科學家:我不知道

我們有時——其實是經常——會聽到科學家說:「這是個好問題!我不知道。」科學家豈非應知道得更多嗎?

科學理論——特別是前沿理論——很多時候都是不確定的。有時候科學家知道一個一般來說行得通的理論在某些情況下會變得不適用,可是卻不知道該如何修正。愛因斯坦發表相對論至今超過一百年,量子力學也差不多於同一時期發展。兩者都通過了所有——沒錯,是所有——的實驗與觀測檢驗。可是每個科學家都清楚,相對論與量子力學互不相容。

究竟哪裡出了問題?這是個非常困難的問題。沒人知道哪裡出了問題。

有時科學家想知道的並非知識本身。科學家最想知道的是如何獲得知識。想要獲得知識,我們必須承認自己在很多科學課題上——很可能是所有科學課題——都並不確定。

因此,當我們問到問題的核心時,科學家就會說:「這是個好問題!我不知道。」而說出這個不知道的原因,其實是因為我們知道很多,明白到哪些知識比較確定、哪些知識比較不確定。

理查・費曼說過:「說話的真正問題並非在於精確語言。真正問題在於清晰語言。」

The real problem in speech is not precise language. The problem is clear language.

科學家寧願犧牲確定性,也堅持要說出正確的陳述。因為科學的最高守則,就是誠實。

延伸閱讀:

好奇心和誠實:理查.費曼 (Richard P. Feynman)》- 余海峯

Advertisements

相對論、量子力學、黑洞和反物質

愛因斯坦發表相對論至今已超過 100 年。百年之間,無數科學家使用各種方法檢驗相對論,所有結果都與愛因斯坦寫下的方程式的結果吻合,從未出錯。

䇄立不倒的相對論

自邁克生(Albert Michelson)與莫雷(Edward Morley)在 1887 年做的光干涉實驗驗證了狹義相對論的假設,到 2015 年位於美國的兩座激光干涉重力波天文台(LIGO)直接探測到廣義相對論預言存在的重力波,愛因斯坦的相對論的所有預言已全被實驗和天文觀測驗證。無獨有偶,這兩個發現同樣都基於光干涉實驗,巧合呼應愛因斯坦發現相對論之前所作的光線騎士思想實驗。

不過,這並不代表在未來不會發現相對論出錯。牛頓力學在很多情況仍然適用,例如計算太空探測器的軌道並不需要使用相對論。在需要比較精確的數據時,如全球衛星定位系統,才必須利用廣義相對論去糾正重力影響時間流逝速率的效應。沒有人知道在未來更加精確的測量下,相對論的公式會否出現偏差。

ligo-gravitatioanl-waves-2
Animated image converted from video by The News Lens Hong Kong. Original video credit: R. Hurt – Caltech/JPL

相對論與量子力學

物理學家非常清楚相對論與量子力學的假設互不相容。簡單地說,相對論禁止比光速更快地傳遞資訊,而量子力學則允許資訊在一刹那間橫跨宇宙。神奇地,描述大尺度時空的相對論與描述極微細粒子的量子力學,兩者於其應用範疇的預言都未曾出錯。

現在,物理學界傾向認為相對論並非大自然最基本的定律。很多人相信未來人類會找到能夠取代相對論、又與量子力學相容的時空和重力理論。

黑洞「火牆」

從前黑洞被認為是永不消失的。根據相對論,沒有任何物質能由黑洞視界(即光線也不能逃逸的界線)裡逃脫。然而,霍金(Stephen Hawking)在 1974 年預言,黑洞亦會以輻射粒子的形式流失能量。根據量子力學,真空並非真的一無所有,而是充斥著虛粒子對。量子力學裡的穿隧效應意味宇宙可以由虛無之中「借」來能量以產生虛粒子對,就好像這些虛粒子對由虛無之中穿越隧道到我們的宇宙中來,然後在極短時間內又互相碰撞、湮滅消失。宇宙似乎是個好債仔,有借有還。

霍金想像在黑洞的視界附近會有大量的虛粒子對產生又消失。可是,如果這些虛粒子對在非常接近黑洞視界出現的話,那麼它們就有可能在重新碰撞消失之前,其中一個粒子「不小心」越過了視界,落入沒有回頭路的黑洞之中。這樣的話,另一個粒子就失去了能與其湮滅的伴侶,能夠逃逸到遠處。由於能量必須守恆,逃逸的粒子帶有正能量,掉入黑洞裡的粒子就必須帶有負能量。所以對於遠方的觀測者來說,就如同黑洞拿自己的能量發射出一個帶有正能量的粒子。這個效應被稱為霍金輻射。

75c7e1d3-7819-4558-a97c6b6296350a07_article-gif
美國科學人雜誌曾以黑洞火牆理論作為封面故事。

近年有理論物理學家發現,霍金輻射可能顯示相對論在黑洞視界失效。相對論的公式不能應用於無限密度。愛因斯坦本人也清楚,在黑洞中央、密度無限大的奇點,相對論會失效。不過,由於黑洞的奇點永遠被視界包圍,而沒有任何資訊能夠從視界內傳遞出來,所以相對論在視界外的宇宙仍力保不失。

愛因斯坦說,一個人不可能以任何實驗或觀測分辨出自己正受重力影響加速、或是位於無重力的慣性參考系之中。這叫做等效原理,是廣義相對論的基本假設。相對論公式說明,視界內外的時空並無分別,等效原理同樣適用。可是有理論物理學家發現霍金輻射在一般條件下會在視界外形成一道超高溫的高能量粒子「火牆」,任何穿越視界的人都會被極高能量𣊬間分解成基本粒子。如果真的如此,那就意味著相對論在視界外已經失效。不過,現時仍未有任何觀測證據能檢驗這個黑洞火牆理論。

反物質支持相對論?

迪拉克(Paul Dirac)在 1928 年把量力子學與狹義相對論結合,預言了反粒子的存在。他發現結合了狹義相對論的薛丁格方程有兩個數學解,其中一個是正常的物質,另一個是擁有相反物理特性(例如相反電荷)的物質。現在,我們稱這道公式為迪拉克方程,叫擁有相反物理特性的物質做反物質。

反物質的其中一個未解之謎,就是究竟它們會否擁有「負質量」?迄今所有科學觀察皆顯示質量只有「正」、沒有「負」。因此萬有引力只能相吸,不像電磁力般能相吸或相斥。

由於反物質碰到物質就會立即湮滅,長時間地控制並觀察反物質非常困難。今年,歐洲核研究組織(CERN)的物理學家團隊首次成功測量反氫原子(antihydrogen)的發射光譜。反氫原子由一個反質子(antiproton)與一個正子(positron,即反電子)構成。他們發現反氫原子的發射光譜與普通的、由一個質子與一個電子構成的氫原子完全一樣。這亦代表反氫原子與氫原子的量子能階結構相同,而且同樣擁有正質量。

這個發現支持相對論的正確性。就如前面所述,等效原理是相對論的基本原則。如果反氫原子與氫原子的發射光譜不同,科學家就能夠透過觀察反氫與氫的光譜推斷出自己是否正被重力場吸引。這就違反了等效原理,相對論就是錯的。

相對論能繼續䇄立嗎?

費曼(Richard Feynman)說過:「科學知識是不同肯定程度的陳述的整體。有些非常不確定、有些差不多確定,但沒有任何是絕對確定的。」

Scientific knowledge is a body of statements of varying degrees of certainty – some most unsure, some nearly sure, but none absolutely certain.

其實,當科學家說一個舊科學理論被「推翻」了,並不代表那理論是錯的。如同愛因斯坦相對論取代牛頓力學一樣,我們仍然可以用牛頓力學公式計算出大部分相對論預言的重力效應,只是兩者在很多個小數位後會有差異。因此我們會說,相比牛頓力學,我們更有信心相對論比較正確。我們不會說牛頓力學沒有用,因為在低速、低重力的日常情況下,牛頓與愛因斯坦的公式的計算結果沒有分別。

無論日後人類能否找到比相對論更精確的重力理論,大自然定律依舊不會改變、物件依舊會向下掉、地球依舊會繞太陽公轉。唯一不同的是,人類對大自然的了解會更深、更準確。

這就是科學的意義。

延伸閱讀:

霍金輻射論文

測量反氫原子發射光譜論文

愛因斯坦教授 你是正確的

費曼誕辰:談科學精神、機率和不確定性

科學家的愛

費曼最愛的妻子阿琳在醫院對他說:「你管別人怎麼想?」

What do you care what other people think?

費曼當時因為介意其他人對自己的看法而苦惱。阿琳告訴他,不用介意別人的評價,要忠於自己。

阿琳過世後,費曼寫了兩本自傳(都是他口述然後朋友幫他寫出來)。第二本的書名,就是這句話。

阿琳患的是肺癆,在當時是不治之症。雖然父母反對,費曼仍然在醫院與阿琳結婚。

費曼並沒有趕及見阿琳最後一面。費曼很傷心,但卻沒有哭。直到幾個月後,費曼看見時裝店櫥窗裡的一條裙,心想阿琳一定會喜歡,終於泣不成聲。

阿琳生前很喜歡與費曼寫信。阿琳死後一年半,費曼寫了一封最後的信給他的太太。費曼自己一直收藏著這封信,直到他1988年離世後人們才把它打開。

信中充滿費曼對阿琳的愛。最後一句,費曼寫道:「請原諒我沒有把信寄出。我不知道你的新地址啊。」

PS Please excuse my not mailing this — but I don’t know your new address.

延伸閱讀:

費曼給阿琳的最後情信

好奇心和誠實:理查.費曼 (Richard P. Feynman)》- 余海峯

封面圖片:費曼與阿琳,取自 richard-feynman.net

論教育

理查.費曼 (Richard Feynman) 晚年曾接受電視台訪問他關於教育的看法。他說:「不存在『你要以算術去做』或『你要以代數去做』這種事情。這是他們在學校裡發明出來的虛假陳述,使得要學習代數的學生們就可以合格。」

去年網絡流傳一張美國 grade 3 數學功課的照片,問題是 5 x 3。功課要求 “do it by repeated addition”。學生寫 5 + 5 + 5,仍然是錯。原來教學指引寫 5 x 3 “is five groups of three”,所以「正確」答案是 3 + 3 + 3 + 3 + 3。

今天又流傳一張台灣小學三年級數學功課的照片,問題是 901 – _95 = 106,求 _ 內應填什麼數字。小學生填上了 7,更給出了直式減法解釋 901 – 795 = 106,因此 _ 內應填 7。這是完美的數學推導過程。可是,老師用紅筆說錯,因為學生「應該」用「約數」去推論 901 ~ 900,106 ~ 100,所以 901 – 106 ~ 900 – 100 = 800,而 795 ~ 800,因此 _ 內應填 7。

這是教育的悲哀。教育當局發明了這種沒有意思的規則要學生遵守。遵守的人就可以得到分數。數學裡根本沒有所謂正確的方法,數學只在乎合邏輯與否。如果 5 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3,那麼 5.1 x 3.7 呢?Pi x 2 呢?虛數 i x 10 呢?

There is no such a thing as you do it by arithmetic or do it by algebra. It is a false statement that they had invented in school. So that the children who have to study algebra can all pass it.

費曼早在三十年前的電視節目上批評過這種機械式的教學方法扼殺學生的思維和創意,學生根本不明白他們在做什麼。我相信,教育應該令學生感到學習是有趣的。我們要令孩子們愛上學習,引導他們思考問題,而不是強逼他們背誦人為的規則。

這就是為什麼我以寫網誌、拍影片的方式分享我所喜愛的科學。因為學問本應是有趣的,學習本應是愉快的。我覺得物理學好有趣、科學好有趣、數學也好有趣,所以我想跟其他人分享我感受到的喜悅。謹此而已。我希望我的下一代能夠以快樂的方式學習他感興趣的東西。

費曼引言影片:

費曼:科學看見美麗

我想向大家分享科學,因為我覺得科學很有趣。

費曼 (Richard Feynman, 1918 – 1988) 也覺得科學很有趣。有一次,他的一個朋友對他說,科學拿走了事物之美,令事物變得枯燥。費曼回答說:

我也可以感受到花朵之美。同時,我看到更多。我能想像其中細胞之間互動之美。花朵之美不單止於厘米尺度,也在於更小的尺度、內在結構和過程。花朵演化顏色以吸引昆蟲傳播花粉這事實本身就很有趣:這代表昆蟲能夠看到顏色。這帶出另一個問題:昆蟲能審美嗎?它為何審美?一切這些有趣的科學知識只會加深我們對花朵的驚嘆、神祕和敬畏。這只會加深。我不明白這何以拿走了事物之美。

以下是費曼這段說話的錄音:

I have a friend who’s an artist and has sometimes taken a view which I don’t agree with very well. He’ll hold up a flower and say “look how beautiful it is,” and I’ll agree. Then he says “I as an artist can see how beautiful this is but you as a scientist take this all apart and it becomes a dull thing,” and I think that he’s kind of nutty. First of all, the beauty that he sees is available to other people and to me too, I believe…

I can appreciate the beauty of a flower. At the same time, I see much more about the flower than he sees. I could imagine the cells in there, the complicated actions inside, which also have a beauty. I mean it’s not just beauty at this dimension, at one centimeter; there’s also beauty at smaller dimensions, the inner structure, also the processes. The fact that the colors in the flower evolved in order to attract insects to pollinate it is interesting; it means that insects can see the color. It adds a question: does this aesthetic sense also exist in the lower forms? Why is it aesthetic? All kinds of interesting questions which the science knowledge only adds to the excitement, the mystery and the awe of a flower. It only adds. I don’t understand how it subtracts.

若能拋開先入為主的概念去看,世上萬物本身就很有趣、很美麗。

費曼誕辰:談科學精神、機率和不確定性》- 余海峯

科學家巡禮:理查.費曼 (Richard P. Feynman)》- 余海峯

費曼誕辰:談科學精神、機率和不確定性

大後天是理查.費曼 (Richard Feynman, 11/5/1918 – 15/2/1988) 的 98 歲誕辰。他在 1964 年康奈爾大學 (Cornell University) 的著名演講 The Character of Physical Laws 裡,曾經說過:

It is scientific only to say what is more likely and what less likely, and not to be proving all the time the possible and impossible.

費曼是一位理論物理學家、1965 年諾貝爾物理學獎得主。雖然他的專業是抽象的理論物理,但他對科學的本質有深刻的見解。他說,科學並非去說什麼事情是可能或不可能。科學,是用理性與邏輯去分析事情的可能性。因為所有實驗、觀測,都必然有誤差和不確定性。

We have found it of paramount importance that in order to progress we must recognize our ignorance and leave room for doubt. Scientific knowledge is a body of statements of varying degrees of certainty – some most unsure, some nearly sure, but none absolutely certain.

我們幾乎可以說在這個宇宙之中,沒有任何事情是我們能夠百分百肯定的。我們必須要承認自己的無知、對事物心存懷疑。然而,我們不應該一味地說因知識所限,故所有的可能性都有同等地位。無知,並不代表我們對所有可能性都是同樣地不肯定。我們應該做的是不單止要把我們無知的部分考慮在內,更要把我們已知的部分同時考慮在內,這樣才是真正的客觀。

我來舉一個簡單的例子。我們有一個硬幣。我們可以問:這硬幣擲出來的正反面機率是多少?

想要知道答案,我們必須收集數據。如何收集?很簡單,拿這硬幣去擲,看看擲出正面和反面的頻率是否一樣就可以了。當然,在進行這個非常簡單的實驗之前,我們可以先猜一猜。正常情況下,如果我們沒有任何關於這硬幣的資訊,我們可能會猜測擲出正面的機率與擲出反面的機率相等,即是擲出正面的機率大概會是 50%,即 0.5,而且有一定的誤差。數學上這可以用一個峰值位於 0.5 的分佈表示。

或者,如果我們更加想表達對硬幣的資訊一無所知的話,我們也可以說擲出正面的機率介乎 0 (即是永遠不可能擲到正面) 到 1 (即是永遠不可能擲到反面) 之間,0 <= prob( head bias | I ) <= 1。我們不用太擔心這些符號和數字,這裡 head bias 代表得出正面的傾向、I 代表我們所知關於此硬幣的資訊、符號 | 是「在此情況下」的意思而已。如果 head bias 是 0.5 的話,就代表這個硬幣是公平的。如果 head bias 少於 0.5,就代表這硬幣傾向擲出反面,反之亦然。

猜完之後,我們就開始收集數據。我們會擲一次、兩次、三次、四次…… 我們可以擲很多很多次,把所有的正面和反面出現的次數寫下來,直到我們認為足夠為止。最理想的當然是無窮無盡不停地擲下去,但明顯這是不可能的,因為我們沒有無限的時間。就讓我們停止在第 N 次吧!

如果我們把「在開始實驗之前假設擲出正面的機率大概是一個峰值位於 0.5 的分佈,而我們知道擲出的結果不是正就是反」叫做資訊 I,我們就可以計算出在 I 情況下根據 N 次擲出的結果 {data} 所得出的傾向擲出正面機率 prob( head bias | {data},  I )。因為我很懶不想自己用手擲,下圖就是我用電腦模擬的計算結果:

gaussianPrior
使用電腦模擬擲一個不公平的硬幣。前設是一個平均值為 0.5 的高斯分佈。

縱軸是傾向擲出正面的機率、橫軸是擲出正面的傾向,不同顏色代表由 1 次到 1024 次不同的拋擲次數 N。我們可以看到,機率的峰值由很少拋擲次數 (N = 1, 2, 4, 8 trials) 時位於 0.5 附近,到擲了很多次之後 (N = 128, 256, 512, 1024) 移到 0.25 附近。而且,這個分佈的形狀亦由很闊變得越來越窄。為什麼呢?其實很簡單,因為我預先設定了這硬幣是不公平的,head bias = 0.25。換句話說,我預設了此硬幣傾向擲出反面多於正面,比例是每三次反面只有一次正面。在 N 很小時,我們數據不足、不能確定這個硬幣的傾向,因此分佈的形狀很闊。當 N 越來越大,即我們擁有的數據越來越多,我們就能比較肯定這個硬幣的傾向,分佈的形狀就變窄了。

13173750_10154189892844438_6869297973775737146_n
神探伽利略也有過這一段,湯川學說明為什麼只憑猜測和直覺很容易會犯錯。

這就是一個最簡單的數據分析示範。也是為什麼費曼說我們要去分析事情發生的可能性,而不要只是說「有可能」或「不可能」。由此例子我們可以清楚的看到,只根據很少的數據去猜測,很可能會得出錯誤的結論。

我們也可以對另一個假設重複以上分析 (當然是用電腦模擬,不然擲到手斷也擲不完一千次……),即在非常無知,0 <= prob( head bias | I ) <= 1 的前設下,看看結果會有什麼分別:

uniformPrior
同樣的電腦模擬,不過前設為一個由 0 到 1 的均等分佈。

與我們預期一樣,在擲了一千多次之後,計算結果已經非常接近預設的 0.25。值得留意的是在 N 很小的時候,分佈的闊度比上面的分析闊非常多。這很合理,因為我們假設了一個均等的前設!我們可以看到,在對一個理論非常無知的情況下,數據是非常非常重要的。如果我們只有寥寥可數的幾個數據,就要謹記我們的誤差會非常之大。例如我們常聽到人說「我幾個朋友都有 xxx 的情況」,我們就應該份外留心,這些結論的不確定性會非常之大。反之,如果我們知道一個理論的背後有著非常大量的數據支持,例如經過廣泛科學界、很多科學家驗證過的理論,我們就有理由相信這些結果的不確定性會很小。這就是科學精神,是理性、客觀的分析。

費曼在一次物理演講時說:「如果你想知道大自然如何運作,我們就要小心地觀察。它看起來如何運作就是如何運作。你不喜歡嗎?去其他地方吧,去其他擁有比較簡單的物理定律、哲學上比較令人愉快、心理學上比較容易的宇宙吧。我無能為力,OK?」

There’s a kind of saying that you don’t understand its meaning, ‘I don’t believe it. It’s too crazy. I’m not going to accept it.’… You’ll have to accept it. It’s the way nature works. If you want to know how nature works, we looked at it, carefully. Looking at it, that’s the way it looks. You don’t like it? Go somewhere else, to another universe where the rules are simpler, philosophically more pleasing, more psychologically easy. I can’t help it, okay? If I’m going to tell you honestly what the world looks like to the human beings who have struggled as hard as they can to understand it, I can only tell you what it looks like.

費曼一生都堅守科學精神的第一原則:誠實。面對我們喜歡的結論時,我們要誠實地去提醒自己,結論雖然正面,仍有著一定的不確定性。我們必須考慮所有數據準確地計算出誤差的大小;面對我們不喜歡的結論時,我們更加要時刻警覺,不可以故意忽略某些數據去令結論變得比較滿意。欺騙他人很容易,但這代表我們同時欺騙了自己。

For a successful technology, reality must take precedence over public relations, for Nature cannot be fooled.

我們必須接受大自然就是如此,因為我們不可能欺騙大自然。

「如果要我誠實的告訴你,在盡力掙扎理解的人們眼中世界是如何運作的,我只能告訴你:它就是如此。」若我們都能銘記費曼這句說話,可能就是對他來說最好的生日禮物。

費曼,謝謝你的教導。生日快樂。

延伸閱讀:

科學家巡禮:理查.費曼 (Richard P. Feynman)》 – 余海峯

費曼 The Character of Physical Laws 講座系列七講:https://www.youtube.com/watch?v=j3mhkYbznBk&list=PL09HhnlAMGuq1YI3PTIA6VQgVjLZ7RiC6

知道和理解的分別

很多學生問過我,學物理時究竟應不應該背公式。

我的答案是,公式是要背的。不過我認為這個問題並不是學習的重點。我認為重點並不是那些公式,而是公式背後的概念。公式要背,可是並非靠死背,而應該是經過自己反覆思考後自然記住的。

在這個問題上,費曼有一個很深刻的見解。他曾經在著名的演講系列《物理定律的特徵》(The Character of Physical Law) 之中,精要地講解了導致這個問題的主因:科學之中,何謂「知道」?何謂「理解」?

他說,對於一個自然現象,我們可以同時有兩個概念和數學結構都不同的理論,兩者都能得出同樣的解釋。科學上,我們是無法分辨哪一個才是「正確」的解釋。科學家會說兩個理論都是正確的。

不過,理論 A 使用的數學可能會在某些情況下比理論 B 使用的數學容易得出結果,但同時理論 B 的物理概念也可能比理論 A 的較為清晰易明。他說,每個理論物理學家都知道六、七個解釋同一個物理現象的不同理論。

費曼認為我們應該著重理解每個理論之間的異同,嘗試去理解為什麼由不同的假設出發的兩個理論,最後會推導出幾乎一樣的結果。他用牛頓的萬有引力定律和愛因斯坦的廣義相對論做比較,兩者都是描述重力的理論,可是兩者的出發點完全不同:牛頓的萬有引力定律假設重力是一種超距力,而愛因斯坦的廣義相對論假設重力是物質扭曲時空的結果。兩者計算結果的分別在日常情況下小得根本無法察覺。可是,當我們嘗試計算非常接近強重力源的情況時,兩者的計算結果就會有明顯分別。只有愛因斯坦的廣義相對論才能解釋水星繞日公轉的軌道。

費曼再以一個假想的例子去說明這種科學家常會遇到的思想問題:想像我們在古代,有一個馬雅天文學家,他不知道星辰和地球都是環繞太陽轉動的。因為古馬雅文明有著多年來非常豐富的天文觀測數據,所以他們能夠準確計算各天體運行的軌跡,甚至預測日、月食等等。這些都可以全靠機械式的計算過程,他們甚至不必理解究竟月球是什麼!現在,有一個人對馬雅天文學家說:「我有一個理論,其實天體都是行星,它們都遵守某些物理定律運行。」但當馬雅天文學家問他,那麼你的理論能否計算出天體的運行軌跡?那人就說不,這理論還未發展到能夠計算的階段。馬雅天文學家就會認為這個人的理論是多餘的,因為他不能作出跟馬雅天文學家一樣準確的預測。

費曼以這個例子引起我們去思考。費曼說明有時候「知道」一些事實、「知道」如何運算,並不代表「理解」背後的物理和科學概念。應該做的是多吸收不同的想法,並且經由自己重覆思考和推導。

費曼過身後,人們發現他辦公室的黑板上,留下了這兩句說話:

What I cannot create, I do not understand.

Know how to solve every problem that has been solved.

費曼一生堅持把每一個物理問題都經自己的手重新推導一次,他認為這樣才是真正的學習。相信費曼這兩句說話,可以作為同學們學習的榜樣。

feynman_blackboard5

圖片來源:加州理工學院

延伸閱讀:

物理之美》(The Character of Physical Law) – 費曼的《物理定律的特徵》演講原稿