三角 X 斜率 X 微積分

上回介紹了三角學的基本函數 sine 和 cosine 與圓形的關係。在下回介紹圓周率 \pi 之前,有一項非常重要的結果必須首先介紹。

對於一條任意畫的線,只要它是可以一筆過不斷開地畫出來和沒有尖角的 (嚴謹的數學概念叫連續的和可微分的),那麼我們就可以定義一個叫做斜率的東西:

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換句話說,斜率就是描述該線段相對於橫軸的斜度而已,即是講一道斜坡相對於平地有多斜。從上式定義之中,可見斜率以小數或分數來表示的。日常生活中,通常我們都習慣用角度表示斜率,不過這對我們的討論沒有影響。

數學中一個非常重要的技巧就是微積分 (calculus)。微積分是牛頓 (Isaac Newton) 萊布尼茲 (Gottfried Leibniz) 在同一時期分別獨自發現的。現在我們用的微積分符號是萊布尼茲的版本。如果沒有微積分,今天我們日常生活中各式各樣便利的現代發明都不可能存在。微積分可說是人類史上最重要的數學發現。

故名思義,微積分就是微分和積分的運算。在我們的討論裡不會用到微積分的運算,大家只需要記住:微分就是計算無限短的線段的斜率的方法。至於積分我們會在以後再講。

上回圖中,我們知道了 sine 和 cosine 函數的圖形。現在我們問,它們的斜率是多少?換句話說,我們問:

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有學習過微分運算的讀者,必定能夠立即說出答案:

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上式中我們使用了 \textrm{d} 代替 \Delta,以表示無限小的改變。這只是數學慣用符號而已,只要我們記得現在所做的一切都是在趨向無限短的線段上做的,那麼兩個符號在概念上就是一樣的。

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現在,讓我們來試試不使用微分運算去找出 sine 和 cosine 的斜率吧!首先考慮上圖。圖中有一半徑為 R 的圓形,圓心為 O 點。把 R 從水平逆時針畫出一角度 \theta,連起 O 點和 A 點。再繼續逆時針畫出一細小角度 \Delta\theta,連起 O 點和 B 點。所以 A 和 B 都在圓周之上。現在同時由 A 點垂直向上及由 B 點水平向右畫,相交於 C 點。因此角 ACB 就是一個直角。下圖是 A、B、C 點附近的放大。

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根據 cosine 的定義 (見上回討論),我們可以直接看出直線 BC 的長度就是

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\Delta\theta 趨向無限小的時候,三角形 ABC 的邊 AB 就會趨向圓形的弧 AB。因為圓弧長度等於 R\Delta\theta,我們就有

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現在需要一點平面幾何想像力。由於 \Delta\theta 趨向無限小,角 OAB 就趨向直角。所以我們可以看出角 BAC 等於 \theta。考慮三角形 ABC,我們就有

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最後把 (1) 和 (2) 式相等,就有

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上式左邊的就是 cosine 斜率的定義。因此,我們就證明了 \frac{\textrm{d}\cos x}{\textrm{d}x}=-\sin x。證明  \frac{\textrm{d}\sin x}{\textrm{d}x}=\cos x 的方法亦一樣,只需要重複上述步驟找出 AC 的長度就可以了,有興趣的讀者可以自行證明。

下回,就讓我們來證明圓周率 \pi 是永恆不變的常數吧!

延伸閱讀:

畢氏定理 X 圓 X 三角學》- 余海峯

加菲證明畢氏定理》- 余海峯

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因主之名:拖著文明後腿的歷史

1633 年 4 月 12 號,伽俐略 (Galileo Galilei) 在羅馬接受宗教法庭的審判,原因是他犯了十惡不赦的罪名[1]

相信並且支持虛偽不實、違反《聖經》教義的學說,認為太陽才是世界中心,並無每天由東往西運行之事情,而且地球每天環繞太陽運轉,不是世界中心;被告更認為可以支持既經宣告為違反《聖經》的學說,認為此種學說可能為正確的見解……被告之犯行以及危險之錯誤,必須加以懲處,以促使被告將來更加謹慎,且為防止他人起而效尤,茲特宣告被告之《對話》一書,必須查禁。

現在,每個人都知道,地球是太陽系八大行星之一,每天自轉一周,每年公轉一周。伽俐略指出這個事實,卻被控告以「嚴重的異端行為」罪名;他被軟禁至死,鬱鬱而終。

政治、宗教干預科學,古今中外不乏聽聞。我國南北朝著名天文學及數學家祖沖之,早在一千五百多年前就已經測量出了地球環繞太陽公轉一周需時 365.24281481 天,與現在知道的 365.24219878 天相比,已經準確至小數點後三個位!他發現了當時傳統曆法的錯誤,所以於公元 462 年制定出大明曆,成為當時最準確的曆法。但當時朝上的權勢人物戴法興卻出言反對改曆[2],認為「古人制章、萬世不易」,曆法是「不可革」的,天文曆法「非凡人所制」。他又罵祖沖之是「誣天背經」,說「非沖之淺慮,妄可穿鑿」。為此,祖沖之寫了一篇《駁議》,其中兩句體現了科學精神:

「願聞顯據,以窮理實。

浮詞虛貶,竊非所懼。」

可是南朝宋孝武皇帝劉駿 ( 年號大明 ) 並未接受祖沖之的意見,一直要到他死後十年由於他的兒子祖暅之 ( 亦為數學家,精通曆法 ) 再三堅持,並經過天象的檢驗,大明曆才得以正式頒行。

其實近代也有由於傳統觀念阻礙科學進步的事件,例如在 1930 年,印度物理學及天體物理學家錢德拉塞卡 (Chandrasekhar,1983 年諾貝爾物理學獎得主 ) 計算出錢德拉塞卡極限,計算表明白矮星的質量上限約為 1.4 倍太陽質量。如果恆星在超新星爆發之後剩餘的質量超過這個界限,將塌縮成中子星或黑洞。當時他正在由印度往英國劍橋大學的輪船上,為了解悶而計算出這一重要的極限。他到達劍橋大學後立即向他的老師亞瑟.愛丁頓 (Arthur Eiddington,英國天文學、物理學及數學家 ) 報告,愛丁頓先是扮成很有興趣的樣子,還特地為錢德拉塞卡開了一次討論會。然而,愛丁頓卻在會上,在錢德拉塞卡介紹完他的理論之後,當著眾多聽眾面前侮辱他、激烈攻擊他的理論。事實最終證明錢德拉塞卡是正確的,他也為此獲頒 1983 年諾貝爾獎。1998 年,原名「先進 X 射線天文設備」(AXAF) 天文衛星,為紀念錢德拉塞卡而更名為「錢德拉 X 射線天文台」(Chandra X-ray Observatory)。

可是我們知道,在這些著名的事件背後,肯定還有更多更多不為人知的事件,還有更多更多科學家為了堅持事實真相,犧牲了事業、名譽,甚至是生命。像錢德拉塞卡、愛因斯坦、牛頓等人,雖然他們都曾辛苦獨力研究多年才有成果,至少他們的努力在有生之年得到重視;而哥白尼 (Nicolaus Copernicus,意大利天文學家,提出日心說 )、布魯諾 (Giordano Bruno,意大利哲學家,因提出「宇宙無限」理論及支持日心說而被教庭以「異端邪說」的罪名燒死 )、祖沖之等人在有生之年都不能看到他們所發現的事實戰勝傳統偏見。教庭在 1992 年才由教宗若望保祿二世對伽俐略事件的處理方式表示遺憾。

我們幸運地能夠生活在現今這個相對開放、文明,擁有學術研究自由的社會中。我們在興幸的同時,更加應該好好利用我們的智慧,在學習的時候懷著謙虛但勇於挑戰傳統的心,不要浪費了前人獻出一切、辛苦為我們爭取得來的自由。人類的進步與科學的進步關係緊密,把這種科學精神傳承下去,才使活在這細小的地球上的生命有所意義。

[1]《伽里略的女兒》,戴瓦.梭貝爾 (Dava Sobel) 著,范昱峰譯,時報出版,2000年 (ISBN 975-13-3212-7)

[2]《數學文化小叢書 連分數與曆法》,徐誠浩著,李大潛主編,高等教育出版社,2007年 (ISBN 978-7-04-022369-9)