Pi 是永恆 (一)

亞視永恆。但有些東西可以比亞視更永恆。

我們都學過圓周率,而且我們都知道圓周率的名字叫做 \pi。在學校裡,我們必定學過一條公式,就是如何用一個圓形的半徑去計算它的周長,即是圓周:

C=2\pi R

上式告訴我們「圓周 C 除以兩倍半徑 (即直徑) 2R 等於 \pi」,大概就是我們對 \pi 的第一個印象吧!我們在學校也學過,上式中的 \pi 是一個常數。換句話說,無論一個圓形有多大,它的圓周 C 和直徑 2R 之間的比例都是不變的。

有史記載第一個證明 \pi 是常數的人,有說是阿基米德。他使用極限 (limit) 的數學概念,以逼近法把 \pi 好像夾三文治一樣夾出來!從而證明它是一個常數,計算出 \pi 在 3.1408 和 3.1429 之間,準確至兩個小數位。事實上,\pi 是無窮無盡的,即是它擁有無限個小數位,怎樣計也永遠計不完。現代的超級電腦,可以把 \pi 計算至萬億個小數位。可是,萬億個小數位距離無限,仍然是無限遠。

我們知道這些都是事實。可是,我們又有沒有想過,為。什。麼?

在這一連幾篇文章中,我會用兩個不同的方法去證明 \pi 是一個常數,即是證明所有圓形的圓周率都是一樣的。換句話說,我們會證明所有圓形的圓周與直徑的比例都是一樣的。然後我會介紹其他與圓形和 \pi 有關的問題和故事。好了,我們開始吧!

首先第一個證明,涉及微積分的概念。注意在此證明之中我並不會用到實際微積分的運算技巧;使用微積分的符號只為證明的完整和方便而已。未學過微積分的讀者不用太過在意,只需要知道記住「積分」只是計算無限短的長度的加法,而「微分」可想成是積分的反向操作而已。 (也可參考上回,微分是計算無限短線段的斜率的方法)

首先,我們有一個半徑為 R 的圓,圓心 O 點放在 (x, y) = (0, 0)。現在於圓形上任意選擇一段長度為 \Delta s 的段落。\Delta s 兩端對應的座標叫做 (x_1, y_1)(x_2, y_2)。如下圖:

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我們問,\Delta s 有多長?假設我們選擇的 \Delta s 非常非常短。當趨向於無限短,那麼 \Delta s 就差不多是一條直線。根據上圖,使用我們討論過的畢氏定理,我們就有 \Delta s= \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}。明顯地,如果把很多段 \Delta s 圍繞圓心加起來,就會等於圓周的長度。把很多段無限短的長度加起來的方法,就叫做積分,符號上是這樣寫的:

S=\int \textrm{d}s=\int\sqrt{\textrm{d}x^2+\textrm{d}y^2}

把 \Delta 寫成 \textrm{d} 是為了表示無限短的意思,只是微積分的慣用符號而已。上式可寫成

S=\int\textrm{d}s=\int\sqrt{1+\left(\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)^2}\textrm{d}x

這公式告訴我們如何計算任意一段線段的長度。這公式不單止適用於圓形,也適用於所有能夠定義斜率 \frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x} (即是高度除長度) 的線段。所以現在我們只需要知道圓形的 \frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x} 就可以計算圓周長度了。懂得微積分運算的讀者可以自行快速計算,但我說過此文中我會不用微積分運算。那麼要如何做呢?原來非常簡單,只需要知道初等幾何學裡的一個定理:兩條互相垂直的直線的斜率相乘等於 -1

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見上圖,沿半徑方向的斜率明顯等於 \frac{y}{x} (其實就是斜率的定義而已),而我們希望找到的沿圓周方向的直線 (即是圓周上的切線) 與半徑互相垂直,所以

\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\times\frac{y}{x}=-1

因此圓周的斜率就是

\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=-\frac{x}{y}

把上式放回積分裡,就有

S=\int\sqrt{1+\left(\frac{-x}{y}\right)^2}\textrm{d}x

把開方裡面通分母再化簡,就得到

S=\int\frac{R}{y}\textrm{d}x

在《畢氏定理 X 圓 X 三角學》裡,我們已經知道 y = R\sin\theta。所以

S=\int 1 / \sin\theta\textrm{d}x

現在我們有一個問題,就是要把很多段 1 / \sin\theta 加起來,但是其長度卻用 \textrm{d}x 去表達。就正如計算面積時,我們不可以用米做高度、厘米做長度,單位必須一致。怎麼辦呢?不用擔心,只需要知道每個 \textrm{d}x 等於多少個 \textrm{d}\theta 就可以了!就如只需要知道一米有多少厘米一樣。

在《畢氏定理 X 圓 X 三角學》裡,我們也知道 x = R\cos\theta。所以我們要知道的就是:當 \theta 改變少許的時候 x 改變多少?心水清的讀者已經知道,這正正就是上回講到的斜率了,只不過由計算 \frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x} 變成計算 \frac{\textrm{d}x}{\textrm{d}\theta},概念一樣。而且從上回的討論中我們已經知道 cosine 的斜率就是負 sine,因此

\textrm{d} x = - R \sin\theta \textrm{d}\theta

原來每個 \textrm{d}x 等於 - R \sin\theta 個 \textrm{d}\theta。所以我們就知道

S=\int -R\textrm{d}\theta

不論 \int -\textrm{d}\theta 等於多少,也與 R 無關。因此圓周上任意長度 S 與直徑的比例就是

S/2R=\int -1/2\textrm{d}\theta

只與角度 \theta 有關。因此無論圓形有多小多大 (由 R 一個變量決定),此比例亦恆等不變。所以我們就證明了無論一個圓形有多大,它的圓周 C 和直徑 2R 之間的比例都是不變的!

最後,我們來證明這個數字等於 \pi。其實這也不可以說是一個「證明」,只是一個定義 \pi 的方法罷了。不過有了這個定義,下回我們就可以計算 \pi 的數值。數學上,我們習慣把角度的 180 度叫做一個 \pi。繞圓周轉一圈是 360 度,所以半個圓周周長就是把上式由 0 度積分至 180 度,即是由 0 積分至一個 \pi

(C/2)/2R=\int^{\pi}_{0} -1/2\textrm{d}\theta = -\pi/2

上式中的負號是因為我們在上面作開方根的時候,沒有考慮正負兩個選擇。長度當然不能是負數,因此這告訴我們在上面的開方步驟中應該選擇負的結果。所以上式就說「半個圓周 C/2 與直徑 2R 的比例是 \pi/2」。換句話說,

C=2\pi R

\pi 是永恆。下回,我們來看看它如何能夠 loop 到下個世紀,仲未埋尾。

延伸閱讀:

三角 X 斜率 X 微積分》- 余海峯

畢氏定理 X 圓 X 三角學》- 余海峯

加菲證明畢氏定理》- 余海峯

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三角 X 斜率 X 微積分

上回介紹了三角學的基本函數 sine 和 cosine 與圓形的關係。在下回介紹圓周率 \pi 之前,有一項非常重要的結果必須首先介紹。

對於一條任意畫的線,只要它是可以一筆過不斷開地畫出來和沒有尖角的 (嚴謹的數學概念叫連續的和可微分的),那麼我們就可以定義一個叫做斜率的東西:

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換句話說,斜率就是描述該線段相對於橫軸的斜度而已,即是講一道斜坡相對於平地有多斜。從上式定義之中,可見斜率以小數或分數來表示的。日常生活中,通常我們都習慣用角度表示斜率,不過這對我們的討論沒有影響。

數學中一個非常重要的技巧就是微積分 (calculus)。微積分是牛頓 (Isaac Newton) 萊布尼茲 (Gottfried Leibniz) 在同一時期分別獨自發現的。現在我們用的微積分符號是萊布尼茲的版本。如果沒有微積分,今天我們日常生活中各式各樣便利的現代發明都不可能存在。微積分可說是人類史上最重要的數學發現。

故名思義,微積分就是微分和積分的運算。在我們的討論裡不會用到微積分的運算,大家只需要記住:微分就是計算無限短的線段的斜率的方法。至於積分我們會在以後再講。

上回圖中,我們知道了 sine 和 cosine 函數的圖形。現在我們問,它們的斜率是多少?換句話說,我們問:

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有學習過微分運算的讀者,必定能夠立即說出答案:

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上式中我們使用了 \textrm{d} 代替 \Delta,以表示無限小的改變。這只是數學慣用符號而已,只要我們記得現在所做的一切都是在趨向無限短的線段上做的,那麼兩個符號在概念上就是一樣的。

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現在,讓我們來試試不使用微分運算去找出 sine 和 cosine 的斜率吧!首先考慮上圖。圖中有一半徑為 R 的圓形,圓心為 O 點。把 R 從水平逆時針畫出一角度 \theta,連起 O 點和 A 點。再繼續逆時針畫出一細小角度 \Delta\theta,連起 O 點和 B 點。所以 A 和 B 都在圓周之上。現在同時由 A 點垂直向上及由 B 點水平向右畫,相交於 C 點。因此角 ACB 就是一個直角。下圖是 A、B、C 點附近的放大。

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根據 cosine 的定義 (見上回討論),我們可以直接看出直線 BC 的長度就是

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\Delta\theta 趨向無限小的時候,三角形 ABC 的邊 AB 就會趨向圓形的弧 AB。因為圓弧長度等於 R\Delta\theta,我們就有

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現在需要一點平面幾何想像力。由於 \Delta\theta 趨向無限小,角 OAB 就趨向直角。所以我們可以看出角 BAC 等於 \theta。考慮三角形 ABC,我們就有

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最後把 (1) 和 (2) 式相等,就有

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上式左邊的就是 cosine 斜率的定義。因此,我們就證明了 \frac{\textrm{d}\cos x}{\textrm{d}x}=-\sin x。證明  \frac{\textrm{d}\sin x}{\textrm{d}x}=\cos x 的方法亦一樣,只需要重複上述步驟找出 AC 的長度就可以了,有興趣的讀者可以自行證明。

下回,就讓我們來證明圓周率 \pi 是永恆不變的常數吧!

延伸閱讀:

畢氏定理 X 圓 X 三角學》- 余海峯

加菲證明畢氏定理》- 余海峯