相對論、量子力學、黑洞和反物質

愛因斯坦發表相對論至今已超過 100 年。百年之間,無數科學家使用各種方法檢驗相對論,所有結果都與愛因斯坦寫下的方程式的結果吻合,從未出錯。

䇄立不倒的相對論

自邁克生(Albert Michelson)與莫雷(Edward Morley)在 1887 年做的光干涉實驗驗證了狹義相對論的假設,到 2015 年位於美國的兩座激光干涉重力波天文台(LIGO)直接探測到廣義相對論預言存在的重力波,愛因斯坦的相對論的所有預言已全被實驗和天文觀測驗證。無獨有偶,這兩個發現同樣都基於光干涉實驗,巧合呼應愛因斯坦發現相對論之前所作的光線騎士思想實驗。

不過,這並不代表在未來不會發現相對論出錯。牛頓力學在很多情況仍然適用,例如計算太空探測器的軌道並不需要使用相對論。在需要比較精確的數據時,如全球衛星定位系統,才必須利用廣義相對論去糾正重力影響時間流逝速率的效應。沒有人知道在未來更加精確的測量下,相對論的公式會否出現偏差。

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Animated image converted from video by The News Lens Hong Kong. Original video credit: R. Hurt – Caltech/JPL

相對論與量子力學

物理學家非常清楚相對論與量子力學的假設互不相容。簡單地說,相對論禁止比光速更快地傳遞資訊,而量子力學則允許資訊在一刹那間橫跨宇宙。神奇地,描述大尺度時空的相對論與描述極微細粒子的量子力學,兩者於其應用範疇的預言都未曾出錯。

現在,物理學界傾向認為相對論並非大自然最基本的定律。很多人相信未來人類會找到能夠取代相對論、又與量子力學相容的時空和重力理論。

黑洞「火牆」

從前黑洞被認為是永不消失的。根據相對論,沒有任何物質能由黑洞視界(即光線也不能逃逸的界線)裡逃脫。然而,霍金(Stephen Hawking)在 1974 年預言,黑洞亦會以輻射粒子的形式流失能量。根據量子力學,真空並非真的一無所有,而是充斥著虛粒子對。量子力學裡的穿隧效應意味宇宙可以由虛無之中「借」來能量以產生虛粒子對,就好像這些虛粒子對由虛無之中穿越隧道到我們的宇宙中來,然後在極短時間內又互相碰撞、湮滅消失。宇宙似乎是個好債仔,有借有還。

霍金想像在黑洞的視界附近會有大量的虛粒子對產生又消失。可是,如果這些虛粒子對在非常接近黑洞視界出現的話,那麼它們就有可能在重新碰撞消失之前,其中一個粒子「不小心」越過了視界,落入沒有回頭路的黑洞之中。這樣的話,另一個粒子就失去了能與其湮滅的伴侶,能夠逃逸到遠處。由於能量必須守恆,逃逸的粒子帶有正能量,掉入黑洞裡的粒子就必須帶有負能量。所以對於遠方的觀測者來說,就如同黑洞拿自己的能量發射出一個帶有正能量的粒子。這個效應被稱為霍金輻射。

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美國科學人雜誌曾以黑洞火牆理論作為封面故事。

近年有理論物理學家發現,霍金輻射可能顯示相對論在黑洞視界失效。相對論的公式不能應用於無限密度。愛因斯坦本人也清楚,在黑洞中央、密度無限大的奇點,相對論會失效。不過,由於黑洞的奇點永遠被視界包圍,而沒有任何資訊能夠從視界內傳遞出來,所以相對論在視界外的宇宙仍力保不失。

愛因斯坦說,一個人不可能以任何實驗或觀測分辨出自己正受重力影響加速、或是位於無重力的慣性參考系之中。這叫做等效原理,是廣義相對論的基本假設。相對論公式說明,視界內外的時空並無分別,等效原理同樣適用。可是有理論物理學家發現霍金輻射在一般條件下會在視界外形成一道超高溫的高能量粒子「火牆」,任何穿越視界的人都會被極高能量𣊬間分解成基本粒子。如果真的如此,那就意味著相對論在視界外已經失效。不過,現時仍未有任何觀測證據能檢驗這個黑洞火牆理論。

反物質支持相對論?

迪拉克(Paul Dirac)在 1928 年把量力子學與狹義相對論結合,預言了反粒子的存在。他發現結合了狹義相對論的薛丁格方程有兩個數學解,其中一個是正常的物質,另一個是擁有相反物理特性(例如相反電荷)的物質。現在,我們稱這道公式為迪拉克方程,叫擁有相反物理特性的物質做反物質。

反物質的其中一個未解之謎,就是究竟它們會否擁有「負質量」?迄今所有科學觀察皆顯示質量只有「正」、沒有「負」。因此萬有引力只能相吸,不像電磁力般能相吸或相斥。

由於反物質碰到物質就會立即湮滅,長時間地控制並觀察反物質非常困難。今年,歐洲核研究組織(CERN)的物理學家團隊首次成功測量反氫原子(antihydrogen)的發射光譜。反氫原子由一個反質子(antiproton)與一個正子(positron,即反電子)構成。他們發現反氫原子的發射光譜與普通的、由一個質子與一個電子構成的氫原子完全一樣。這亦代表反氫原子與氫原子的量子能階結構相同,而且同樣擁有正質量。

這個發現支持相對論的正確性。就如前面所述,等效原理是相對論的基本原則。如果反氫原子與氫原子的發射光譜不同,科學家就能夠透過觀察反氫與氫的光譜推斷出自己是否正被重力場吸引。這就違反了等效原理,相對論就是錯的。

相對論能繼續䇄立嗎?

費曼(Richard Feynman)說過:「科學知識是不同肯定程度的陳述的整體。有些非常不確定、有些差不多確定,但沒有任何是絕對確定的。」

Scientific knowledge is a body of statements of varying degrees of certainty – some most unsure, some nearly sure, but none absolutely certain.

其實,當科學家說一個舊科學理論被「推翻」了,並不代表那理論是錯的。如同愛因斯坦相對論取代牛頓力學一樣,我們仍然可以用牛頓力學公式計算出大部分相對論預言的重力效應,只是兩者在很多個小數位後會有差異。因此我們會說,相比牛頓力學,我們更有信心相對論比較正確。我們不會說牛頓力學沒有用,因為在低速、低重力的日常情況下,牛頓與愛因斯坦的公式的計算結果沒有分別。

無論日後人類能否找到比相對論更精確的重力理論,大自然定律依舊不會改變、物件依舊會向下掉、地球依舊會繞太陽公轉。唯一不同的是,人類對大自然的了解會更深、更準確。

這就是科學的意義。

延伸閱讀:

霍金輻射論文

測量反氫原子發射光譜論文

愛因斯坦教授 你是正確的

費曼誕辰:談科學精神、機率和不確定性

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光速:宇宙高速公路的速度限制

為什麼夜空是黑色的?

這是一個非常古老的問題。問題的答案並不簡單,涉及對光線本質以及宇宙的理解。

想像宇宙是一個大球體,地球在球體正中心。球體裡面有隨機分佈的發光點,代表一顆又一顆的恆星。有些星星離中心點地球比較近、有些比較遠。想像這個球體不斷變大,新的星星在新的空間裡隨機生成。如果這個球體趨向無限大,星星的數量就會趨向無限多。由於星星的分佈是隨機的,我們從中心點往任一方向觀測,視線都必然會落在某一顆星之上。如果光線不需要傳播時間,即光速無限,那麼夜空就應該是白色的!

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奧伯斯悖論示意圖。Image courtesy of Kmarinas86/Wikimedia Commons

這個問題叫做奧伯斯悖論 (Olbers’ paradox),是從前一個著名的科學悖論。現在我們知道宇宙並非無限大、可觀測宇宙大小有限、宇宙中星星的數量並非無限多、光速亦非無限快,因此從較遠的恆星出發的光不夠時間傳播到地球。

1861 年,馬克士威證明光是電磁波。當時的科學家都相信,就如同其他波動需要傳播媒介一樣,傳播光波亦需要一種假想的媒介,稱為以太。1907 年,阿爾伯特・邁克生 (Albert Michelson) 因為使用干涉儀非常準確地測量出光的速率而獲頒諾貝爾物理學獎。光速大約為每秒 30 萬公里,只需 1.3 秒就能從地球走到月球。

邁克生干涉儀實驗的另一目的是測量地球在以太之中運行的速率。他以為於一年四季不同時間做同樣的光干涉實驗,實驗結果理應會顯示光速因地球在以太中運動方向不同而有所分別。可是,邁克生和莫雷 (Edward Morley) 的干涉儀實驗結果顯示,不論地球的運動方向,光速都沒有改變。

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地球在假想的以太之中以不同方向運動會導致光速測量結果不同。Image courtesy of Cronholm144/Wikimedia Commons

愛因斯坦在 1905 年發表狹義相對論,解釋了邁克生和莫雷的實驗結果。相對論之中,時間和空間被結合成為一體,叫做時空。由於時間和空間的物理單位不同,我們需要一個因子去在兩者之間轉換。這個因子有著距離除以時間的單位,即是速率。這個速率是宇宙間所有物質的極限速度,因為跟據相對論,質量非零的物質需要無限多能量才能達到此極速。

愛因斯坦認為光是傳播資訊的最快方法。邏輯裡的因果定律成立是因為沒有資訊能傳遞快過光。因此,光速就是這個宇宙中的終極速度限制,而這個極速跟據相對論是個常數,永恆不變。在光速不變的前提下,空間會因觀測者的運動狀態不同而收縮。所以,相對論亦意味著光波不需要以太或任何傳播媒介。

相對論其實並沒要求光速不變而且為宇宙極速,只是這個極速必須剛好等於光速,才能解釋我們所觀察到的所有物理現象。因此,一直有理論物理學家研究可變光速理論。

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狹義相對論對光速不變導致時空收縮的數學圖解。不同顏色代表不同運動狀態的觀測者的時空。Image courtesy of Army1987/Wikimedia Commons

理論物理學家 João Magueijo 自 1990 年代起研究可變光速,亦寫了一本不錯的科普書講述他在發表論文時遇到的困難和科學家之間的合作與衝突。由於光速可變這假設會動搖所有物理理論的基礎,很少科學家會投入自己一生職業去研究。

今年 10 月,Magueijo 與合作者 Niayesh Afshordi 在科學期刊 Physical Review D 上發表了一篇新的可變光速研究論文,他們推導出宇宙微波背景 (cosmic microwave background, CMB) 的純量光譜指數 (scalar spectral index)。這是第一次可變光速理論研究能夠提供一個實在的數字去與觀測作比較。

現在的觀測結果雖然與 Afshordi 和 Magueijo 理論的數字吻合,但他們未能解釋光速可變會導致其他物理常數改變的後果。例如,光速可變意味著電磁力的大小在過去、現在、未來都不相同。這樣的話,依靠電磁力的化學知識全部都要改寫,科學家就很難解釋宇宙如何演化成今日的模樣、甚至地球上亦未必可以演化出生命。

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Afshordi 和 Magueijo 的可變光速論文明確預言宇宙微波背景光譜能量分佈斜率等於 0.96478(64)。Afshordi & Magueijo 2016, Phys. Rev. D, 94, 101301

“The predicted value is within current constraints, but improved observations would unambiguously prove or rule out the theory.” – Afshordi & Magueijo (2016)

光速是否可變是一個重要的科學問題,絕對有必要研究。然而為光速可變理論下結論,仍言之尚早。就如 Afshordi 和 Magueijo 所說,未來更精確的觀測結果將能證實或證偽光速可變理論。

提出預言、對比實驗,科學也。

延伸閱讀:

Critical geometry of a thermal big bang, Afshordi & Magueijo 2016, Phys. Rev. D, 94, 101301

光之系列:夜空為什麼是黑的?》- EVEREST. 議事之峰

1907年諾貝爾物理獎:阿爾伯特・邁克生》- 余海峯

超光速與時間倒流:叮噹可否不要老》- 余海峯

照亮相對論的光 (上)》- 余海峯

照亮相對論的光 (下)》- 余海峯

愛因斯坦教授 你是正確的

萬一觀測結果與你的理論不符呢?

1919 年,愛因斯坦的一個學生如此問他。那天,愛丁頓 (Sir Arthur Stanley Eddington) 在西非普林西比島 (Príncipe) 以電報向全世界傳送他的日全食觀測結果。他的觀測顯示星光的確被太陽重力扭曲,成為愛因斯坦廣義相對論的第一個證據。

若然如此,我會為上帝感到惋惜。我的理論是正確的。

愛因斯坦這樣回答。

今年 2 月 11 號,激光干涉重力波天文台 (LIGO) 正式發表人類史上首次直接觀測到重力波 GW 150914 的證據。6 月 14 號,LIGO 再發表第二個重力波 GW 151226 的證據。

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GW 151226 重力波訊號。(Abbott et al. 2016, PRL 116, 241103)

這兩個重力波都是雙黑洞結合系統所釋放出的。另外比較少人留意的是 LIGO 同時發表了第三個疑似重力波 LVT 151012 的證據。相比 GW 150914 與 GW 151226 的 99.99997%,LVT 151012 只有 87% 機會是真實的重力波。

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三個重力波訊號在天空上的可能來源方向。(Abbott et al. 2016, arXiv:1606.04856)

這三個重力波訊號打開了人類觀察宇宙的另外一個窗戶。幾千年的人類文明以來,我們終於能夠以電磁波以外的方法觀察這個宇宙。如果人類文明能夠延續下去,這肯定佔有未來歷史書中極其重要的一頁。

另一方面,這三個重力波訊號也帶給了人類另一個難題:為什麼擁有幾十倍太陽質量的雙黑洞系統比我們想像的還要多?這對於人類了解恆星演化和宇宙演化等課題極為重要。

今年剛好是愛因斯坦發表廣義相對論 100 週年。97 年前,廣義相對論的第一個預言「星光偏折」得到了證實。今年,廣義相對論的最後一個預言「重力波」也得到了驗證。科學就是如此的一門學問,能夠用嚴謹的數學作出在 100 年後以 99.9999% 準確度證實的預言。

我想像,如果愛因斯坦得知人類在過去一個世紀窮幾代科學家一生努力才能夠在今天證實他的預言,他應該會說:「我早就知道,我的理論是正確的。」

封面圖片:LIGO, NOVA | Einstein’s Big Idea

延伸閱讀:

GW 150914 論文:Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger

GW 151226 論文:GW151226: Observation of Gravitational Waves from a 22-Solar-Mass Binary Black Hole Coalescence

三個重力波觀測結果的論文預印:Binary Black Hole Mergers in the first Advanced LIGO Observing Run

LIGO 第 2 次發現重力波 再證愛因斯坦廣義相對論》- 立場報導/eh

重力波:愛因斯坦的最後預言 (上)》- 余海峯

淺談 E=mc^2:愛因斯坦 137 歲誕辰

每年的 3 月 14 號是 Pi Day 圓周率日,因為 Pi = 3.141529……。

今天同時也是愛因斯坦 137 歲生日。去年 3 月 14 號,我寫了《拋開常識的學者.愛因斯坦》一文去紀念這位物理學家的 136 歲誕辰。文中我介紹了愛因斯坦的前半生平。關於他的成名之作相對論,我後來也在其他文章了作了簡單介紹,包括《你也能懂相對論》淺談狹義相對論的基本數學和《照亮相對論的光(上)、(下)》介紹了相對論與電磁學的關係。

很多讀者都跟我說,希望我寫一篇關於愛因斯坦最著名的方程式 E = mc^2 的文章。在今天愛因斯坦 137 歲誕辰,我們就來看看愛因斯坦在 1905 當年是如何推導出這家傳戶曉的質能轉換公式吧!

任何一本現代物理學或相對論教科書,無論是本科或研究生程度,都必定會講解 E = mc^2 的推導過程,涉及四維向量和微積分的數學技巧。不過,原來愛因斯坦當年的推導並沒有使用這些數學工具,而是用更直接的物理去得出 E = mc^2 這結論。

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我家靜止不動的兩隻喵星人。

想像有一隻喵星人。愛因斯坦本來並非說喵星人,而是一個廣義的物理系統,只不過我選擇喵星人做這個物理系統。這隻喵星人會發光(我們今天不討論生物學)。喵星人在靜止不動的時候(牠們很擅長),就有

總能量 = 喵星人能量 E_0

然後想像喵星人發光。由於光是能量,所以我們就會有

總能量 = 喵星人發光後的能量 E_1 + 光的能量。

假設喵星人放出的光總能量為 L。現在隨意選擇一個方向叫做 x,如果我們與喵星人相對靜止,就會觀察到一半的光能量 \frac{1}{2}L 沿著 +x 方向擴散開去、另外一半的光能量 \frac{1}{2}L 沿著 -x 方向擴散開去。因此就有

總能量 = 喵星人發光後的能量 E_1 + \frac{1}{2}L + \frac{1}{2}L

現在,假設我們觀察喵星人發光的時候並非靜止不動,而是沿著與 x 軸的一個夾角 \theta 方向以均速 v 跑。跟據狹義相對論,我們也可以說自己是靜止的,是喵星人在沿著與 -x 軸的一個夾角 \theta 方向以均速 -v 跑。所以我們就有

總能量 = 喵星人能量 H_0

注意 H_0 不等於 E_0,因為喵星人的運動狀態不同。然後,我們亦見到喵星人發光。我們知道一道波動在不同的波源運動狀態下,其頻率會有所改變,例如我們會聽到救護車的警報聲由高頻變成低頻,這現象叫做都普勒效應 (Doppler effect)。光也是波動的一種(電磁波動),因此也會有都普勒效應。不過由於光以光速行進,聲波的都普勒公式並不適用,我們需要使用相對論都普勒公式:

頻率比 = 能量比 = \frac{1+v/c \cos\theta}{\sqrt{1-v^2/c^2}}

所以

總能量 = 喵星人發光後的能量 H_1 +\frac{1}{2}L \times \frac{1+v/c \cos\theta}{\sqrt{1-v^2/c^2}} + \frac{1}{2}L \times \frac{1-v/c \cos\theta}{\sqrt{1-v^2/c^2}}

於由能量守恆,喵星人發光前後的總能量必須相等,簡化後就有

E_0 = E_1 + L

H_0 = H_1 + \frac{L}{\sqrt{1-v^2/c^2}}

現在我們來想一想,究竟這兩條公式代表什麼?首先我們會發現 \theta 不見了。這是合理的,因為 \theta 方向是可以隨意選擇的,任一 \theta 都不應該影響最後的物理結論。然後我們能夠看出 H_0 - E_0 = K_0 是喵星人發光前的能量於兩個運動狀態下觀測的差別、 H_1 - E_1 = K_1 是喵星人發光後的能量於兩個運動狀態下觀測的差別。因於喵星人從來沒有做過除發光外的事,這兩個能量差別 K_0K_1 必定是喵星人在兩個運動狀態下被觀測到的動能。

把上述兩式相減,我們就得到

K_0 - K_1 = \frac{L}{\sqrt{1-v^2/c^2}} - L

把上式右邊做泰勒展開 (Taylor expansion),忽略所有 4 次方或更高冪項,就得到近似值

K_0 - K_1 = \frac{1}{2}\frac{L}{c^2}v^2

這代表什麼呢?如果 K_0K_1 來自動能,其差也必來自動能。相信大家都知道動能的公式是 \frac{1}{2}mv^2(相對論的動能公式作泰勒展開並忽略所有 4 次方或更高冪項後也是 \frac{1}{2}mv^2),因此

\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}\frac{L}{c^2}v^2

化簡後得到

m = \frac{L}{c^2}

即是發光的能量來自喵星人的質量。除了發光外,考慮任何能量為 E  的物理過程,上述推導過程都完全一樣。因此

E = mc^2

愛因斯坦,祝你生日快樂。喵。

延伸閱讀:

拋開常識的學者.愛因斯坦》 – 余海峯

你也能懂相對論》 – 余海峯

照亮相對論的光(上)》 – 余海峯

照亮相對論的光(下)》 – 余海峯

封面圖片:http://www.hetemeel.com/einsteinform.php

被取代的科學理論

在科學中,我們時不時會聽到「某某理論已經被新理論取代」的新聞。拋開內容農場之類的假新聞不說,究竟在科學之中,說一個理論「被取代」或者「錯」的意思是什麼?

Well,如果你有留意,牛頓的萬有引力理論在 100 年前已經被愛因斯坦的廣義相對論取代了。

(賣個廣告:2016 年是廣義相對論發表 100 週年,敬請留意我將為立場寫的專題)

在廣義相對論之中,萬有引力不再被描述為一種力,而是時空的扭曲結果。

萬有引力理論預言光線不受重力影響,但廣義相對論說會;萬有引力理論說時間與空間互相獨立,但廣義相對論說時空本為一體;萬有引力理論預測的水星近日點進動與廣義相對論預測的數值不同。還有其他許多不同之處,而實驗與觀測證據皆顯示廣義相對論才是「正確」的。

換句話說,萬有引力理論是「錯」的。但很明顯,直到今天仍然很不幸地有許多跳樓輕生或失足墜樓的新聞。

為什麼?不是說萬有引力已被新理論取代了嗎?

精確的說,科學理論其實不是自然現象的解釋。大自然從來不需要解釋;科學理論是人類對自然現象的描述。

舊的科學理論之所以被說是「錯」的,純因它們對自然現象的描述沒有新理論那麼精確。在萬有引力理論對廣義相對論的例子中,其精確程度其實在很多情況下都可以忽略。例如水星近日點進動,現代儀器測量得到的數值是每世紀 0.1594 度,比萬有引力理論預測的多了每世紀 0.0119 度。這好比一個人在田徑場繞圈跑,跑了一個世紀才跑偏了 30 厘米。而廣義相對論的預測則與觀測吻合。

非常好。可是,很多人只著眼於新理論如何在精確程度要求高的情況下比舊的優勝,卻忽略了同樣重要的一點:在精確程度要求低的情況下,新理論必須還原至 (reduce to) 舊有理論。當我們用比較差的實驗儀器和望遠鏡時,廣義相對論與萬有引力理論的預測必須互相吻合。舉個極端的例子,當我們以身做試驗 (大家千萬不要學),從崖邊跳出去時,我們必須向下墜落。因為這是我們對於「重力」這個東西最最最根本的觀察:物質往下墜落。

換句話說,假使愛因斯坦的廣義相對論預測物質並非往下墜落而是往上上升,那麼即使他的理論在先進的實驗觀測結果下如何精確也沒有用,因為它未能還原至舊理論。

另一個我想討論的科學理論,是達爾文的演化論。拋開那些不知所謂的偽科學不說,很多人仍然以為新的理論將能夠取代「物種會演化」這個概念。

很遺憾,物種會演化的證據,就如同物質會墜落的證據一樣,多如天上繁星。物種演化不是比卡超進化,是經過很多代的遺傳加上環境壓力才能顯著地顯示出來。因為物種演化的時間尺度比物質墜落的長很多,所以人類的腦袋比較難直觀感受。順帶一提,其實在星系的尺度,物質墜落的時間也能夠長至億萬年之久。

換句話說,物種會演化,就如同物質會墜落一樣,是基本的觀察事實。最簡單的例子就是細菌會變種,人人皆知。這不是細菌有智能可以知道如何抵抗藥物,而是細菌的繁殖速率高 (以天甚至小時計),所以自然汰擇能夠在人類感知得到的時間內使細菌帶有抗藥性。在細菌變種的例子中,人類發展的藥物就是環境壓力。

總而言之,假使有朝一日,新的理論出現,提供了對於物種變遷更精確的描述,它也不可能完全推翻演化論的根本:物種會演化和物質會墜落的證據,皆鐵證如山。任何新的物種理論都必須還原至演化論。就如同任何新的時空理論都必須還原至廣義相對論、萬有引力理論。阿門。

封面圖片:http://www.richard-feynman.net/gallery.htm

延伸閱讀:

區分科學與偽科學的價值在哪? — 以一個真實的法律案件為例》- 楊梓燁

演化之鑰:人類獨特基因 或致腦部更發達》- ac

恐龍如何變成雀鳥》- 小肥波

行星.生命.演化》- 余海峯

請尊重事實:有些文章,可看,但請別 share》- 余海峯

超光速與時間倒流:叮噹可否不要老

根據相對論的假設,速度快過光速,時間就會倒流。

很多科幻故事也以超光速為題材。相對論的公式說明沒有東西能夠達到光速。根據相對論動能公式,加速至光速需要輸入無限多的能源。所以超人以超光速環繞地球飛行令時間倒流是不可能的,因為超人原本的速度低於光速,想要加速至超光速他需要比宇宙裡所有能量更多 (多無限倍!) 的能量才足夠。

其實相對論並沒有限制超光速的東西存在。只要低於光速的東西永遠低於光速、超光速的東西永遠超光速,相對論依然成立。

叮噹有一件神奇的法寶叫做隨意門,在十光年的範圍內,只要輸入了目的地資料,就能夠穿越空間。後來叮噹更說隨意門的把手原來有刻度,用來控制時間,變相把隨意門變成時光機。不過,就算隨意門沒有控制時間的把手,它本身也已經是一部時光機。因為瞬間轉移基本上等於不用加速就能夠把資訊以超光速傳遞。現在就讓我以不用數學公式的方法嘗試解釋一下!

根據相對論,沒有原本比光速慢的東西能夠達到光速。所以光速是我們傳遞資訊的最快方法。簡單講,即是我們能夠觀察到的所謂「同時」發生的事,都是由光線定義的。

為什麼?因為越遠的東西所發出的光線需要越多的時間才能跑進我們的眼睛,所以我們看見不同距離的東西時,它們所發出的光線其實是在「不同的時刻」發出的。因為對於身處不同位置的人來說,其相對各東西的距離都不同,所以「同時」對於不同的位置的觀察者來說都是不同的。再說得淺白一點,即是世上根本不存在對於所有人都一樣的「同時」。在我觀察來是同時的事件,在其他人的位置觀察時就可能不是同時的。

這與超光速會導致時間倒流有什麼關係呢?下圖中間的是大雄。由大雄的位置向外畫很多同心圓,圓與圓之間的距離叫做 LL 的數值是多少對於我們的討論沒有影響,不過為了容易理解,我們就把 L 設定為光線在 1 分鐘裡走過的距離,即大約 1,800 萬公里,足夠光線來回地球和月球跑 30 次。

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A 圓圈距離大雄 1 L 那麼遠,所以在 A 圓圈上的人看到的就會是在 1 分鐘前從大雄的位置出發的光線,即是看見 1 分鐘前的大雄。B 圓圈距離大雄 2 L 那麼遠,所以在 B 圓圈上的人看到的就會是在 2 分鐘前從大雄的位置出發的光線,即是只能看見 2 分鐘前的大雄。

同理,在 C 圓圈上的人只能看見 3 分鐘前的大雄、D 圓圈上的人只能看見 4 分鐘前的大雄,如此類推。

如果現在大雄用隨意門穿越 1 L 的距離,他回頭會看見什麼?他會驚訝地看見自己依然站在圓心上!因為大雄會看見 1 分鐘之前從圓心 (即是大雄自己身上) 發出的光線!如果大雄用隨意門穿越 2 L、3 L、4 L,甚至更遠的距離,他就會看見更早出發的光線、看見更早前的自己!換句話說,對於剛剛穿過隨意門的大雄來說,這就是時間倒流了。

這就是為什麼天文學家會說,望遠鏡就是一部時光機。當我們使用望遠鏡看遙遠的星系,其實就是在看它們過去發出的光線。看得到越遠的星系,等於看得到越早期的宇宙。

那麼,如果有些東西,例如現在仍未被人類發現的粒子,它們是一直都以超光速運動的話,在它們的角度,時間是否倒轉流動?根據相對論時間公式 (參考我的文章《你也能懂相對論》第 (4) 式),相對於靜止的人來說,這些粒子的時間長度不是正數、也不是負數,是虛數 (imaginary number)。什麼是虛數?想一想開方 -1 是什麼?即是有什麼數字自乘之後會等於 -1?想不到?對了,想不到。

今天的物理學依然未找到可以取代相對論的理論。就算有朝一日找得到,也不一定代表以上討論的相對論內容會是錯的。所以,超光速和時間倒流這些概念,依然能夠提供很大的科幻想像空間。

順帶一提,即使他朝人類真的發明了隨意門,我們可以穿越時空,但我們本身的時間流動速率也是不會改變的。即是說,無論我們觀察其他人的時間流動速率如何,也不能改變我們本身的衰老。

叮噹可否不要老?其實不老的回憶,早已永存心中。也許與親人和朋友一起老去,比時間倒流回到過去,會令我們更懂得珍惜。

一想到這裡,我到咗三十歲,都係坐交通工具算了。

照亮相對論的光 (下)

這是相對論與電磁學系列的暫時最後一篇文章。經過《你也能懂相對論》《光的祕密》《照亮相對論的光 (上) 》的討論,最後我們終於可以來討論電磁學與相對論的關係了。我現在要告訴你:「磁」只是「電」的相對論結果!

物理學家總是喜歡簡化事物。我們發現,只要用電現象放在相對論的時空中,自然就會得到磁現象了!這是多麼的深刻,又是多麼的美麗!

在入正題之前,我想各位明白一個道理:不懂數學絕對沒有問題!不懂一個學科絕對不是你的錯。「學問」裡最重要的除了「學習」其實就是「發問」。不論你是什麼身分,不懂就老實的說不懂,然後去學習和發問。我希望我的文章能夠刺激各位讀者去思考,這就是學問的精神,也是科學精神。

有一次,一個記者問愛因斯坦聲音的速度是多少,愛因斯坦回答說:「這些能夠在書中找到的資料並不存在於我的腦海之中。…… 學校教育的價值並非去學習很多事實,而是去訓練腦袋如何思考。」

“[I do not] carry such information in my mind since it is readily available in books. …The value of a college education is not the learning of many facts but the training of the mind to think.”

幫助數學背景不高的讀者理解科學,正正就是我寫科普的目的。希望所有人都能夠感受到自然定律的深刻和美麗,和抽象的數學在演繹科學概念時的重要性。比起理解數學推導過程更重要的,是了解科學背後的求真精神。

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若讀者沒有中學物理背景,我現在嘗試用文字解釋下面的數學:如果一條電線內有電流 I 在流動,就會產生一個磁場,其大小為

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其中 r 為測量磁場的點與電線中心的距離。

在下面的數學,我將會假設我們不知道世界上有磁場這個東西,然後證明當使用相對論的洛倫茲公式在電力身上時,會發現有一個並非電力的、額外的力存在。神奇的是,我們會看到這個額外的力的大小會剛好等於 (1),於是就證明了「磁」只是「電」的相對論結果!

在做 [沉悶的……] 數學證明之前,先來讓我們重溫電磁學的歷史發展吧!

GodfreyKneller-IsaacNewton-1689在 17 世紀,因為爆發疫情,大學休假,所以牛頓暫時回到家鄉。他在家鄉的這段時間裡,獨自完成非常多的科學研究,堪稱牛頓的奇蹟年。除了他那個家傳戶曉的蘋果樹故事外,他更發現了運動三定律、發明了微積分、從重力方程推導出開普勒的行星軌道方程,當然還有他那著名的稜境分光實驗。

蘋果樹的故事很可能是假的、而且微積分的功勞也不能全歸於他:萊布尼茲 (Gottfried Wilhelm Leibniz) 在同一時間獨立地發明了微積分,而且我們現在使用的微積分符號都是萊布尼茲的版本。但牛頓對大自然的深刻洞見是千真萬確的,尤其在最多人忽略的光學實驗之中,對後世的影響絕對不比發現萬有引力為少。

光,是人類接觸、感受、領悟自然的最直接途徑。牛頓發現了白光與色彩的關係,打開了日後光學研究的大門;當時的折射式望遠鏡因為鏡片打磨困難,很難加大倍率,他發明了牛頓式反射望遠鏡,這一設計沿用至今;他發明的微積分高等應用技巧「變分法」在以後被其他科學家用來解釋光的折射現象。所以,光的科學故事可以說是由牛頓開始的。

Ørsted故事跳到 19 世紀,轉眼百多年。人類對光學、電學以及磁學的研究已經非常多年,研究數據也非常豐富。可是一直要到奧斯特 (Hans Christian Ørsted) 意外地發現電流可以影響指南針,人類才首次發現電與磁是有關係的。大自然其實一直都在指示我們,可是很多時候我們卻視而不見。

奧斯特並沒有對這些發現視而不見。他雖然沒有用數學去描述這些現象,但他知道電流磁效應是一個非常重要的科學發現,他對此做了很多實驗,為科學界提供了非常豐厚的實驗數據。為了紀念他證明電流會產生磁場,在天文界使用的 CGS 單位之中的磁感應單位 oersted 就是以他的名字命名。

Andre-marie-ampere2用數學去精確描述奧斯特發現的人,是安培 (André-Marie Ampère)。現在,我們可以用安培定律準確地描述由電流產生的磁場,其實上面的第 (1) 式就是來自安培定律,不過我把證明留給有興趣的讀者。

奧斯特的發現與安培的工作很大程度幫助了人類理解「能量」這一概念。在當時的科學界,能量這個概念仍然相當模糊。很多科學家認為世上有很多不同種類的能量,但奧斯特與安培的研究結果卻顯示電能是可以轉化成磁能的,因此促進了能量概念的統一。其中最重要的、亦最廣為人知的能量統一研究,當然是愛因斯坦的 E=mc^2 了。而因為他的研究貢獻,安培的名字也永垂千古,人類現在以他的名字命名電流的單位 ampere。

SS-faraday法拉第是我最尊敬的科學家之一。他對科學的求真態度和對人的謙虛,都非常值得我們每一個人去學習。19 世紀的英國是個階級分明的社會。法拉第因為家境貧窮,沒有錢讀書,要去書店做書本釘裝學徒為生和養家。可是他並沒有因此氣餒,因為這樣反而令他有機會接觸不同的書籍,所以他每天一邊釘裝書本,一邊讀書。他最有興趣的是科學,他大部分的科學知識都是這樣不屈不朽地自學的。

當時的倫敦聖誕科學講座由戴維主持,喜愛科學的法拉第當然不會錯過,跑去做聽眾。當其他人都在看戴維表演的時候,法拉第卻認真地做筆記,回家可以溫習。他更把筆記整理好,再自行釘裝,送了給戴維。戴維因為看到他三番四次的誠意,因此聘請他做研究助理。因為這樣,大自然把光照到人類的科學界,最終使法拉第發現了電磁感生效應,即我們在中學會學到的「改變的磁場能夠感生電流」,這就是著名的法拉第定律。

Sir_Humphry_Davy,_Bt_by_Thomas_Phillips雖然戴維曾經有一段時間看不起出身低微的法拉第,並因為妒忌法拉第而用自己的權力打壓他。有傳戴維在臨終前,也終於說出作為科學家的驕傲的說話:「我這一生最大的發現,是發現了法拉第。」無論如何,法拉第始終尊敬這個給他機會做科學研究的老師,一生都非常尊敬他。在戴維死後,倫敦聖誕科學講座一直由法拉第主講,因為法拉第希望他的講座能夠吸引和啟發更多像他當年一樣的小伙子,所以他的講座所做的實驗都是有趣味和有啟發性的前沿發現,深受小朋友的喜愛。

James-clerk-maxwell3然後,就是我們在前文提過的馬克士威發現電磁方程式、赫茲證明電磁波真實存在等等。最後出場的是愛因斯坦。很多人 (包括我以前) 都以為愛因斯坦發現狹義相對論是因為力學的原因,其實不然。事實上,真正吸引愛因斯坦思考相對論的,是上回討論的電磁實驗。以下,我嘗試用最少程度的數學,為讀者證明:我們日常接觸的電磁鐵,其實就是相對論的一個活生生的實證。

Screen Shot 2015-04-01 at 15.25.54 Screen Shot 2015-04-01 at 15.26.03

好了,現在讓我們來動手做數學證明:考慮一條電線,見圖 (1)。電線裡有一連串的正電荷正以速率 向右移動。想像電荷之間是如此的接近,以致可被想像成連續的正電荷密度 +λ。想像有負電荷密度 λ 以同樣的速率 向左移動。所以我們就有電流 I = 2λv。現在,有一個點電荷 在電線旁邊以速度 u <平行電線向右運動。由於圖中正負電荷密度相等,因此沒有任何電力會作用於 身上。我們稱這個座標系為 S

現在考慮另一個以速率 u 向右移動的座標系 S’,見圖 (2)。因為 S’ 與電荷 q 同向一方向運動而且速率一樣,所以在 S’ 裡的觀測者會看到電荷 q 靜止不動。根據愛因斯坦速度相加法則 (參考《你也能懂相對論》之中的第 (5) 式),正電荷和負電荷在座標系 S’ 中的速率分別為

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因為

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所以負電荷的速率比正電荷的速率高。換句話說,負電荷的洛倫茲收縮程度會比正電荷的嚴重,因此在座標系 S’ 中觀察時,這條電線是帶負電的!

現在我們來搞清楚各個坐標系中的電荷密度的關係。根據洛倫茲收縮公式,設 λ0 為靜止正電荷的電荷密度。注意,λ0 與 +λ 是不同的!+λ 是正電荷在座標系 S 裡的電荷密度 (正電荷不是靜止),而 λ0 是正電荷靜止時的電荷密度。所以,當我們在就座標系 S’ 中觀察時,就有

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當我們在就座標系 S 中觀察時,就有

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把 (2) 和 (3) 式分別代入 (5) 和 (6) 式,就得到

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所以,在就座標系 S’ 中觀察時,總電荷密度就等於

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所以,我們發現在不同座標系中觀察時,總電荷密度會有所不同。

由於在座標系 S’ 中觀察時總電荷密度不是零,根據高斯定律,會有電場

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因此,座標系 S’ 之中,電荷 q 所受的電力為

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問題來了:如果在坐標系 S’  中電荷 q 會受力的話,在坐標系 S 中它也必定會受力,因為物理定律是唯一的!這個力的大小是

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(關於力的變換公式,我在此略去,有興趣的讀者可以自行參考相對論教科書)

由於討論開始時我們假設只知道電力的存在,因此在坐標系 S 中必定存在另外一種力,這種力是由電力及相對論性效應導致的!這是甚麼力?當然就是磁力了。要看到這點,只需要把光速

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(參考《光的祕密》第 (14) 式)

代入 (12) 式,我們就得到

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但這是甚麼?還認得括號中的是甚麼嗎?對了,括號中的是一條電線裡的電流所產生的磁場,即是第 (1) 式!

如果讀者覺得以上數學和文字很悶,這裡有一段 YouTube 影片講解同樣的東西 (別罵我為什麼不早說,早說了你還會讀我這篇文章嗎?)

當然,關於相對論還有更多有趣的題目,以後可以和各位讀者討論。在這一連四篇關於相對論、光、電磁學等等的文章之中,希望大家也和我一樣,在領略大自然的深刻之餘,得到一點點的樂趣。