相對論、量子力學、黑洞和反物質

愛因斯坦發表相對論至今已超過 100 年。百年之間,無數科學家使用各種方法檢驗相對論,所有結果都與愛因斯坦寫下的方程式的結果吻合,從未出錯。

䇄立不倒的相對論

自邁克生(Albert Michelson)與莫雷(Edward Morley)在 1887 年做的光干涉實驗驗證了狹義相對論的假設,到 2015 年位於美國的兩座激光干涉重力波天文台(LIGO)直接探測到廣義相對論預言存在的重力波,愛因斯坦的相對論的所有預言已全被實驗和天文觀測驗證。無獨有偶,這兩個發現同樣都基於光干涉實驗,巧合呼應愛因斯坦發現相對論之前所作的光線騎士思想實驗。

不過,這並不代表在未來不會發現相對論出錯。牛頓力學在很多情況仍然適用,例如計算太空探測器的軌道並不需要使用相對論。在需要比較精確的數據時,如全球衛星定位系統,才必須利用廣義相對論去糾正重力影響時間流逝速率的效應。沒有人知道在未來更加精確的測量下,相對論的公式會否出現偏差。

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Animated image converted from video by The News Lens Hong Kong. Original video credit: R. Hurt – Caltech/JPL

相對論與量子力學

物理學家非常清楚相對論與量子力學的假設互不相容。簡單地說,相對論禁止比光速更快地傳遞資訊,而量子力學則允許資訊在一刹那間橫跨宇宙。神奇地,描述大尺度時空的相對論與描述極微細粒子的量子力學,兩者於其應用範疇的預言都未曾出錯。

現在,物理學界傾向認為相對論並非大自然最基本的定律。很多人相信未來人類會找到能夠取代相對論、又與量子力學相容的時空和重力理論。

黑洞「火牆」

從前黑洞被認為是永不消失的。根據相對論,沒有任何物質能由黑洞視界(即光線也不能逃逸的界線)裡逃脫。然而,霍金(Stephen Hawking)在 1974 年預言,黑洞亦會以輻射粒子的形式流失能量。根據量子力學,真空並非真的一無所有,而是充斥著虛粒子對。量子力學裡的穿隧效應意味宇宙可以由虛無之中「借」來能量以產生虛粒子對,就好像這些虛粒子對由虛無之中穿越隧道到我們的宇宙中來,然後在極短時間內又互相碰撞、湮滅消失。宇宙似乎是個好債仔,有借有還。

霍金想像在黑洞的視界附近會有大量的虛粒子對產生又消失。可是,如果這些虛粒子對在非常接近黑洞視界出現的話,那麼它們就有可能在重新碰撞消失之前,其中一個粒子「不小心」越過了視界,落入沒有回頭路的黑洞之中。這樣的話,另一個粒子就失去了能與其湮滅的伴侶,能夠逃逸到遠處。由於能量必須守恆,逃逸的粒子帶有正能量,掉入黑洞裡的粒子就必須帶有負能量。所以對於遠方的觀測者來說,就如同黑洞拿自己的能量發射出一個帶有正能量的粒子。這個效應被稱為霍金輻射。

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美國科學人雜誌曾以黑洞火牆理論作為封面故事。

近年有理論物理學家發現,霍金輻射可能顯示相對論在黑洞視界失效。相對論的公式不能應用於無限密度。愛因斯坦本人也清楚,在黑洞中央、密度無限大的奇點,相對論會失效。不過,由於黑洞的奇點永遠被視界包圍,而沒有任何資訊能夠從視界內傳遞出來,所以相對論在視界外的宇宙仍力保不失。

愛因斯坦說,一個人不可能以任何實驗或觀測分辨出自己正受重力影響加速、或是位於無重力的慣性參考系之中。這叫做等效原理,是廣義相對論的基本假設。相對論公式說明,視界內外的時空並無分別,等效原理同樣適用。可是有理論物理學家發現霍金輻射在一般條件下會在視界外形成一道超高溫的高能量粒子「火牆」,任何穿越視界的人都會被極高能量𣊬間分解成基本粒子。如果真的如此,那就意味著相對論在視界外已經失效。不過,現時仍未有任何觀測證據能檢驗這個黑洞火牆理論。

反物質支持相對論?

迪拉克(Paul Dirac)在 1928 年把量力子學與狹義相對論結合,預言了反粒子的存在。他發現結合了狹義相對論的薛丁格方程有兩個數學解,其中一個是正常的物質,另一個是擁有相反物理特性(例如相反電荷)的物質。現在,我們稱這道公式為迪拉克方程,叫擁有相反物理特性的物質做反物質。

反物質的其中一個未解之謎,就是究竟它們會否擁有「負質量」?迄今所有科學觀察皆顯示質量只有「正」、沒有「負」。因此萬有引力只能相吸,不像電磁力般能相吸或相斥。

由於反物質碰到物質就會立即湮滅,長時間地控制並觀察反物質非常困難。今年,歐洲核研究組織(CERN)的物理學家團隊首次成功測量反氫原子(antihydrogen)的發射光譜。反氫原子由一個反質子(antiproton)與一個正子(positron,即反電子)構成。他們發現反氫原子的發射光譜與普通的、由一個質子與一個電子構成的氫原子完全一樣。這亦代表反氫原子與氫原子的量子能階結構相同,而且同樣擁有正質量。

這個發現支持相對論的正確性。就如前面所述,等效原理是相對論的基本原則。如果反氫原子與氫原子的發射光譜不同,科學家就能夠透過觀察反氫與氫的光譜推斷出自己是否正被重力場吸引。這就違反了等效原理,相對論就是錯的。

相對論能繼續䇄立嗎?

費曼(Richard Feynman)說過:「科學知識是不同肯定程度的陳述的整體。有些非常不確定、有些差不多確定,但沒有任何是絕對確定的。」

Scientific knowledge is a body of statements of varying degrees of certainty – some most unsure, some nearly sure, but none absolutely certain.

其實,當科學家說一個舊科學理論被「推翻」了,並不代表那理論是錯的。如同愛因斯坦相對論取代牛頓力學一樣,我們仍然可以用牛頓力學公式計算出大部分相對論預言的重力效應,只是兩者在很多個小數位後會有差異。因此我們會說,相比牛頓力學,我們更有信心相對論比較正確。我們不會說牛頓力學沒有用,因為在低速、低重力的日常情況下,牛頓與愛因斯坦的公式的計算結果沒有分別。

無論日後人類能否找到比相對論更精確的重力理論,大自然定律依舊不會改變、物件依舊會向下掉、地球依舊會繞太陽公轉。唯一不同的是,人類對大自然的了解會更深、更準確。

這就是科學的意義。

延伸閱讀:

霍金輻射論文

測量反氫原子發射光譜論文

愛因斯坦教授 你是正確的

費曼誕辰:談科學精神、機率和不確定性

光速:宇宙高速公路的速度限制

為什麼夜空是黑色的?

這是一個非常古老的問題。問題的答案並不簡單,涉及對光線本質以及宇宙的理解。

想像宇宙是一個大球體,地球在球體正中心。球體裡面有隨機分佈的發光點,代表一顆又一顆的恆星。有些星星離中心點地球比較近、有些比較遠。想像這個球體不斷變大,新的星星在新的空間裡隨機生成。如果這個球體趨向無限大,星星的數量就會趨向無限多。由於星星的分佈是隨機的,我們從中心點往任一方向觀測,視線都必然會落在某一顆星之上。如果光線不需要傳播時間,即光速無限,那麼夜空就應該是白色的!

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奧伯斯悖論示意圖。Image courtesy of Kmarinas86/Wikimedia Commons

這個問題叫做奧伯斯悖論 (Olbers’ paradox),是從前一個著名的科學悖論。現在我們知道宇宙並非無限大、可觀測宇宙大小有限、宇宙中星星的數量並非無限多、光速亦非無限快,因此從較遠的恆星出發的光不夠時間傳播到地球。

1861 年,馬克士威證明光是電磁波。當時的科學家都相信,就如同其他波動需要傳播媒介一樣,傳播光波亦需要一種假想的媒介,稱為以太。1907 年,阿爾伯特・邁克生 (Albert Michelson) 因為使用干涉儀非常準確地測量出光的速率而獲頒諾貝爾物理學獎。光速大約為每秒 30 萬公里,只需 1.3 秒就能從地球走到月球。

邁克生干涉儀實驗的另一目的是測量地球在以太之中運行的速率。他以為於一年四季不同時間做同樣的光干涉實驗,實驗結果理應會顯示光速因地球在以太中運動方向不同而有所分別。可是,邁克生和莫雷 (Edward Morley) 的干涉儀實驗結果顯示,不論地球的運動方向,光速都沒有改變。

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地球在假想的以太之中以不同方向運動會導致光速測量結果不同。Image courtesy of Cronholm144/Wikimedia Commons

愛因斯坦在 1905 年發表狹義相對論,解釋了邁克生和莫雷的實驗結果。相對論之中,時間和空間被結合成為一體,叫做時空。由於時間和空間的物理單位不同,我們需要一個因子去在兩者之間轉換。這個因子有著距離除以時間的單位,即是速率。這個速率是宇宙間所有物質的極限速度,因為跟據相對論,質量非零的物質需要無限多能量才能達到此極速。

愛因斯坦認為光是傳播資訊的最快方法。邏輯裡的因果定律成立是因為沒有資訊能傳遞快過光。因此,光速就是這個宇宙中的終極速度限制,而這個極速跟據相對論是個常數,永恆不變。在光速不變的前提下,空間會因觀測者的運動狀態不同而收縮。所以,相對論亦意味著光波不需要以太或任何傳播媒介。

相對論其實並沒要求光速不變而且為宇宙極速,只是這個極速必須剛好等於光速,才能解釋我們所觀察到的所有物理現象。因此,一直有理論物理學家研究可變光速理論。

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狹義相對論對光速不變導致時空收縮的數學圖解。不同顏色代表不同運動狀態的觀測者的時空。Image courtesy of Army1987/Wikimedia Commons

理論物理學家 João Magueijo 自 1990 年代起研究可變光速,亦寫了一本不錯的科普書講述他在發表論文時遇到的困難和科學家之間的合作與衝突。由於光速可變這假設會動搖所有物理理論的基礎,很少科學家會投入自己一生職業去研究。

今年 10 月,Magueijo 與合作者 Niayesh Afshordi 在科學期刊 Physical Review D 上發表了一篇新的可變光速研究論文,他們推導出宇宙微波背景 (cosmic microwave background, CMB) 的純量光譜指數 (scalar spectral index)。這是第一次可變光速理論研究能夠提供一個實在的數字去與觀測作比較。

現在的觀測結果雖然與 Afshordi 和 Magueijo 理論的數字吻合,但他們未能解釋光速可變會導致其他物理常數改變的後果。例如,光速可變意味著電磁力的大小在過去、現在、未來都不相同。這樣的話,依靠電磁力的化學知識全部都要改寫,科學家就很難解釋宇宙如何演化成今日的模樣、甚至地球上亦未必可以演化出生命。

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Afshordi 和 Magueijo 的可變光速論文明確預言宇宙微波背景光譜能量分佈斜率等於 0.96478(64)。Afshordi & Magueijo 2016, Phys. Rev. D, 94, 101301

“The predicted value is within current constraints, but improved observations would unambiguously prove or rule out the theory.” – Afshordi & Magueijo (2016)

光速是否可變是一個重要的科學問題,絕對有必要研究。然而為光速可變理論下結論,仍言之尚早。就如 Afshordi 和 Magueijo 所說,未來更精確的觀測結果將能證實或證偽光速可變理論。

提出預言、對比實驗,科學也。

延伸閱讀:

Critical geometry of a thermal big bang, Afshordi & Magueijo 2016, Phys. Rev. D, 94, 101301

光之系列:夜空為什麼是黑的?》- EVEREST. 議事之峰

1907年諾貝爾物理獎:阿爾伯特・邁克生》- 余海峯

超光速與時間倒流:叮噹可否不要老》- 余海峯

照亮相對論的光 (上)》- 余海峯

照亮相對論的光 (下)》- 余海峯

淺談 E=mc^2:愛因斯坦 137 歲誕辰

每年的 3 月 14 號是 Pi Day 圓周率日,因為 Pi = 3.141529……。

今天同時也是愛因斯坦 137 歲生日。去年 3 月 14 號,我寫了《拋開常識的學者.愛因斯坦》一文去紀念這位物理學家的 136 歲誕辰。文中我介紹了愛因斯坦的前半生平。關於他的成名之作相對論,我後來也在其他文章了作了簡單介紹,包括《你也能懂相對論》淺談狹義相對論的基本數學和《照亮相對論的光(上)、(下)》介紹了相對論與電磁學的關係。

很多讀者都跟我說,希望我寫一篇關於愛因斯坦最著名的方程式 E = mc^2 的文章。在今天愛因斯坦 137 歲誕辰,我們就來看看愛因斯坦在 1905 當年是如何推導出這家傳戶曉的質能轉換公式吧!

任何一本現代物理學或相對論教科書,無論是本科或研究生程度,都必定會講解 E = mc^2 的推導過程,涉及四維向量和微積分的數學技巧。不過,原來愛因斯坦當年的推導並沒有使用這些數學工具,而是用更直接的物理去得出 E = mc^2 這結論。

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我家靜止不動的兩隻喵星人。

想像有一隻喵星人。愛因斯坦本來並非說喵星人,而是一個廣義的物理系統,只不過我選擇喵星人做這個物理系統。這隻喵星人會發光(我們今天不討論生物學)。喵星人在靜止不動的時候(牠們很擅長),就有

總能量 = 喵星人能量 E_0

然後想像喵星人發光。由於光是能量,所以我們就會有

總能量 = 喵星人發光後的能量 E_1 + 光的能量。

假設喵星人放出的光總能量為 L。現在隨意選擇一個方向叫做 x,如果我們與喵星人相對靜止,就會觀察到一半的光能量 \frac{1}{2}L 沿著 +x 方向擴散開去、另外一半的光能量 \frac{1}{2}L 沿著 -x 方向擴散開去。因此就有

總能量 = 喵星人發光後的能量 E_1 + \frac{1}{2}L + \frac{1}{2}L

現在,假設我們觀察喵星人發光的時候並非靜止不動,而是沿著與 x 軸的一個夾角 \theta 方向以均速 v 跑。跟據狹義相對論,我們也可以說自己是靜止的,是喵星人在沿著與 -x 軸的一個夾角 \theta 方向以均速 -v 跑。所以我們就有

總能量 = 喵星人能量 H_0

注意 H_0 不等於 E_0,因為喵星人的運動狀態不同。然後,我們亦見到喵星人發光。我們知道一道波動在不同的波源運動狀態下,其頻率會有所改變,例如我們會聽到救護車的警報聲由高頻變成低頻,這現象叫做都普勒效應 (Doppler effect)。光也是波動的一種(電磁波動),因此也會有都普勒效應。不過由於光以光速行進,聲波的都普勒公式並不適用,我們需要使用相對論都普勒公式:

頻率比 = 能量比 = \frac{1+v/c \cos\theta}{\sqrt{1-v^2/c^2}}

所以

總能量 = 喵星人發光後的能量 H_1 +\frac{1}{2}L \times \frac{1+v/c \cos\theta}{\sqrt{1-v^2/c^2}} + \frac{1}{2}L \times \frac{1-v/c \cos\theta}{\sqrt{1-v^2/c^2}}

於由能量守恆,喵星人發光前後的總能量必須相等,簡化後就有

E_0 = E_1 + L

H_0 = H_1 + \frac{L}{\sqrt{1-v^2/c^2}}

現在我們來想一想,究竟這兩條公式代表什麼?首先我們會發現 \theta 不見了。這是合理的,因為 \theta 方向是可以隨意選擇的,任一 \theta 都不應該影響最後的物理結論。然後我們能夠看出 H_0 - E_0 = K_0 是喵星人發光前的能量於兩個運動狀態下觀測的差別、 H_1 - E_1 = K_1 是喵星人發光後的能量於兩個運動狀態下觀測的差別。因於喵星人從來沒有做過除發光外的事,這兩個能量差別 K_0K_1 必定是喵星人在兩個運動狀態下被觀測到的動能。

把上述兩式相減,我們就得到

K_0 - K_1 = \frac{L}{\sqrt{1-v^2/c^2}} - L

把上式右邊做泰勒展開 (Taylor expansion),忽略所有 4 次方或更高冪項,就得到近似值

K_0 - K_1 = \frac{1}{2}\frac{L}{c^2}v^2

這代表什麼呢?如果 K_0K_1 來自動能,其差也必來自動能。相信大家都知道動能的公式是 \frac{1}{2}mv^2(相對論的動能公式作泰勒展開並忽略所有 4 次方或更高冪項後也是 \frac{1}{2}mv^2),因此

\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}\frac{L}{c^2}v^2

化簡後得到

m = \frac{L}{c^2}

即是發光的能量來自喵星人的質量。除了發光外,考慮任何能量為 E  的物理過程,上述推導過程都完全一樣。因此

E = mc^2

愛因斯坦,祝你生日快樂。喵。

延伸閱讀:

拋開常識的學者.愛因斯坦》 – 余海峯

你也能懂相對論》 – 余海峯

照亮相對論的光(上)》 – 余海峯

照亮相對論的光(下)》 – 余海峯

封面圖片:http://www.hetemeel.com/einsteinform.php

照亮相對論的光 (下)

這是相對論與電磁學系列的暫時最後一篇文章。經過《你也能懂相對論》《光的祕密》《照亮相對論的光 (上) 》的討論,最後我們終於可以來討論電磁學與相對論的關係了。我現在要告訴你:「磁」只是「電」的相對論結果!

物理學家總是喜歡簡化事物。我們發現,只要用電現象放在相對論的時空中,自然就會得到磁現象了!這是多麼的深刻,又是多麼的美麗!

在入正題之前,我想各位明白一個道理:不懂數學絕對沒有問題!不懂一個學科絕對不是你的錯。「學問」裡最重要的除了「學習」其實就是「發問」。不論你是什麼身分,不懂就老實的說不懂,然後去學習和發問。我希望我的文章能夠刺激各位讀者去思考,這就是學問的精神,也是科學精神。

有一次,一個記者問愛因斯坦聲音的速度是多少,愛因斯坦回答說:「這些能夠在書中找到的資料並不存在於我的腦海之中。…… 學校教育的價值並非去學習很多事實,而是去訓練腦袋如何思考。」

“[I do not] carry such information in my mind since it is readily available in books. …The value of a college education is not the learning of many facts but the training of the mind to think.”

幫助數學背景不高的讀者理解科學,正正就是我寫科普的目的。希望所有人都能夠感受到自然定律的深刻和美麗,和抽象的數學在演繹科學概念時的重要性。比起理解數學推導過程更重要的,是了解科學背後的求真精神。

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若讀者沒有中學物理背景,我現在嘗試用文字解釋下面的數學:如果一條電線內有電流 I 在流動,就會產生一個磁場,其大小為

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其中 r 為測量磁場的點與電線中心的距離。

在下面的數學,我將會假設我們不知道世界上有磁場這個東西,然後證明當使用相對論的洛倫茲公式在電力身上時,會發現有一個並非電力的、額外的力存在。神奇的是,我們會看到這個額外的力的大小會剛好等於 (1),於是就證明了「磁」只是「電」的相對論結果!

在做 [沉悶的……] 數學證明之前,先來讓我們重溫電磁學的歷史發展吧!

GodfreyKneller-IsaacNewton-1689在 17 世紀,因為爆發疫情,大學休假,所以牛頓暫時回到家鄉。他在家鄉的這段時間裡,獨自完成非常多的科學研究,堪稱牛頓的奇蹟年。除了他那個家傳戶曉的蘋果樹故事外,他更發現了運動三定律、發明了微積分、從重力方程推導出開普勒的行星軌道方程,當然還有他那著名的稜境分光實驗。

蘋果樹的故事很可能是假的、而且微積分的功勞也不能全歸於他:萊布尼茲 (Gottfried Wilhelm Leibniz) 在同一時間獨立地發明了微積分,而且我們現在使用的微積分符號都是萊布尼茲的版本。但牛頓對大自然的深刻洞見是千真萬確的,尤其在最多人忽略的光學實驗之中,對後世的影響絕對不比發現萬有引力為少。

光,是人類接觸、感受、領悟自然的最直接途徑。牛頓發現了白光與色彩的關係,打開了日後光學研究的大門;當時的折射式望遠鏡因為鏡片打磨困難,很難加大倍率,他發明了牛頓式反射望遠鏡,這一設計沿用至今;他發明的微積分高等應用技巧「變分法」在以後被其他科學家用來解釋光的折射現象。所以,光的科學故事可以說是由牛頓開始的。

Ørsted故事跳到 19 世紀,轉眼百多年。人類對光學、電學以及磁學的研究已經非常多年,研究數據也非常豐富。可是一直要到奧斯特 (Hans Christian Ørsted) 意外地發現電流可以影響指南針,人類才首次發現電與磁是有關係的。大自然其實一直都在指示我們,可是很多時候我們卻視而不見。

奧斯特並沒有對這些發現視而不見。他雖然沒有用數學去描述這些現象,但他知道電流磁效應是一個非常重要的科學發現,他對此做了很多實驗,為科學界提供了非常豐厚的實驗數據。為了紀念他證明電流會產生磁場,在天文界使用的 CGS 單位之中的磁感應單位 oersted 就是以他的名字命名。

Andre-marie-ampere2用數學去精確描述奧斯特發現的人,是安培 (André-Marie Ampère)。現在,我們可以用安培定律準確地描述由電流產生的磁場,其實上面的第 (1) 式就是來自安培定律,不過我把證明留給有興趣的讀者。

奧斯特的發現與安培的工作很大程度幫助了人類理解「能量」這一概念。在當時的科學界,能量這個概念仍然相當模糊。很多科學家認為世上有很多不同種類的能量,但奧斯特與安培的研究結果卻顯示電能是可以轉化成磁能的,因此促進了能量概念的統一。其中最重要的、亦最廣為人知的能量統一研究,當然是愛因斯坦的 E=mc^2 了。而因為他的研究貢獻,安培的名字也永垂千古,人類現在以他的名字命名電流的單位 ampere。

SS-faraday法拉第是我最尊敬的科學家之一。他對科學的求真態度和對人的謙虛,都非常值得我們每一個人去學習。19 世紀的英國是個階級分明的社會。法拉第因為家境貧窮,沒有錢讀書,要去書店做書本釘裝學徒為生和養家。可是他並沒有因此氣餒,因為這樣反而令他有機會接觸不同的書籍,所以他每天一邊釘裝書本,一邊讀書。他最有興趣的是科學,他大部分的科學知識都是這樣不屈不朽地自學的。

當時的倫敦聖誕科學講座由戴維主持,喜愛科學的法拉第當然不會錯過,跑去做聽眾。當其他人都在看戴維表演的時候,法拉第卻認真地做筆記,回家可以溫習。他更把筆記整理好,再自行釘裝,送了給戴維。戴維因為看到他三番四次的誠意,因此聘請他做研究助理。因為這樣,大自然把光照到人類的科學界,最終使法拉第發現了電磁感生效應,即我們在中學會學到的「改變的磁場能夠感生電流」,這就是著名的法拉第定律。

Sir_Humphry_Davy,_Bt_by_Thomas_Phillips雖然戴維曾經有一段時間看不起出身低微的法拉第,並因為妒忌法拉第而用自己的權力打壓他。有傳戴維在臨終前,也終於說出作為科學家的驕傲的說話:「我這一生最大的發現,是發現了法拉第。」無論如何,法拉第始終尊敬這個給他機會做科學研究的老師,一生都非常尊敬他。在戴維死後,倫敦聖誕科學講座一直由法拉第主講,因為法拉第希望他的講座能夠吸引和啟發更多像他當年一樣的小伙子,所以他的講座所做的實驗都是有趣味和有啟發性的前沿發現,深受小朋友的喜愛。

James-clerk-maxwell3然後,就是我們在前文提過的馬克士威發現電磁方程式、赫茲證明電磁波真實存在等等。最後出場的是愛因斯坦。很多人 (包括我以前) 都以為愛因斯坦發現狹義相對論是因為力學的原因,其實不然。事實上,真正吸引愛因斯坦思考相對論的,是上回討論的電磁實驗。以下,我嘗試用最少程度的數學,為讀者證明:我們日常接觸的電磁鐵,其實就是相對論的一個活生生的實證。

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好了,現在讓我們來動手做數學證明:考慮一條電線,見圖 (1)。電線裡有一連串的正電荷正以速率 向右移動。想像電荷之間是如此的接近,以致可被想像成連續的正電荷密度 +λ。想像有負電荷密度 λ 以同樣的速率 向左移動。所以我們就有電流 I = 2λv。現在,有一個點電荷 在電線旁邊以速度 u <平行電線向右運動。由於圖中正負電荷密度相等,因此沒有任何電力會作用於 身上。我們稱這個座標系為 S

現在考慮另一個以速率 u 向右移動的座標系 S’,見圖 (2)。因為 S’ 與電荷 q 同向一方向運動而且速率一樣,所以在 S’ 裡的觀測者會看到電荷 q 靜止不動。根據愛因斯坦速度相加法則 (參考《你也能懂相對論》之中的第 (5) 式),正電荷和負電荷在座標系 S’ 中的速率分別為

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因為

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所以負電荷的速率比正電荷的速率高。換句話說,負電荷的洛倫茲收縮程度會比正電荷的嚴重,因此在座標系 S’ 中觀察時,這條電線是帶負電的!

現在我們來搞清楚各個坐標系中的電荷密度的關係。根據洛倫茲收縮公式,設 λ0 為靜止正電荷的電荷密度。注意,λ0 與 +λ 是不同的!+λ 是正電荷在座標系 S 裡的電荷密度 (正電荷不是靜止),而 λ0 是正電荷靜止時的電荷密度。所以,當我們在就座標系 S’ 中觀察時,就有

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當我們在就座標系 S 中觀察時,就有

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把 (2) 和 (3) 式分別代入 (5) 和 (6) 式,就得到

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所以,在就座標系 S’ 中觀察時,總電荷密度就等於

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所以,我們發現在不同座標系中觀察時,總電荷密度會有所不同。

由於在座標系 S’ 中觀察時總電荷密度不是零,根據高斯定律,會有電場

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因此,座標系 S’ 之中,電荷 q 所受的電力為

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問題來了:如果在坐標系 S’  中電荷 q 會受力的話,在坐標系 S 中它也必定會受力,因為物理定律是唯一的!這個力的大小是

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(關於力的變換公式,我在此略去,有興趣的讀者可以自行參考相對論教科書)

由於討論開始時我們假設只知道電力的存在,因此在坐標系 S 中必定存在另外一種力,這種力是由電力及相對論性效應導致的!這是甚麼力?當然就是磁力了。要看到這點,只需要把光速

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(參考《光的祕密》第 (14) 式)

代入 (12) 式,我們就得到

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但這是甚麼?還認得括號中的是甚麼嗎?對了,括號中的是一條電線裡的電流所產生的磁場,即是第 (1) 式!

如果讀者覺得以上數學和文字很悶,這裡有一段 YouTube 影片講解同樣的東西 (別罵我為什麼不早說,早說了你還會讀我這篇文章嗎?)

當然,關於相對論還有更多有趣的題目,以後可以和各位讀者討論。在這一連四篇關於相對論、光、電磁學等等的文章之中,希望大家也和我一樣,在領略大自然的深刻之餘,得到一點點的樂趣。

你也能懂相對論

如果我說,相對論與日常生用息息相關,你會信嗎?或許就算我是一位知名的物理學教授,說服力相信也不會大得多少。以下我將要用比較淺白簡單的文字和少許初等代數,說明並說服大家,相對論並不難懂,而且它在日常經驗中是如此的明顯、如此的必要!

1905 年被稱為愛因斯坦的「奇蹟年」,愛因斯坦向世界提出了一套非常明顯、非常合理,但卻一直不為人所理解的理論狹義相對論 (special relativity)。被稱為「狹義」是因為這個理論只在慣性座標系中適用;換句話說,即是在所有沒有加速度的系統中都適用。狹義相對論建基於兩大假設:

  • 在所有的慣性系統中,所有有物理定律保持不變。
  • 對於所有系統中的所有觀測者,光速永遠不變,而且不是無限快的。

假設 (一)「所有自然定律不變」一般被稱為相對性原理 (principle of relativity),明顯比較合理,也比較容易理解。而乍看之下,光速相對於所有人都不變,而不論那人正在高速奔跑或者靜止不動都沒有關係,就顯得較為奇怪了。要理解這一點,我們需要由速度的意義說起。速度,就是在說「每單位時間內走了多遠」。說得再淺白一點,可以想像為「每秒走了多少米 (m/s)」。但這只是慣用單位的問題,你當然可以想成「每小時走了多少公里 (km/h)」,這正是司機們慣用的單位。在科學中,單位是至關重要的,因為不同單位的東西就是不同性質的東西,不可以混為一談的比較,好像一個蘋果永遠不會等於一個橙。

假設 (二)「光速相對所有人都不變」,就是說相對於所有人,光在每單位時間內走的距離都一樣。就是說,當你向著一道光奔跑,「直覺上」你會認為你所看到的光速比起你在靜止不動時快,因為在你向光跑去的「同時」,光亦向著你衝去。換成數學上的表達,就是說如果你用速度 向著光衝去,而我們用 代表你在靜止時看到的光速,那你看到的光速就會變成了c + v。這就是所謂的伽俐略變換,亦被一般人叫做「常識」。當然了啊,兩個物件互相衝去,當然會比其中一個不動、或兩者互相遠離快啊。但是,愛因斯坦卻說不論你用甚麼速度,向著光或離開光移動,你到的光速都仍然為 c,不多也不少!

你會說:「這怎可能!這是違反常識的!」我的回答是,一般人的常識存在非常明顯的漏洞,可是在愛因斯坦之前卻一直沒有人留意到這個嚴重的錯誤!這個錯誤就是「同時」這一概念的演繹。甚麼是「同時」?就是說大家的時鐘顯示的時間都一樣啊!對,這也是愛因斯坦對「同時」的理解。但現在要再問一道問題,如何知道兩個時鐘的時間一樣?

問題到肉了,可是你會覺得很無聊:「說甚麼廢話!只要我看到兩個鐘的指針拍著的時間就是了!」好,停一停,想一想:我們能「看」到東西,是因為光進入到我們的眼球穿過水晶體折射後投影在視網膜上。總言之,我們能看到東西,是因為有光。光以一定的速度前進,而且因為光速有限,因此在不同距離發出的光相對於同一個觀測者而言,會在不同時間到達。試想像,兩個人相距非常遠,而兩個人都帶著一個時鐘,那麼當然,任何一方都會覺得對方那個時鐘所發出的光,會比自己手上的時鐘所發出的光要用更多時間才能進入你的眼睛吧!好了,我希望大家想想,究竟事先要如何調整兩個時鐘,才能使你和對方都看到兩個時鐘是同步的呢?當然,這是辦不到的!因為兩個時鐘相距兩個人的距離都不同。若然你看到它們是同步的,對方就會看到他手上的走得較快,反之亦然。

如果你不太理解的話,請從頭思考一次,先不要跳過讀下去,因為剛才所說的就是相對論的精髓所在。重點是,要知道世界上並沒有「對所有人都同時」這個概念存在,因此也可以說,「同時」這個概念對每個人都不同;說「對大家來說都是同時」就是錯誤的,沒有可能發生。這是非常明顯的,但卻一直被我們所忽略。這完全是因為對於人類的感覺來說,光速 (每秒三十萬公里,能夠環繞地球七個半圈) 實在是太快、太快了。

好了,接下來我要介紹相對論導致的兩個非常重要的結果,這些結果令人類對時間及空間的概念有了根本上的改變:時間及空間其實是互相糾纏、難分難離的。在這部分我會以數學論證,狹義相對論所涉及的數學都只是基本數學運算以及向量微積分,相信對有會考物理根基的朋友來說不會太難。

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在我們生活的三維空間中,每一件事件都可以用座標系的四個變量決定,就是 (長,闊,高,時間),數學表達為 (x, y, z, t)。假設在座標系 S 中有一原點 O,在 內觀測的人都會對每一件事件測得一組座標 (x, y, z, t);而現在有另一座標系 S’ 正在相對 S 以速度 向右移動,它的原點 O’ 在時間 t = 0 的時候剛好與 O 重疊,而在 S’ 內觀測的人都會對每一件事件測得一組座標 (x’, y’, z’, t’)。那麼,在我們的「常識」中,(x, y, z, t)(x’, y’, z’, t’) 的關係就是由伽俐略變換來決定:

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這就是我們認為的「常識」的數學表達方法。留意當中 t’ = t,因為在傳統的觀念裡,「同時」這概念仍然存在。明顯地,在伽俐略變換當中,時間是獨立地流逝的,與空間 (x, y, z) 無關。可是,在上文中我們知道「同時」是不存在的。

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想像小明站在一節正在行進的列車車廂正中間,在車頭及車尾都擺放了感應器。他向左右同時照射出兩道光束。對小明來說,車廂並沒有移動,所以他會看到兩道光束同時到達感應器。可是,對於一位站在月台上的人來說,因為列車正在向右移動,右邊的感應器不斷遠離光束,而左邊的就不斷靠邊光束。所以他會看到左邊那道光束首先到達感應器。因此,時間會因為觀測者的運動狀態不同而有所分別,而且這是非常明顯的!請注意,上述兩種情況都是正確的,沒有誰對誰錯,完全因為觀點與角度而已。回到 S 和 S’ 座標系的討論,因為兩個座標系的運動狀態不同,所以伽俐略變換就不是正確的描述了,我們必須改用另外一種座標變換方法,名為洛倫茲變換 (Lorentz Transformation):

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有關這組公式的推導過程,有興趣的朋友可以參考任何相對論課本。在這裡我們有興趣的是:如果時間及空間確實根據以上方程組變換的話,會有甚麼有趣的事情發生?

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首先,考慮一個「光鐘」,這是一個純粹由兩塊互相平行的平面鏡組成的計時器,有一束光在兩塊鏡之間來回反彈。然後我們定義這束光來回反彈一次的時間 Δt = 2h / 為一個時間單位,故此我們就有了這樣一種有趣的計時器。

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現在,我們讓這個光鐘在 S 座標系中以水平方向向右以均速 移動。所以我們就知道,如果我們稱光鐘為 S’ 座標系,就有 Δt’ = 2h / c。在 座標系當中,光就是以斜線行進的,根據畢氐定理,我們得到

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使用簡單代數運算求得 Δt

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因為 v < c,所以分母必定小於 1 ,故此 Δt’ < Δt。換句話說,移動中的座標系的時間流逝得比較慢。這就是著名的時間遲滯 (Time Dilation) 。

除了移動中的人的時間在其他人眼中會變慢之外,移動中的物體看起來也會變短。這叫做長度收縮 (Length Contraction)。如果 L是物體靜止時的長度,L 是物體相對於觀測者以速度 v 移動時的長度,那麼我們就會得到

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公式 (3) 的推導過程與公式 (2) 差不多,只要把光鐘轉個直角再考慮水平移動就可以了,有興趣的朋友可以自己當做練習試試推導。

以上兩個「違反直覺」的現象都已經被實驗觀測所證實了。其中一個重要的證明是關於宇宙射線的問題。每分每秒都有大量的宇宙射線攻擊著地球,這些射線多是帶電粒子諸如質子及電子等等,能量很高。幸好地球有磁場以及大氣層的保護,不然地球上就不可能有生命存在了。

一些粒子與大氣粒子碰撞後,會產生許多不同種類的粒子,向各個方向散射。這些粒子的壽命一般都非常短暫,就算在產生的一刻開始已經用接近光速前進,在它再衰變成其他粒子之前,前進的距離最多也只得幾百米。但是,雖然地球的大氣層厚度約為 100 公里,設置在地面上的儀器卻可以探測到它們!這完全是因為這些粒子以接近光速行進,相對論的效應就會變得很大。如果在靜止時這些粒子的壽命是 T,那麼根據時間遲滯現象,地面上的人就會測得它們的壽命為

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其中 是粒子的速度。明顯地,當 非常接近 c 的時候,T’ 就會變得非常大,所以它們有足夠的時間可以穿過厚厚的大氣層落到地面。

我最後想介紹的是著名的愛因斯坦速度相加法則。在早前的討論中,我們已經明白到,在光速不是無限快的條件下,時間必須是「相對」的。亦即是說,對於不同運動狀態的觀測者,時間的流逝速率各有不同。同樣地對於空間來說也是如此。因此,我們就不能說兩個互相靠近的人的相對速度 v’,會簡單地為 v’ = v1 + v2,其中 v和 v分別為兩個人的速度。那麼 v’ 應該如何表達才對呢?其實簡單得很,只要把洛倫茲公式對時間微分就可以了。詳細的做法可以參考教科書,其結果為

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因此可以看到在相對論下,相對速度 v’ 比較小。如果代入文章開頭的例子,你和光束互相衝向對方,就有

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所以你會驚訝地發現,c + 仍然是 c!這是當然的,因為相對論本身必須符合它的假設:光速不變。

其實狹義相對論還有許多有趣的題目可以討論的,例如著名的質能公式 E = mc^2、雙生子悖論、能量-動量四維向量、以及相對論性電磁場理論等等,或許在以後我會和大家深入討論。而愛因斯坦在 1916 年提出的廣義相對論 (general relativity),則是一套把重力與加速度都包含在內的時空理論,能夠非常準確地描述我們身處的宇宙。廣義相對論所涉及的數學非常深奧,需要使用到十分抽象的黎曼幾何以及張量的概念,確實並非每個學生也能明白。在以後我會試試為大家說明廣義相對論的重要性。總而言之,在這篇文章中,我希望大家明白的事,是相對論其實並非一般人想像的那麼深奧難懂。至少,就狹義相對論而言,只需要中學程度的物理及數學知識就可以了。