常高等的數學家」:

[The lines of force show Faraday] to have been in reality a mathematician of a very high order – one from whom the mathematicians of the future may derive valuable and fertile methods.

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法拉第在實驗室裡做實驗。

戴維死後,倫敦聖誕科學講座一直由法拉第主講。法拉第希望他的講座能夠吸引和啟發更多像他當年一樣的小伙子,所以他在講座裡做的實驗都是有趣味和有啟發性的前沿發現,深受小朋友喜愛。

有一年,法拉第在他著名的倫敦聖誕科學講座示範他的電磁實驗。實驗完結後,觀眾之中有一位女士問他:「法拉第先生,請問這樣做有什麼用途?」

法拉第很禮貌地回答:「我的女士,請問一個初生嬰兒有什麼用途呢?」

My Lady, of what use is a newborn baby?

人類文明進步和科技突破,往往來自意想不到的科學發現。法拉第教會了我,在科學的背後,是孩童們純粹的好奇心。法拉第知道,某天某講座裡某座位上,將會坐著另一個法拉第。

法拉第生平介紹影片:

 

封面圖片:法拉第的聖誕科學講座,吸引了很多小朋友的目光。

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照亮相對論的光 (下)

這是相對論與電磁學系列的暫時最後一篇文章。經過《你也能懂相對論》《光的祕密》《照亮相對論的光 (上) 》的討論,最後我們終於可以來討論電磁學與相對論的關係了。我現在要告訴你:「磁」只是「電」的相對論結果!

物理學家總是喜歡簡化事物。我們發現,只要用電現象放在相對論的時空中,自然就會得到磁現象了!這是多麼的深刻,又是多麼的美麗!

在入正題之前,我想各位明白一個道理:不懂數學絕對沒有問題!不懂一個學科絕對不是你的錯。「學問」裡最重要的除了「學習」其實就是「發問」。不論你是什麼身分,不懂就老實的說不懂,然後去學習和發問。我希望我的文章能夠刺激各位讀者去思考,這就是學問的精神,也是科學精神。

有一次,一個記者問愛因斯坦聲音的速度是多少,愛因斯坦回答說:「這些能夠在書中找到的資料並不存在於我的腦海之中。…… 學校教育的價值並非去學習很多事實,而是去訓練腦袋如何思考。」

“[I do not] carry such information in my mind since it is readily available in books. …The value of a college education is not the learning of many facts but the training of the mind to think.”

幫助數學背景不高的讀者理解科學,正正就是我寫科普的目的。希望所有人都能夠感受到自然定律的深刻和美麗,和抽象的數學在演繹科學概念時的重要性。比起理解數學推導過程更重要的,是了解科學背後的求真精神。

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若讀者沒有中學物理背景,我現在嘗試用文字解釋下面的數學:如果一條電線內有電流 I 在流動,就會產生一個磁場,其大小為

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其中 r 為測量磁場的點與電線中心的距離。

在下面的數學,我將會假設我們不知道世界上有磁場這個東西,然後證明當使用相對論的洛倫茲公式在電力身上時,會發現有一個並非電力的、額外的力存在。神奇的是,我們會看到這個額外的力的大小會剛好等於 (1),於是就證明了「磁」只是「電」的相對論結果!

在做 [沉悶的……] 數學證明之前,先來讓我們重溫電磁學的歷史發展吧!

GodfreyKneller-IsaacNewton-1689在 17 世紀,因為爆發疫情,大學休假,所以牛頓暫時回到家鄉。他在家鄉的這段時間裡,獨自完成非常多的科學研究,堪稱牛頓的奇蹟年。除了他那個家傳戶曉的蘋果樹故事外,他更發現了運動三定律、發明了微積分、從重力方程推導出開普勒的行星軌道方程,當然還有他那著名的稜境分光實驗。

蘋果樹的故事很可能是假的、而且微積分的功勞也不能全歸於他:萊布尼茲 (Gottfried Wilhelm Leibniz) 在同一時間獨立地發明了微積分,而且我們現在使用的微積分符號都是萊布尼茲的版本。但牛頓對大自然的深刻洞見是千真萬確的,尤其在最多人忽略的光學實驗之中,對後世的影響絕對不比發現萬有引力為少。

光,是人類接觸、感受、領悟自然的最直接途徑。牛頓發現了白光與色彩的關係,打開了日後光學研究的大門;當時的折射式望遠鏡因為鏡片打磨困難,很難加大倍率,他發明了牛頓式反射望遠鏡,這一設計沿用至今;他發明的微積分高等應用技巧「變分法」在以後被其他科學家用來解釋光的折射現象。所以,光的科學故事可以說是由牛頓開始的。

Ørsted故事跳到 19 世紀,轉眼百多年。人類對光學、電學以及磁學的研究已經非常多年,研究數據也非常豐富。可是一直要到奧斯特 (Hans Christian Ørsted) 意外地發現電流可以影響指南針,人類才首次發現電與磁是有關係的。大自然其實一直都在指示我們,可是很多時候我們卻視而不見。

奧斯特並沒有對這些發現視而不見。他雖然沒有用數學去描述這些現象,但他知道電流磁效應是一個非常重要的科學發現,他對此做了很多實驗,為科學界提供了非常豐厚的實驗數據。為了紀念他證明電流會產生磁場,在天文界使用的 CGS 單位之中的磁感應單位 oersted 就是以他的名字命名。

Andre-marie-ampere2用數學去精確描述奧斯特發現的人,是安培 (André-Marie Ampère)。現在,我們可以用安培定律準確地描述由電流產生的磁場,其實上面的第 (1) 式就是來自安培定律,不過我把證明留給有興趣的讀者。

奧斯特的發現與安培的工作很大程度幫助了人類理解「能量」這一概念。在當時的科學界,能量這個概念仍然相當模糊。很多科學家認為世上有很多不同種類的能量,但奧斯特與安培的研究結果卻顯示電能是可以轉化成磁能的,因此促進了能量概念的統一。其中最重要的、亦最廣為人知的能量統一研究,當然是愛因斯坦的 E=mc^2 了。而因為他的研究貢獻,安培的名字也永垂千古,人類現在以他的名字命名電流的單位 ampere。

SS-faraday法拉第是我最尊敬的科學家之一。他對科學的求真態度和對人的謙虛,都非常值得我們每一個人去學習。19 世紀的英國是個階級分明的社會。法拉第因為家境貧窮,沒有錢讀書,要去書店做書本釘裝學徒為生和養家。可是他並沒有因此氣餒,因為這樣反而令他有機會接觸不同的書籍,所以他每天一邊釘裝書本,一邊讀書。他最有興趣的是科學,他大部分的科學知識都是這樣不屈不朽地自學的。

當時的倫敦聖誕科學講座由戴維主持,喜愛科學的法拉第當然不會錯過,跑去做聽眾。當其他人都在看戴維表演的時候,法拉第卻認真地做筆記,回家可以溫習。他更把筆記整理好,再自行釘裝,送了給戴維。戴維因為看到他三番四次的誠意,因此聘請他做研究助理。因為這樣,大自然把光照到人類的科學界,最終使法拉第發現了電磁感生效應,即我們在中學會學到的「改變的磁場能夠感生電流」,這就是著名的法拉第定律。

Sir_Humphry_Davy,_Bt_by_Thomas_Phillips雖然戴維曾經有一段時間看不起出身低微的法拉第,並因為妒忌法拉第而用自己的權力打壓他。有傳戴維在臨終前,也終於說出作為科學家的驕傲的說話:「我這一生最大的發現,是發現了法拉第。」無論如何,法拉第始終尊敬這個給他機會做科學研究的老師,一生都非常尊敬他。在戴維死後,倫敦聖誕科學講座一直由法拉第主講,因為法拉第希望他的講座能夠吸引和啟發更多像他當年一樣的小伙子,所以他的講座所做的實驗都是有趣味和有啟發性的前沿發現,深受小朋友的喜愛。

James-clerk-maxwell3然後,就是我們在前文提過的馬克士威發現電磁方程式、赫茲證明電磁波真實存在等等。最後出場的是愛因斯坦。很多人 (包括我以前) 都以為愛因斯坦發現狹義相對論是因為力學的原因,其實不然。事實上,真正吸引愛因斯坦思考相對論的,是上回討論的電磁實驗。以下,我嘗試用最少程度的數學,為讀者證明:我們日常接觸的電磁鐵,其實就是相對論的一個活生生的實證。

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好了,現在讓我們來動手做數學證明:考慮一條電線,見圖 (1)。電線裡有一連串的正電荷正以速率 向右移動。想像電荷之間是如此的接近,以致可被想像成連續的正電荷密度 +λ。想像有負電荷密度 λ 以同樣的速率 向左移動。所以我們就有電流 I = 2λv。現在,有一個點電荷 在電線旁邊以速度 u <平行電線向右運動。由於圖中正負電荷密度相等,因此沒有任何電力會作用於 身上。我們稱這個座標系為 S

現在考慮另一個以速率 u 向右移動的座標系 S’,見圖 (2)。因為 S’ 與電荷 q 同向一方向運動而且速率一樣,所以在 S’ 裡的觀測者會看到電荷 q 靜止不動。根據愛因斯坦速度相加法則 (參考《你也能懂相對論》之中的第 (5) 式),正電荷和負電荷在座標系 S’ 中的速率分別為

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因為

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所以負電荷的速率比正電荷的速率高。換句話說,負電荷的洛倫茲收縮程度會比正電荷的嚴重,因此在座標系 S’ 中觀察時,這條電線是帶負電的!

現在我們來搞清楚各個坐標系中的電荷密度的關係。根據洛倫茲收縮公式,設 λ0 為靜止正電荷的電荷密度。注意,λ0 與 +λ 是不同的!+λ 是正電荷在座標系 S 裡的電荷密度 (正電荷不是靜止),而 λ0 是正電荷靜止時的電荷密度。所以,當我們在就座標系 S’ 中觀察時,就有

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當我們在就座標系 S 中觀察時,就有

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把 (2) 和 (3) 式分別代入 (5) 和 (6) 式,就得到

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所以,在就座標系 S’ 中觀察時,總電荷密度就等於

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所以,我們發現在不同座標系中觀察時,總電荷密度會有所不同。

由於在座標系 S’ 中觀察時總電荷密度不是零,根據高斯定律,會有電場

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因此,座標系 S’ 之中,電荷 q 所受的電力為

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問題來了:如果在坐標系 S’  中電荷 q 會受力的話,在坐標系 S 中它也必定會受力,因為物理定律是唯一的!這個力的大小是

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(關於力的變換公式,我在此略去,有興趣的讀者可以自行參考相對論教科書)

由於討論開始時我們假設只知道電力的存在,因此在坐標系 S 中必定存在另外一種力,這種力是由電力及相對論性效應導致的!這是甚麼力?當然就是磁力了。要看到這點,只需要把光速

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(參考《光的祕密》第 (14) 式)

代入 (12) 式,我們就得到

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但這是甚麼?還認得括號中的是甚麼嗎?對了,括號中的是一條電線裡的電流所產生的磁場,即是第 (1) 式!

如果讀者覺得以上數學和文字很悶,這裡有一段 YouTube 影片講解同樣的東西 (別罵我為什麼不早說,早說了你還會讀我這篇文章嗎?)

當然,關於相對論還有更多有趣的題目,以後可以和各位讀者討論。在這一連四篇關於相對論、光、電磁學等等的文章之中,希望大家也和我一樣,在領略大自然的深刻之餘,得到一點點的樂趣。

照亮相對論的光 (上)

我在《光的祕密》文中討論了電磁學的發展,以及馬克士威方程如何預言電磁波的存在。但是在 19 世紀末的物理學界仍然存在好幾片烏雲,而且正不斷擴大。其中一片就是牛頓力學與電磁學的結論互相抵觸。

相對性原理 (principle of relativity) 其實並非愛因斯坦所發現的。人類似乎很早就知道 (卻沒有去追問為甚麼,彷彿一切都是必然的) 我們能在行駛中的船上以在地上一樣的力度和角度打桌球、廚師能以在地上一樣的技巧將薄餅拋來拋去、而你也能夠在正以時速 900 公里飛行的飛機上從容不迫地與在地面上一樣做相同的動作。看來,我們習慣所有東西都是理所當然的。懷海德 (Alfred North Whitehead) 說

“It requires a very unusual mind to undertake the analysis of the obvious.”

伽利略是個 unusual mind。他發現了鐘擺等時定律、也發現了物質具有慣性 (inertia),即沒有被施外力的物質會一直保特其運動速度,即是以同樣的速率與方向繼續運動。所以相對性原理其實是伽利略發現的。

牛頓也知道伽利略發現了這個超越古希臘的知識。由觀察蘋果和月球的運動得出萬有引力定律的牛頓,肯定也是個 unusual mind。這是發生在 17 世紀的故事,距公元 5 世紀愛奧尼亞文明的衰亡足足遲了 1200 多年。我經常想像,如果阿基米德沒有被羅馬士兵所殺,也許人類文明會比現在進步上千年。

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回到主題。究竟描述光的電磁學與描述時空的相對論有何關係?關係在於電磁波動方程:

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其中 E 及 B 分別為電場及磁場,它們頭上的箭咀表示它們是三維向量。由上述公式可知電磁波的存在,其速度約為每秒 30 萬公里。究竟秒速 30 萬公里有甚麼問題呢?這個數字本身沒有問題,問題在於這一數字是個常數,即其數值不會改變。在數學中,我們都清楚知道常數的數學規則。但在現實中,「光速是個常數」究竟是甚麼意思?「不會改變」究竟是指何種情況之下不會改變?愛因斯坦的答案是:在宇宙間任何時間、地點、運動狀態下都不會改變!

想像小明在火車車廂中以速度 u 跑步,而火車正以速度 v 行駛,所以在月台上的人看到小明的速度就應該是 u + v 吧!接下在,我們想像正在跑步的不是小明,而是一道以速度 c 前進的光線。請問在月台上的人看到的這道光線正在以甚麼速度行進呢?是 c + v 嗎?不!答案是 c。無論這道光線向著哪個方向發射,其速度都是 c,不多也不少。

你可能會問:「這怎麼可能!如果我以光速向著一道光線跑去,我不是會看到兩倍光速嗎?」不,結果仍然是 c。在這場牛頓對馬克士威的比賽中,大自然選擇了馬克士威。馬克士威的電磁理論在宏觀的大尺度事物上是正確的,它與愛因斯坦的相對論相容,但與牛頓的絕對時間、空間概念相悖。大自然告訴我們,速度不是 1 + 1 = 2。在《你也能懂相對論》一文中,我們已經討論過狹義相對論,故此不再重複。相對性原理說明,宇宙間沒有絕對速度,可被測量的只有相對速度。即是說,月台上的人可以說是火車在運動,火車上的人也可以說是月台在運動,兩者的說法都一樣正確。

現在我想以電磁學的角度去討論相對論。一個運動中的帶電粒子會同時產生電場與磁場,而靜止中的帶電粒子則只會產生電場,沒有磁場。問題來了:哪究竟這粒子有沒有產生磁場?如果一個觀測者 A 相對於該粒子為靜止,他將不會測量到任何磁場。但如果有另一個觀測者 B 相對觀測者 A 運動,他將會測量到一個磁場,因為觀測者 B 相對該粒子也在運動。可是,物理現象必須是唯一的,因為同一個事件不可能得出兩個不同的結論。

我們來進一步分析這個問題。假設你有一個任意形狀的線圈和一塊可以改變磁場強度的電磁鐵。我們試試把電磁鐵穿過線圈,你可以做三個實驗:

  1. 固定電磁鐵,移動線圈;
  2. 固定線圈,移動電磁鐵;
  3. 固定線圈及電磁鐵,改變磁場強度。

如果我們真的做這三個實驗,會得到什麼結果呢?由於時間關係,我把結果告訴你:三個實驗都發現有電流通過線圈,其數值都完全一樣!

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法拉第做了這些實驗。在實驗 (1) 裡,產生電流的原因是磁力。根據洛倫茲力方程式 (Lorentz force equation),由於沒有電場存在,作用於線圈內每單位電荷的力就是

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其中 u 為電荷的速度。由於磁通量 (magnetic flux) 是

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參考上圖,線圈由時間 t 的位置移動到時間 t + dt 的位置,帶狀範圍就是 [並非由硬幣導致……] 磁通量的改變,其量為

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考慮圖中點 P,經過了 dt 的時間後它移動至 P’ 的位置。如果 v 為電線段的速度,u 為電荷在電線內的速度,所以 w = v + u 就是電荷在點 P 的速度。由於每一格帶狀區域的面積就是 dA = (v x dl) dt代入 (3) 式就得到

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因為 u 平行 dl 於,所以我們就有

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現在利用恆等式

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可以把 (5) 式改寫成

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由於 w 就是電荷在點 的速度,所以 (w x B) 就是電荷所受的磁力,根據 (1) 式我們就有

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最後,根據電動勢的定義

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我們就得到

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亦即我們在中學學過的「電動勢等於磁通量的負改變率」

另一方面,我們也可以試試來考慮實驗 (2) 和 (3),看看會得到什麼有趣的結果。

首先,我們知道改變中的磁場能夠感生一個電場。實驗 (2) 和 (3) 中的電動勢均由此電場產生,其強度與第 (10) 式中的一樣:

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現在使用第 (2) 式,我們就會得到

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這就是積分版本的法拉第定律,對它作旋度 (curl) 就可得到在《光的祕密》一文中的微分版本法拉第定律。

在實驗 (2) 和 (3) 中,法拉第發現線圈內的電動勢的數值,竟然恰巧等於實驗 (1) 中所得的數值!你可能會說:「當然!根據相對論,重要的只是線圈和電磁鐵的相對運動,所以實驗 (1) 與實驗 (2) 和 (3) 所得的結果必然一樣。」可是,當年的法拉第並不懂得相對論,愛因斯坦也還未出世。而且這也不足以解釋實驗 (3) 的結果為何也是一樣。由電磁學的角度看,這純粹是個漂亮的巧合。法拉第也有個 unusual mind,他的直覺告訴他,「電」與「磁」應該是相同的物理現象。不過他一直要等到馬克士威發現他的馬克士威方程式,法拉第的假設才被證明。

由這些討論我們可以得出甚麼結論?基於完全不同的物理過程,實驗 (1) 與實驗 (2) 和 (3) 得到相同的電動勢:實驗 (1) 中產生電動勢的是磁場,而實驗 (2) 及 (3) 中產生電動勢的卻是改變中的磁場所感生的電場。嚴格來說,實驗 (1) 的結果並非法拉第定律,因為法拉弟定律所指的是由磁場所感生的電場。這個分別看似無聊,但是正正因為這一分別,令愛因斯坦得到靈感,最終發現狹義相對論。愛因斯坦在他的論文中指出,這個事實顯示在電動力學與力學中,根本不存在絕對靜止的概念。

電動力學 (electrodynamics) 就是研究電磁現象與粒子的相互作用的物理學分支。與牛頓力學不同,由馬克士威方程式出發的電動力學與相對論相容。當時大部分科學家都認為,牛頓力學在物理學界已經屹立了幾百年,而馬克士威寫下他的方程式只有區區幾十年,所以馬克士威一定是錯的。但愛因斯坦並沒有因為理論誕生的先後次序而否定馬克士威方程式。

歷史證明愛因斯坦又是另一個 unusual mind。在科學裡,無論一個理論的歷史有多悠久、它的數學有多嚴謹、提出它的人有多著名,只要它不符合觀察結果,它就是錯的。科學裡只有事實,沒有權威。

法拉第曾用磁鐵感生出一個電流,使浸在水銀中的電線迴轉運動。這其實就是現代發電機與摩打的原型,法拉第在實驗中造出世上第一個發電機和摩打,然而他並不知道在百多年後的今天,他的研究對世界造成多大的貢獻。

有一年,法拉第在他著名的倫敦聖誕科學講座示範他的電磁實驗。實驗完結後,觀眾之中有一位女士問他:「法拉第先生,請問這樣做有什麼用途?」

法拉第很禮貌地回答:「我的女士,請問一個初生嬰兒有什麼用途呢?」

“Mr. Faraday, of what use is this?”

“Madam, of what use is a newborn baby?”

就像在《光的祕密》提到的赫茲一樣,法拉第不知道他的偉大科學貢獻對後世會有什麼影響。每一個新的科學發現都像一個新生嬰孩,在當下我們可能不會看到即時用途。但經過時間,每一個科學發現都有無限可能性、每一個科學發現都同樣重要。這一種看待科學以及其他所有創新概念的態度,我們應該向法拉第好好學習。

下回,我們將會看看如何用相對論證明「電」與「磁」其實是相同的物理現象。

光的祕密

霍金當年寫《時間簡史》時,出版社警告他:書內每多一條公式,銷售量便會減半。

為何我仍然會在科普裡寫數學公式?這是因為我希望即使讀者未能理解推導過程的每一個步驟,也能夠體會大自然確確實實是物理與數學的美麗結合。越基本的科學所涉及的數學就越複雜,所以有人說「物理是科學之父、數學是科學之母」。終究科學並不是寫作,科學必須經過嚴謹論證,不可能每一次都用純文字去解釋。

4633000725_8817dcedb9_b聖經上寫道:「神說:『要有光!』就有了光。」如果宇宙真的存在一個創造者,我不相信這會是祂說過的話。天文學家使用越來越大型亦越來越精密的天文望遠鏡收集來自宇宙深處的光,希望得知宇宙的奧秘。今次我要討論一個問題,其實「光」是甚麼?

我們一般說的光,多指可見光 (visible light),波長約由 400 納米至 700 納米。整個電磁波譜由射電 (即 radio wave) 到伽瑪射線 (gamma-ray),可見光只佔其中非常少的部分。為甚麼我們會叫它們做「電磁」波呢?光又為何會是電磁波?

在日常經驗裡,「電」與「磁」看上去是兩種不同的物理現象。事實上,「電」與「磁」是同一個硬幣的兩面,本為一體,只是其中的關聯不容易被察覺而已。

1665 年,牛頓用三稜鏡把白光分解為七彩的光。他把另一個三稜鏡倒轉放在彩光後面,發現七色能夠結合變回白光。他認為光是一種粒子,其他一些人則認為光是一種波動。

1806 年,奧斯特 (Hans Christian Ørsted) 發現了電流磁效應。有一天,他在課堂上做電學實驗的示範,察覺到電線旁的指南針會受電流影響,從而發現了電流可以產生磁場。這就開啟了物理學的一道大門:「電」與「磁」兩種看來互不相干的物理現象之間的關聯被發現了。

1831 年,法拉第 (Michael Faraday) 發現了磁場的改變能夠產生電流,原來電能生磁、磁亦能生電。這些發現暗示了「電」與「磁」有可能只是同一種物理現象的兩個表現。

在 19 世紀,科學界已經累積了非常多的電磁現象實驗數據,但卻未有人能夠解釋所有現象。終於在 1865 年,馬克士威 (James Clerk Maxwell) 成功將所有理論與實驗數據整理好,他只用幾條方程式就解釋了所有電磁現象,從此電學與磁學統一為電磁學,成為一個完整的電磁理論。這是現代物理史上第二次將兩個看上來不同的現象統一起來;第一次統一是牛頓用運動三定律和萬有引力定律把力學和行星運動結合起來,就是我們學過的經典力學。

讀者若有中學程度的物理底,該會聽過庫倫定律 (Coulomb’s Law) 與法拉第定律 (Faraday’s Law) 等等之電磁學定理。這些定律全被包含在馬克士威方程式 (Maxwell’s Equations) 當中,所有的電磁現象都可以從這四個公式推導出來:

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其中 EB 分別為電場 (electric field) 及磁場 (magnetic field)、ρ 是電量密度 (charge density)、J 是電流密度 (current density),E與 上面的箭咀表示它們是三維向量。

現在嘗試由 (1) 式推導出庫倫定律。把 (1) 式作體積積分,就會得到

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左邊使用高斯散度定理 (Gauss’s divergence theorem),右邊使積分電量密度寫成總電量 Q,就有

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考慮球狀對稱,左邊就只剩下沿半徑向外的電場分量,所以變成純量 EdA 的積分,故此就得到電場

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這就是讀者熟悉的庫倫定律。

其實當年馬克士威的方程式組包含了二十個公式,以上只有四個公式的現代版本是由黑維塞 (Oliver Heaviside) 與吉布斯 (Josiah Willard Gibbs) 於 1884 年使用向量形式重新表達的。

說到這裡,究竟電磁學與光有甚麼關係?早在 1676 年,奧勒.羅默 (Ole Rømer) 聰明地利用觀測所得之木星衛星掩食時間與理論上的數值比較,從而計算出光從木星飛到地球的時間,是有史以來首次測量到光速的準確數值:約為秒速 30 萬公里。

馬克士威發現,使用 (1) 至 (4) 式可以推導出數學之中用來描述波動的波動方程,因此他預言電磁波的存在。問題在於如何得知電磁波與光是同一種物理現象?以下我將推導電磁波動公式,答案就藏在結果之中。

考慮 (2) 式,把它作旋度 (curl),並使用恆等式

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就得到

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由於旋度算子與對時間的偏微分算子互相獨立,作用次序可以互換。再將 (1) 式代入 (9) 式左邊,將 (4) 式代入右邊,當我們考慮真空狀態,電量密度及電流密度均為零,就得到

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(10) 式可寫成

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同樣地,磁場也可以寫成

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讀者可以自行推導。(11) 式與 (12) 式就是電磁場三維向量波動公式,它們每一個方向的分量都可以寫成下述模樣:

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這就是波動方程,f(x,t是位置 x 與時間 t 的純量函數,u 是波的速率。所以我們發現電磁現象可被描述成一種波動,而且在真空下具有速率

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所以這樣就證明了電磁波的存在。

(14) 式之中的真空電容率與真空磁導率皆為常數:

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由此計算出 c 大約等於秒速 30 萬公里!「這不是光的速度嗎?何等巧合!」由於電磁波的速率與光速非常巧合地一致,這使得馬克士威不得不下結論說,光就是電磁波!

到了 1886 年,赫茲 (Heinrich Rudolf Hertz) 在實驗中證實了電磁波的存在,成為世上第一個傳送電磁波的人 ,頻率的單位赫茲 (Hz) 亦以他的名字命名。

當年,赫茲在課堂上做電磁波傳送實驗,有學生問他:「這樣做有什麼實際用途?」

赫茲回答:「一點用也沒有。」

誰又知道,今天差不多每個人都有一部手提電話、電台和電視台無時無刻都在廣播、現代人最重要的必需品不是食物不是水,而是 Wi-Fi。

馬克士威把電學與磁學結合成為電磁學,更把光學一同納入電磁學的範疇。這是物理史上一次極其重要的統一,大自然在人類面前展示出她偉大而美麗的一致性。不過,馬克士威的電磁理論當年亦曾被科學家所懷疑,因為 (14) 式的結論「光速是個常數」完全抵觸了牛頓的物理學觀點:時間及空間的絕對性。這個問題最終在 1905 年被愛因斯坦提出的狹義相對論解決了。

下一次,我們將會討論電磁波的特性,以及電磁學與相對論的關係。

我想,宇宙若存在一個創造者,祂說的應該是:「要有馬克士威方程!」就有了光。