永恆的對稱:艾瑪.諾特(Emmy Noether)

艾瑪.諾特(Emmy Noether, 1882 – 1935)是個才能非常出眾的女性數學家,愛因斯坦稱她為史上最重要的數學家。她的研究解答了一個非常深刻的物理問題:為什麼我們的宇宙中存在能量守恆、動量守恆等守恆定律?

諾特生於德國巴伐利亞城市埃朗根(Erlangen),父親是位數學教授。她本來打算畢業後當法文和英文老師,但後來改變主意,進入他父親工作的埃朗根大學(Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg)攻讀數學。她在 1907 年取得博士學位,著名的數學家大衛.希爾伯特(David Hilbert, 1862 – 1943)看見她的數學才華,希望把她聘到哥廷根大學(Georg-August-Universität Göttingen)做私人講師(Privatdozent,德國的一種講師資格,卻不一定是支薪的)。可是,哥廷根大學哲學系反對聘請諾特,他們說:「若然我們的軍士打仗回國,卻發現他們要接受一個女人的教導,他們會有何感想?」而且,他們不希望一個女人有資格在大學評議會中投票。

面對攻擊諾特的性別歧視,忿怒的希爾伯特反擊道:「我看不出申請人的性別是反對她成為私人講師的理由。畢竟,評議會並非澡堂。」

“I do not see that the sex of the candidate is an argument against her admission as a Privatdozent. After all, the Senate is not a bath-house.” – David Hilbert

儘管諾特得到希爾伯特的支持,哥廷根大學始終不肯聘請她。往後 7 年間,她在埃朗根數學院(Mathematical Institute of Erlangen)工作,而且是不支薪的。有時候,當她父親病倒了,她會代替他在埃朗根大學授課。直到 1915 年,希爾伯特和菲力斯.祈因(Felix Klein, 1849 – 1925)邀請她到哥廷根大學,以希爾伯特的名義講課。最後在 1919 年,哥廷根大學終於正式聘請諾特做私人講師。

諾特在數學中有很多重要的貢獻,而其中最著名的莫過於諾特定理(Noether’s Theorem):每個物理作用量的可微分對稱,都存在一個對應的守恆定律。簡單來說,諾特定理說物理守恆定律來自物理定律的對稱性。用更簡明的語言來說,就是如果物理定律在座標轉換後維持不變,那麼這個轉換背後就藏著一個守恆定律。例如,我們向著哪個方向做實驗都得到一樣的結果,這就代表了角動量守恆定律;我們在今天、昨天或明天做實驗結果都相同,這是因為能量守恆定律;動量守恆定律則使我們在宇宙中哪裡做實驗都沒有分別。

諾特定理對發展新的物理理論很有幫助。物理學家只要找出物理問題的對稱性,就能夠知道守恆的物理量;反之,也可以由守恆定律出發,推導出物理系統的運動方程。

諾特經常與同事合作研究,而且她的研究興趣非常廣泛。她的專長是抽象代數(abstract algebra),不過有時候在非專業的領域中,諾特也做出了不少貢獻。而且,她對分享知識和看法也毫不吝嗇,不會把想法收起來,而是會大方地與其他數學家討論,哪怕對方是同領域上的「對手」。有幾次,同行數學家用了諾特的想法發表論文,諾特也毫不介意。

諾特的研究和教學態度也廣受好評。儘管有時她會因為數學問題而與別人大吵一場,她的立場始終是針對數學而非針對個人。有次,她的兩個女學生留意到諾特的頭髮亂了,想上前提醍她,但她正在和其他學生討論數學,以致在兩小時內兩個女學生也找不到空間打斷諾特的討論。然而,諾特的課堂並不太有條理,她通常用課堂時間和學生討論最前沿的數學問題,有時她的講義內容甚至超越了當代領域的最新研究,這使有些學生感覺跟不上。不過諾特對學生非常關心,她的學生會稱她做「論文母親」,其他人也叫諾特的學生做「諾特的孩子」。

1933 年,納粹在德國橫行無道,擁有猶太血統的諾特被哥廷根大學開除。她移民到美國,在賓夕法尼亞州博懋學院(Bryn Mawr College)繼續做研究。可惜的是於 1935 年,她被診斷出有個卵巢囊腫,要入院做手術切除。手術之後三天,諾特情況慢慢好轉,然而在第四天她突然發高燒並陷入昏迷,未幾離世,享年 53 歲。

諾特受盡歧視,然而數學、科學發現都不會因身份、性別、種族或任何取向而改變。諾特與對稱,將一同永垂青史。

在宇宙的邊緣會看見什麼?

答案是我們什麼都不會看到。這非因沒有東西在宇宙外面,而是宇宙根本沒有邊緣。

讀者們可能聽說過:我們的宇宙是無邊無際的。不過這並非指我們的宇宙是無限大的。實際上,宇宙的大小是有限的,而且我們更可能知道,宇宙正在膨脹。這聽起來有點不可思議:一個正在膨脹的宇宙,怎會沒有邊界?

我們要稍微討論一下「維度」這個概念。維度就是我們常說的 2D、3D 的那個 D,即 dimension 的意思。一維可以用一條線表示、二維是一個平面、三維則是一個立體。好,問題來了:你能夠想像到四維的模樣嗎?我不是說「4D 電影」那種震動送風噴水啊⋯⋯咦,我說什麼?

好了,時間到。想到四維是什麼樣了嗎?想不到?沒錯,想像不到。為什麼呢?因為我們都是活在三維空間裡的生物。等等,我以前好像曾經寫過文章,說我們的宇宙是四維的⋯⋯?

對,我們的宇宙確實是四維的。不過並非四維空間,而是四維時空。時空的意思就是「時間 + 空間」。愛因思坦發現我們的宇宙是由三維空間加上一維時間構成的。牛頓認為時間與空間是獨立於宇宙而存在的。換句話說,在牛頓力學裡空間和時間就好像房間與掛在牆上的時鐘,房間裡放了一個宇宙;而愛因斯坦卻指出,空間和時間其實就是宇宙本身。我們的宇宙有了另一個名字:時空,而且它是四維的。

二維宇宙的膨脹。Image courtesy of Eugenio Bianchi, Carlo Rovelli, & Rocky Kolb.

說了這麼多,究竟跟宇宙沒有邊界有什麼關係啊?我們來想像一個氣球,氣球的表面積是有限的而無邊際的,就像我們的地球一樣。我們可能會以為球體表面是三維的,但其實它只是二維的。因為我們是生活在三維空間的生物,我們能用三維的視角看二維表面。現在,假設氣球正在膨脹,我們可以輕易地理解氣球表面如何在三維空間中越變越大。但如果有一些二維生物生活在這個二維表面上,他們也會發現他們的宇宙是沒有邊界的,但他們不能夠想像它是如何膨脹的。所以問他們在宇宙邊緣會看見什麼也是沒有意義的,因為氣球表面根本就沒有邊界。

同樣地,如果我們把這個二維氣球在三維空間中膨脹的比喻,套在我們的三維空間正在四維時空裡膨脹,就多少能夠明白我們的宇宙了。物理學家相信,如果我們在宇宙裡向一個方向走,最後有可能會從反方向回到起點,就好像在地球上一直向東走,最後會從西面回到起點一樣。

說不定,有些四維生物正在看著我們的宇宙,笑說我們是如何愚蠢呢。

光速:宇宙高速公路的速度限制

為什麼夜空是黑色的?

這是一個非常古老的問題。問題的答案並不簡單,涉及對光線本質以及宇宙的理解。

想像宇宙是一個大球體,地球在球體正中心。球體裡面有隨機分佈的發光點,代表一顆又一顆的恆星。有些星星離中心點地球比較近、有些比較遠。想像這個球體不斷變大,新的星星在新的空間裡隨機生成。如果這個球體趨向無限大,星星的數量就會趨向無限多。由於星星的分佈是隨機的,我們從中心點往任一方向觀測,視線都必然會落在某一顆星之上。如果光線不需要傳播時間,即光速無限,那麼夜空就應該是白色的!

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奧伯斯悖論示意圖。Image courtesy of Kmarinas86/Wikimedia Commons

這個問題叫做奧伯斯悖論 (Olbers’ paradox),是從前一個著名的科學悖論。現在我們知道宇宙並非無限大、可觀測宇宙大小有限、宇宙中星星的數量並非無限多、光速亦非無限快,因此從較遠的恆星出發的光不夠時間傳播到地球。

1861 年,馬克士威證明光是電磁波。當時的科學家都相信,就如同其他波動需要傳播媒介一樣,傳播光波亦需要一種假想的媒介,稱為以太。1907 年,阿爾伯特・邁克生 (Albert Michelson) 因為使用干涉儀非常準確地測量出光的速率而獲頒諾貝爾物理學獎。光速大約為每秒 30 萬公里,只需 1.3 秒就能從地球走到月球。

邁克生干涉儀實驗的另一目的是測量地球在以太之中運行的速率。他以為於一年四季不同時間做同樣的光干涉實驗,實驗結果理應會顯示光速因地球在以太中運動方向不同而有所分別。可是,邁克生和莫雷 (Edward Morley) 的干涉儀實驗結果顯示,不論地球的運動方向,光速都沒有改變。

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地球在假想的以太之中以不同方向運動會導致光速測量結果不同。Image courtesy of Cronholm144/Wikimedia Commons

愛因斯坦在 1905 年發表狹義相對論,解釋了邁克生和莫雷的實驗結果。相對論之中,時間和空間被結合成為一體,叫做時空。由於時間和空間的物理單位不同,我們需要一個因子去在兩者之間轉換。這個因子有著距離除以時間的單位,即是速率。這個速率是宇宙間所有物質的極限速度,因為跟據相對論,質量非零的物質需要無限多能量才能達到此極速。

愛因斯坦認為光是傳播資訊的最快方法。邏輯裡的因果定律成立是因為沒有資訊能傳遞快過光。因此,光速就是這個宇宙中的終極速度限制,而這個極速跟據相對論是個常數,永恆不變。在光速不變的前提下,空間會因觀測者的運動狀態不同而收縮。所以,相對論亦意味著光波不需要以太或任何傳播媒介。

相對論其實並沒要求光速不變而且為宇宙極速,只是這個極速必須剛好等於光速,才能解釋我們所觀察到的所有物理現象。因此,一直有理論物理學家研究可變光速理論。

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狹義相對論對光速不變導致時空收縮的數學圖解。不同顏色代表不同運動狀態的觀測者的時空。Image courtesy of Army1987/Wikimedia Commons

理論物理學家 João Magueijo 自 1990 年代起研究可變光速,亦寫了一本不錯的科普書講述他在發表論文時遇到的困難和科學家之間的合作與衝突。由於光速可變這假設會動搖所有物理理論的基礎,很少科學家會投入自己一生職業去研究。

今年 10 月,Magueijo 與合作者 Niayesh Afshordi 在科學期刊 Physical Review D 上發表了一篇新的可變光速研究論文,他們推導出宇宙微波背景 (cosmic microwave background, CMB) 的純量光譜指數 (scalar spectral index)。這是第一次可變光速理論研究能夠提供一個實在的數字去與觀測作比較。

現在的觀測結果雖然與 Afshordi 和 Magueijo 理論的數字吻合,但他們未能解釋光速可變會導致其他物理常數改變的後果。例如,光速可變意味著電磁力的大小在過去、現在、未來都不相同。這樣的話,依靠電磁力的化學知識全部都要改寫,科學家就很難解釋宇宙如何演化成今日的模樣、甚至地球上亦未必可以演化出生命。

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Afshordi 和 Magueijo 的可變光速論文明確預言宇宙微波背景光譜能量分佈斜率等於 0.96478(64)。Afshordi & Magueijo 2016, Phys. Rev. D, 94, 101301

“The predicted value is within current constraints, but improved observations would unambiguously prove or rule out the theory.” – Afshordi & Magueijo (2016)

光速是否可變是一個重要的科學問題,絕對有必要研究。然而為光速可變理論下結論,仍言之尚早。就如 Afshordi 和 Magueijo 所說,未來更精確的觀測結果將能證實或證偽光速可變理論。

提出預言、對比實驗,科學也。

延伸閱讀:

Critical geometry of a thermal big bang, Afshordi & Magueijo 2016, Phys. Rev. D, 94, 101301

光之系列:夜空為什麼是黑的?》- EVEREST. 議事之峰

1907年諾貝爾物理獎:阿爾伯特・邁克生》- 余海峯

超光速與時間倒流:叮噹可否不要老》- 余海峯

照亮相對論的光 (上)》- 余海峯

照亮相對論的光 (下)》- 余海峯

光電效應:愛因斯坦的諾貝爾

如果問愛因斯坦最著名的是什麼,相信十之有九會答 E = mc2。這是他在 1905 年推導出來的質能互換公式,是他發現的相對論的一個直接結果。

愛因斯坦的科學之中,最著名的莫過於相對論。他在 1905 年發表狹義相對論,描述慣性時空裡不同參考系之間的關係、結合質量和能量兩個概念;1916 年發表廣義相對論,把萬有引力、加速度、時空結合為一體,徹底推翻牛頓物理學。

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愛因斯坦於 1923 年 7 月 11 號在瑞典哥德堡舉行的 Nordic Assembly of Naturalists 會上講他的諾貝爾獎講座。雖然愛因斯坦得到的是 1921 年的諾貝爾獎,可是因為諾貝爾奬委員會認為在 1921 年的提名名單中沒有人能夠得獎,跟據規則該年度之獎項順延至下一年頒發,所以愛因斯坦其實是在 1922 年得到 1921 年的諾貝爾獎。而由於在 1922 年諾貝爾獎頒獎典禮舉行時愛因斯坦正在遠東旅行,直到 1923 年愛因斯坦才在哥德堡講出他的諾貝爾奬講座。順帶一提,愛因斯坦獲頒諾貝爾獎不久之前,他正在香港。Image courtesy of The Nobel Prize

愛因斯坦對物理學的貢獻,絕對足夠好幾座諾貝爾物理獎。然而,愛因斯坦只在 1921 年獲頒過一次諾貝爾物理獎。很多人都以為他的得獎原因必為發現相對論。但原來,他獲獎的原因是解釋了一個我們日常會接觸到,但鮮少留意的現象:光電效應 (photoelectric effect)。

光電效應在高中物理課程裡應有所提及。簡單地說,光電效應就是太陽能電池的原理。光電效應的解釋,涉及一個古老問題:究竟光是什麼?

大家都知道光線的基本特性就是以直線前進和會反射。歷史記載第一個以數學歸納出光線的反射定律的人,就是公元前 3 世紀的古希臘數學家歐幾里德。公元 2 世紀,托勒密亦歸納出光線的折射定律。古希臘人對視覺的本質分為兩派。一派認為眼睛會發射觸手出去,接觸到物件就看得見了(有點毛骨悚然);另一派認為光線是由細小的微粒所構成,視覺是因為這些微粒進入眼睛。今天我們知道後者是正確的,然而在古希臘時期大部分人都不相信光的微粒理論。

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牛頓進行三棱鏡分光實驗。1874 年由不知名畫家所畫。

17 世紀,牛頓的著名三棱鏡分光實驗,證明了白光是由不同顏色的光組合而成。牛頓認為光的本質是粒子,他試圖以重力解釋光的折射,認為是光粒子穿過不同密度物質時加速而成。19 世紀,拉普拉斯亦相信光是粒子,以牛頓重力理論假設一個連光亦不能逃逸的、質量非常大的星球的存在,其實就是現代科學中的黑洞概念。可是,當拉普拉斯得知光的干涉實驗證明光線是一種波動之後,他就拋棄了他的黑洞理論。其後,愛因斯坦的廣義相對論再次預言黑洞存在,亦已被現代天文觀測證實。

直到 19 世紀,馬克士威導出完整的電磁理論,證明了法拉第認為光線是電磁波的假設正確。1886 年赫茲以實驗證實馬克士威的電磁波動理論、1897 年馬可尼成功進行跨大西洋無線電通訊等,似乎所有證據都支持光線的波動學說。可是,我們從科學史中學習到的,正是大自然不斷顯示給人類的驚奇。

1887 年,赫茲和 Hallwachs 首次觀察到光電效應。他們發現使用可見光或紫外線照射某些物質時,其表面會釋放出陰極射線,即是電子。跟據古典物理學,這是因為電子從光線吸收了足夠能量擺脫物質的吸引力。可是,古典物理學並不能解釋幾個問題:

  1. 為何只有超過某數值頻率的光才能把電子從物質釋放出來?
  2. 被釋放的電子的能量為何與光線的強度無關,而且有一個上限值?如果電子只是單純地吸收光的能量,那麼光線越亮電子的能量不是應該越高嗎?
  3. 為何光線的吸收與電子被釋放之間沒有時間差?電子不是應該吸收了足夠的動能後才能擺脫物質的吸引力嗎?
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光電效應示意圖。光子被物質中電子吸收,使電子能擺脫物質吸引力而逃逸。Image courtesy of Wolfmankurd/Wikimedia Commons

愛因斯坦在 1905 年發表了論文《Concerning an Heuristic Point of View Toward the Emission and Transformation of Light》使用普朗克的光粒子假設解釋了光電效應。跟據普朗克的理論,光線的能量只由其頻率而定。跟據普朗克公式

E = hν,

其中 E 是光線的能量,ν 是光線的頻率,h 是比例常數,即著名的普朗克常數 (Planck constant)。於是,光線可以被想像為粒子,其能量與光源強度無關。現在我們稱之為光子 (photon)。

普朗克的光子概念能夠解釋上述問題:

  1. 由於同一頻率的光子能量固定,假設每個電子每次只能吸收一個光子,那麼只有在光子頻率足夠高(即能量足夠大)時電子才有足夠能量擺脫物質的吸引力。
  2. 光線的強度只決定光子的多寡。光線越明亮,光子越多,但光的頻率不會變。由於假設每個電子每次只能吸收一個光子,被釋放的電子的能量就等於光子能扣除擺脫物質所需的能量。假設擺脫物質所需的能量對每個電子都一樣,被釋放的電子的能量就會有上限。
  3. 同樣地,假設每個電子每次只能吸收一個光子,如果光子頻率足夠高的話電子就能立即擺脫物質。

我們注意到上述解述中有一個假設,就是每個電子每次只能吸收一個光子。我們不難想像電子能夠連續吸收幾個光子。為什麼不可以呢?原來這與量子力學有關:一個自由的電子的能量可以是任何數值的,但受物質束縛的電子只能擁有某些數值的能量。換句話說,物質中電子的能量是不連續的,我們稱之為能階 (energy level)。受物質束縛下的電子只能從一個能階跳到另一個能階,而且能階之間的能量差都不相同。所以,如果光子的能量不足以供電子一次過跳到自由態(即擺脫物質),光子就不太可能被吸收,因為只有剛好等於兩個能階之間的能量差的光子才會被吸收。就算光子的能量剛好等於兩個能階之間的能量差而被吸收,電子也只會跳到另一能階,而與下一能階的能量差又不同,所以不會再吸收同一頻率的光子。

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鋅 (Zinc) 元素的光電效應圖解。圖中 4 至 8 x 1014 Hz 是可見光的頻率範圍。斜線與垂直軸交會點 (-4.3 eV) 就是鋅的功函數。Image courtesy of Klaus-Dieter Keller/Wikimedia Commons

愛因斯坦推導出光電效應公式

Kmaxhν – φ,

其中 Kmax 是被釋放的電子的最大動能,φ 是該物質的功函數 (work function),即電子擺脫物質所需最小能量。光電效應公式指出被釋放的電子的能量與光子頻率成正比,上圖中的斜線顯示了這一關係。光電效應公式更可用來直接測量普朗克常數;圖中斜線的斜率就是普朗克常數。

愛因斯坦對光電效應的解釋顛覆了馬克士威的電磁波動理論。由於馬克士威的理論有非常多的證據支持,一些科學家在很多年後仍不接受愛因斯坦的解釋。1916 年密立根的實驗證實愛因斯坦的光電效應公式正確無誤,更成為第一個測定普朗克常數的人。在 1921 年愛因斯坦因光電效應獲頒諾貝爾物理獎之後兩年,密立根亦部分因為對光電效應的工作而得到 1923 年諾貝爾物理獎。

愛因斯坦的光電效應論文除了開創太陽能電池的可能性外,更為量子力學奠下基礎。光線同時擁有波動和粒子的特性,叫做波粒二象性。我們在之後的文章討論量子力學時,會再回到這個話題之上。

封面圖片來源:The Caltech Archives

延伸閱讀:

光的秘密》- 余海峯

你也能懂相對論》- 余海峯

你也能懂量子力學》- 余海峯

拋開常識的學者:愛因斯坦 (Albert Einstein)》- 余海峯

宇宙膨脹可能均速、也可能加速

愛因斯坦在 1916 年正式發表廣義相對論之前,宇宙被普遍認為是物理世界的一個背景舞台。廣義相對論描述時間、空間、物質、能量的互動,把宇宙由背景變成了主角。

愛因斯坦原本並不相信宇宙能夠膨脹或者收縮。縱使他知道他親手推導發現的方程式顯示了一個必然結果:宇宙不是在膨脹就是在收縮,他覺得這是不可能的。數學邏輯本身不可能出錯,但愛因斯坦也相信自己的推導沒有錯。因此,他只好在他的方程式加入一個人為的、不影響方程式正確性的項,就是所謂的宇宙常數 (cosmological constant)。

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愛因斯坦場方程式 (Einstein field equations)。這是一組十式獨立的方程式,描述時空、物質和能量的互動,其數學解能告訴我們宇宙如何演化。紅色方格內的項就是宇宙常數。

由於重力只能吸引、不能排斥,宇宙不可能是靜止的。想像一個拋向半空的球,它不是正在上升就是在下降,除了由上升變成下降的一瞬間和撞到地面之外,球在重力的影響下必然在運動。在星系的巨大尺度,宇宙只由重力支配,因此亦必然在運動。

引入宇宙常數的愛因斯坦以為這樣就能解決他的問題:使宇宙靜止。宇宙常數有著與重力相反的性質:使物質互相排斥。愛因斯坦認為充滿物質的宇宙在重力的影響下會收縮,因此加入宇宙常數去平衡重力的吸引,希望得到一個靜止的宇宙。

可是,哈勃 (Edwin Hubble) 發現星系正在互相遠離,而且越遙遠的星系後退的速度就越快。這只能有兩個解釋:要麼地球是宇宙的中心、要麼宇宙正在膨脹。當愛因斯坦知道哈勃的發現後,他後悔在廣義相對論方程式裡加入了人為的宇宙常數 (流傳他說過這是他「一生中最大的錯誤」的故事應該是假的)。哈勃更邀請愛因斯坦到他位於美國加州的巨型天文望遠鏡,讓愛因斯坦親眼看到宇宙膨脹的證據。

“Historically the term containing the ‘cosmological constant’ ƛ was introduced into the field equations in order to enable us to account theoretically for the existence of a finite mean density in a static universe. It now appears that in the dynamical case this end can be reached without the introduction of ƛ.” – Albert Einstein

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哈勃 (中) 和愛因斯坦 (左) 使用威爾遜山天文台 (Mount Wilson Observatory) 的 100 吋望遠鏡觀察宇宙。這是當時世界最大的望遠鏡。(Credit: Caltech Archives)

在今天,宇宙常數有一個更性感的名字,叫做暗能量 (dark energy)。1998 年,三位天文學家 Saul Perlmutter、Brian Schmidt 和 Adam Riess 帶領的研究發現宇宙不單正在膨脹,而且膨脹正在加速。這是一個非常重大的發現,連諾貝爾物理獎也罕有地在 2011 年頒給這三位天文學家 (因為天文學研究很難有實際應用)。暗能量、或者宇宙常數,因而在上世紀末重新復活。一個正在加速膨脹的宇宙,比一個靜止的宇宙需要更巨大的宇宙常數 (事實上,即使有宇宙常數,宇宙亦不可能靜止)。

宇宙加速膨脹變成了標準的教科書內容。宇宙加速膨脹的證據來自觀察遙遠星系中的超新星爆發。超新星爆發是一顆恆星死亡的訊號。超新星也有不同的種類,其中一種叫做 Ia 型的超新星爆發時所釋放的能量是 (差不多) 固定的,所以透過測量 Ia 型超新星爆發的視亮度就能計算出其距離。原理就如蠟燭火光,放在比較遠的距離看起來就會比較暗、放在比較近的距離看起來就會比較明亮。

Saul Perlmutter、Brian Schmidt 和 Adam Riess 帶領的研究發現,相對於一個均速或減速膨脹的宇宙,Ia 型超新星爆發的視亮度比預期的暗太多了。換句話說,這些 Ia 型超新星位於比預期更遙遠的距離;換句話說,宇宙在加速膨脹。

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不同的宇宙模型 (左至右):減速、均速、加速膨脹。(Credit: The Cosmic Perspective/Jeffrey O. Bennett, Megan O. Donahue, Nicholas Schneider, and Mark Voit)

這是上世紀的發現,他們的研究用了七十多顆 Ia 型超新星。現在,Ia 型超新星的樣本數目已達當年的十倍之多。隨著數據量增加,天文學家亦逐漸開始使用更合適的統計方法更新 Ia 型超新星的宇宙膨脹研究。例如 J. T. Nielsen、A. Guffanti 和 S. Sarkar (2016) 的研究與及其他幾個獨立研究均發現,大量的 Ia 型超新星爆發的數據與均速膨脹的宇宙都吻合。他們認為當年使用的統計方法過於簡單,未必適用於少量數據。

不過,他們的研究同時亦指出,加速膨脹的宇宙同樣與 Ia 型超新星爆發的數據吻合。換句話說,我們最多只能說宇宙可能正在均速或加速膨脹,並不能排除其中一個可能性。在加速膨脹的宇宙模型裡,天文學家需要比全宇宙所有物質和能量的總和大約 14 倍之多的暗能量才能解釋觀測結果。如果宇宙膨脹並沒有加速,那麼暗能量可能並沒有我們以為的那麼多、或者根本不需要暗能量。

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Nielsen et al. (2016) 的論文顯示均速 (紅色線) 和加速 (藍色線) 膨脹宇宙模型都可以解釋 Ia 型超新星爆發的觀測數據。

Nielsen et al. (2016) 的論文並沒有如某些媒體所寫的「證明宇宙沒有加速膨脹」。我們必須小心分辨媒體的可信性,而且即使是有公信力的媒體,也不可能避免所有錯漏。在看科學新聞時,如果對報導有所懷疑,最好的做法就是直接找原論文來看、或請教相關的研究專家。

愛因斯坦究竟有否犯下「一生最大錯誤」,仍有待大自然提供更加多的科學數據。

Nielson et al. (2016) 論文:Scientific Reports 6, Article number: 35596 (2016)

後記:

宇宙學家朋友 Godfrey 讀過此文後,贈與一些補充資料。

宇宙常數和暗能量的概念有點不同。宇宙常數可以是正數、零、或負數,當負數時其影響與重力相反。宇宙常數是一種真空能量 (vacuum energy),其密度不會隨宇宙體積變大而減小。可是,物質和能量的總和不會增加,因此質能密度會隨宇宙體積變大而減小。所以在平直 (flat) 的膨脹宇宙之中,如果宇宙常數非零,無論數值多少最後也必定能支配宇宙演化。

另外,Ia 型超新星並不是宇宙加速膨脹的唯一證據,例如宇宙微波背景 (cosmic microwave background) 也顯示宇宙可能在加速膨脹。諾貝爾奬得主 Adam Riess 更親自寫了一篇文章解釋誤解,他說宇宙加速膨脹的可能性只是由 99.99999% 降至 99.97% 而已,與某些傳媒誇張頭條相去甚遠。

Adam Riess 在 Scientific American 的文章:Have Astronomers Decided Dark Energy Doesn’t Exist?

封面圖片:宇宙演化模型 (Credit: NASA/WMAP Science Team)

延伸閱讀:

讀論文》- Edward Ho

淺談 E=mc^2:愛因斯坦 137 歲誕辰》- 余海峯

你也能懂相對論》- 余海峯

科學家巡禮:拋開常識的學者.愛因斯坦 (Albert Einstein)》- 余海峯

愛因斯坦教授 你是正確的

萬一觀測結果與你的理論不符呢?

1919 年,愛因斯坦的一個學生如此問他。那天,愛丁頓 (Sir Arthur Stanley Eddington) 在西非普林西比島 (Príncipe) 以電報向全世界傳送他的日全食觀測結果。他的觀測顯示星光的確被太陽重力扭曲,成為愛因斯坦廣義相對論的第一個證據。

若然如此,我會為上帝感到惋惜。我的理論是正確的。

愛因斯坦這樣回答。

今年 2 月 11 號,激光干涉重力波天文台 (LIGO) 正式發表人類史上首次直接觀測到重力波 GW 150914 的證據。6 月 14 號,LIGO 再發表第二個重力波 GW 151226 的證據。

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GW 151226 重力波訊號。(Abbott et al. 2016, PRL 116, 241103)

這兩個重力波都是雙黑洞結合系統所釋放出的。另外比較少人留意的是 LIGO 同時發表了第三個疑似重力波 LVT 151012 的證據。相比 GW 150914 與 GW 151226 的 99.99997%,LVT 151012 只有 87% 機會是真實的重力波。

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三個重力波訊號在天空上的可能來源方向。(Abbott et al. 2016, arXiv:1606.04856)

這三個重力波訊號打開了人類觀察宇宙的另外一個窗戶。幾千年的人類文明以來,我們終於能夠以電磁波以外的方法觀察這個宇宙。如果人類文明能夠延續下去,這肯定佔有未來歷史書中極其重要的一頁。

另一方面,這三個重力波訊號也帶給了人類另一個難題:為什麼擁有幾十倍太陽質量的雙黑洞系統比我們想像的還要多?這對於人類了解恆星演化和宇宙演化等課題極為重要。

今年剛好是愛因斯坦發表廣義相對論 100 週年。97 年前,廣義相對論的第一個預言「星光偏折」得到了證實。今年,廣義相對論的最後一個預言「重力波」也得到了驗證。科學就是如此的一門學問,能夠用嚴謹的數學作出在 100 年後以 99.9999% 準確度證實的預言。

我想像,如果愛因斯坦得知人類在過去一個世紀窮幾代科學家一生努力才能夠在今天證實他的預言,他應該會說:「我早就知道,我的理論是正確的。」

封面圖片:LIGO, NOVA | Einstein’s Big Idea

延伸閱讀:

GW 150914 論文:Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger

GW 151226 論文:GW151226: Observation of Gravitational Waves from a 22-Solar-Mass Binary Black Hole Coalescence

三個重力波觀測結果的論文預印:Binary Black Hole Mergers in the first Advanced LIGO Observing Run

LIGO 第 2 次發現重力波 再證愛因斯坦廣義相對論》- 立場報導/eh

重力波:愛因斯坦的最後預言 (上)》- 余海峯

費曼誕辰:談科學精神、機率和不確定性

大後天是理查.費曼 (Richard Feynman, 11/5/1918 – 15/2/1988) 的 98 歲誕辰。他在 1964 年康奈爾大學 (Cornell University) 的著名演講 The Character of Physical Laws 裡,曾經說過:

It is scientific only to say what is more likely and what less likely, and not to be proving all the time the possible and impossible.

費曼是一位理論物理學家、1965 年諾貝爾物理學獎得主。雖然他的專業是抽象的理論物理,但他對科學的本質有深刻的見解。他說,科學並非去說什麼事情是可能或不可能。科學,是用理性與邏輯去分析事情的可能性。因為所有實驗、觀測,都必然有誤差和不確定性。

We have found it of paramount importance that in order to progress we must recognize our ignorance and leave room for doubt. Scientific knowledge is a body of statements of varying degrees of certainty – some most unsure, some nearly sure, but none absolutely certain.

我們幾乎可以說在這個宇宙之中,沒有任何事情是我們能夠百分百肯定的。我們必須要承認自己的無知、對事物心存懷疑。然而,我們不應該一味地說因知識所限,故所有的可能性都有同等地位。無知,並不代表我們對所有可能性都是同樣地不肯定。我們應該做的是不單止要把我們無知的部分考慮在內,更要把我們已知的部分同時考慮在內,這樣才是真正的客觀。

我來舉一個簡單的例子。我們有一個硬幣。我們可以問:這硬幣擲出來的正反面機率是多少?

想要知道答案,我們必須收集數據。如何收集?很簡單,拿這硬幣去擲,看看擲出正面和反面的頻率是否一樣就可以了。當然,在進行這個非常簡單的實驗之前,我們可以先猜一猜。正常情況下,如果我們沒有任何關於這硬幣的資訊,我們可能會猜測擲出正面的機率與擲出反面的機率相等,即是擲出正面的機率大概會是 50%,即 0.5,而且有一定的誤差。數學上這可以用一個峰值位於 0.5 的分佈表示。

或者,如果我們更加想表達對硬幣的資訊一無所知的話,我們也可以說擲出正面的機率介乎 0 (即是永遠不可能擲到正面) 到 1 (即是永遠不可能擲到反面) 之間,0 <= prob( head bias | I ) <= 1。我們不用太擔心這些符號和數字,這裡 head bias 代表得出正面的傾向、I 代表我們所知關於此硬幣的資訊、符號 | 是「在此情況下」的意思而已。如果 head bias 是 0.5 的話,就代表這個硬幣是公平的。如果 head bias 少於 0.5,就代表這硬幣傾向擲出反面,反之亦然。

猜完之後,我們就開始收集數據。我們會擲一次、兩次、三次、四次…… 我們可以擲很多很多次,把所有的正面和反面出現的次數寫下來,直到我們認為足夠為止。最理想的當然是無窮無盡不停地擲下去,但明顯這是不可能的,因為我們沒有無限的時間。就讓我們停止在第 N 次吧!

如果我們把「在開始實驗之前假設擲出正面的機率大概是一個峰值位於 0.5 的分佈,而我們知道擲出的結果不是正就是反」叫做資訊 I,我們就可以計算出在 I 情況下根據 N 次擲出的結果 {data} 所得出的傾向擲出正面機率 prob( head bias | {data},  I )。因為我很懶不想自己用手擲,下圖就是我用電腦模擬的計算結果:

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使用電腦模擬擲一個不公平的硬幣。前設是一個平均值為 0.5 的高斯分佈。

縱軸是傾向擲出正面的機率、橫軸是擲出正面的傾向,不同顏色代表由 1 次到 1024 次不同的拋擲次數 N。我們可以看到,機率的峰值由很少拋擲次數 (N = 1, 2, 4, 8 trials) 時位於 0.5 附近,到擲了很多次之後 (N = 128, 256, 512, 1024) 移到 0.25 附近。而且,這個分佈的形狀亦由很闊變得越來越窄。為什麼呢?其實很簡單,因為我預先設定了這硬幣是不公平的,head bias = 0.25。換句話說,我預設了此硬幣傾向擲出反面多於正面,比例是每三次反面只有一次正面。在 N 很小時,我們數據不足、不能確定這個硬幣的傾向,因此分佈的形狀很闊。當 N 越來越大,即我們擁有的數據越來越多,我們就能比較肯定這個硬幣的傾向,分佈的形狀就變窄了。

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神探伽利略也有過這一段,湯川學說明為什麼只憑猜測和直覺很容易會犯錯。

這就是一個最簡單的數據分析示範。也是為什麼費曼說我們要去分析事情發生的可能性,而不要只是說「有可能」或「不可能」。由此例子我們可以清楚的看到,只根據很少的數據去猜測,很可能會得出錯誤的結論。

我們也可以對另一個假設重複以上分析 (當然是用電腦模擬,不然擲到手斷也擲不完一千次……),即在非常無知,0 <= prob( head bias | I ) <= 1 的前設下,看看結果會有什麼分別:

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同樣的電腦模擬,不過前設為一個由 0 到 1 的均等分佈。

與我們預期一樣,在擲了一千多次之後,計算結果已經非常接近預設的 0.25。值得留意的是在 N 很小的時候,分佈的闊度比上面的分析闊非常多。這很合理,因為我們假設了一個均等的前設!我們可以看到,在對一個理論非常無知的情況下,數據是非常非常重要的。如果我們只有寥寥可數的幾個數據,就要謹記我們的誤差會非常之大。例如我們常聽到人說「我幾個朋友都有 xxx 的情況」,我們就應該份外留心,這些結論的不確定性會非常之大。反之,如果我們知道一個理論的背後有著非常大量的數據支持,例如經過廣泛科學界、很多科學家驗證過的理論,我們就有理由相信這些結果的不確定性會很小。這就是科學精神,是理性、客觀的分析。

費曼在一次物理演講時說:「如果你想知道大自然如何運作,我們就要小心地觀察。它看起來如何運作就是如何運作。你不喜歡嗎?去其他地方吧,去其他擁有比較簡單的物理定律、哲學上比較令人愉快、心理學上比較容易的宇宙吧。我無能為力,OK?」

There’s a kind of saying that you don’t understand its meaning, ‘I don’t believe it. It’s too crazy. I’m not going to accept it.’… You’ll have to accept it. It’s the way nature works. If you want to know how nature works, we looked at it, carefully. Looking at it, that’s the way it looks. You don’t like it? Go somewhere else, to another universe where the rules are simpler, philosophically more pleasing, more psychologically easy. I can’t help it, okay? If I’m going to tell you honestly what the world looks like to the human beings who have struggled as hard as they can to understand it, I can only tell you what it looks like.

費曼一生都堅守科學精神的第一原則:誠實。面對我們喜歡的結論時,我們要誠實地去提醒自己,結論雖然正面,仍有著一定的不確定性。我們必須考慮所有數據準確地計算出誤差的大小;面對我們不喜歡的結論時,我們更加要時刻警覺,不可以故意忽略某些數據去令結論變得比較滿意。欺騙他人很容易,但這代表我們同時欺騙了自己。

For a successful technology, reality must take precedence over public relations, for Nature cannot be fooled.

我們必須接受大自然就是如此,因為我們不可能欺騙大自然。

「如果要我誠實的告訴你,在盡力掙扎理解的人們眼中世界是如何運作的,我只能告訴你:它就是如此。」若我們都能銘記費曼這句說話,可能就是對他來說最好的生日禮物。

費曼,謝謝你的教導。生日快樂。

延伸閱讀:

科學家巡禮:理查.費曼 (Richard P. Feynman)》 – 余海峯

費曼 The Character of Physical Laws 講座系列七講:https://www.youtube.com/watch?v=j3mhkYbznBk&list=PL09HhnlAMGuq1YI3PTIA6VQgVjLZ7RiC6