Pi 是永恆 (二)

上回我說亞視永恆。但我錯了,亞視已執粒。不過圓周率 \pi 卻是真的永恆,不會錯。

今次我們來看看,在公元前兩百多年,阿基米德 (Archimedes) 是如何計算 \pi。阿基米德用的方法叫做窮盡法 (method of exhaustion),但我喜歡叫它做三文治方法。以下就讓我們試試把 \pi 像夾三文治般夾出來。

首先,想像有一個半徑為 R 的圓形,在圖的內外各畫一個緊貼著的正方形。由下圖中可以看出,外面較大的正方形邊長為 2R、裡面較小的正方形對角線就是圓形的直徑,長為 2R

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畫得樣衰,sor9ly sosad。注意 B = R 只有正方形 (n = 4) 才成立。

我們想要知道圓周,那就可以計算 \pi = C/(2R) = (圓周/直徑) 了。由上圖可知圓周 C 比內正方形週界 p 長、比外正方形週界 P 短。因此

p \le C \le P

那麼,pP 分別有多長?在《畢氏定理 X 圓 X 三角學》文中我們學會了用三角函數去表示三角形邊長之比。看上圖可知 b = R\sin\thetaB = R\tan\theta。在我們上圖中正方形的例子中正方形有 n = 4 條邊,因此 p = 2n \times bP = 2n \times B\theta = 360/(2n) = 360/8 = 45 度。所以我們就有

2nb \le C \le 2nB

2nR\sin[360/(2n)] \le C \le 2nR\tan[360/(2n)]

n\sin(180/n) \le C/(2R) \le n\tan(180/n)

所以,當我們使用 n = 4 的正方形去夾圓形時,就可以知道 \pi = C/(2R) 介乎 4\sin(45) \approx 2.8284\tan(45) = 4 之間。似乎使用正方形去夾並不足夠。我們可以增加邊的數量 n 去逼近 \pi,如下圖:

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想像當 n 越來越大,外內圖形就會越來越像一個圓形。當 n 趨向無限大時,我們就有

\lim_{n\to\infty} n\sin(180/n) \le C/(2R) \le \lim_{n\to\infty} n\tan(180/n)

我們嘗試計算 \lim_{n\to\infty} n\sin(180/n)\lim_{n\to\infty} n\tan(180/n)。把兩式各乘以 (180/180),就有

\lim_{n\to\infty} n\sin(180/n) = \lim_{n\to\infty} 180 \times \sin(180/n)/(180/n)

以及

\lim_{n\to\infty} n\tan(180/n) = \lim_{n\to\infty} 180 \times \tan(180/n)/(180/n)

我們可以把 180/n 叫做 x,所以 n 趨向無限大就即是 x 趨向 0。如果各位有學過極限,就必定學過 \lim_{x\to 0} \tan(x)/x = 1 和 \lim_{x\to 0} \sin(x)/x = 1,這是考試必考之題 (嗱,我貼緊題喇)。於是我們就有答案

180 \le C/(2R) \le 180

即是

\pi = C/(2R) = 180 度,

用角度 (degree) 與孤度 (radian) 的定義,即是 C/(2R) = \pi rad。阿基米德當年用了兩個正 96 邊形去夾,得出 \pi 介乎 3.1408 與 3.1428 之間。今天我們可以輕易地用電腦去算,如下圖般我用兩個正 1024 邊形去夾,得出 \pi 介乎 3.14159 與 3.14160 之間。

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電腦計算出用正多邊形的三文治方法夾出來的圓周率。紅點是下限、藍點上限、紫色直線是圓周率的真正數值。

這就是如何用窮盡法去找出圓周率 \pi。下次再介紹多些 \pi 的趣事。

\pi是永恆。

封面圖片:

羅馬軍隊攻入敘古拉城之時,阿基米德正在地上思考數學。

延伸閱讀:

古希臘的科學 (五) 撐起地球的支點》- 余海峯

Pi 是永恆 (一)》- 余海峯

三角 X 斜率 X 微積分》- 余海峯

畢氏定理 X 圓 X 三角學》- 余海峯

加菲證明畢氏定理》- 余海峯

Pi 是永恆 (一)

亞視永恆。但有些東西可以比亞視更永恆。

我們都學過圓周率,而且我們都知道圓周率的名字叫做 \pi。在學校裡,我們必定學過一條公式,就是如何用一個圓形的半徑去計算它的周長,即是圓周:

C=2\pi R

上式告訴我們「圓周 C 除以兩倍半徑 (即直徑) 2R 等於 \pi」,大概就是我們對 \pi 的第一個印象吧!我們在學校也學過,上式中的 \pi 是一個常數。換句話說,無論一個圓形有多大,它的圓周 C 和直徑 2R 之間的比例都是不變的。

有史記載第一個證明 \pi 是常數的人,有說是阿基米德。他使用極限 (limit) 的數學概念,以逼近法把 \pi 好像夾三文治一樣夾出來!從而證明它是一個常數,計算出 \pi 在 3.1408 和 3.1429 之間,準確至兩個小數位。事實上,\pi 是無窮無盡的,即是它擁有無限個小數位,怎樣計也永遠計不完。現代的超級電腦,可以把 \pi 計算至萬億個小數位。可是,萬億個小數位距離無限,仍然是無限遠。

我們知道這些都是事實。可是,我們又有沒有想過,為。什。麼?

在這一連幾篇文章中,我會用兩個不同的方法去證明 \pi 是一個常數,即是證明所有圓形的圓周率都是一樣的。換句話說,我們會證明所有圓形的圓周與直徑的比例都是一樣的。然後我會介紹其他與圓形和 \pi 有關的問題和故事。好了,我們開始吧!

首先第一個證明,涉及微積分的概念。注意在此證明之中我並不會用到實際微積分的運算技巧;使用微積分的符號只為證明的完整和方便而已。未學過微積分的讀者不用太過在意,只需要知道記住「積分」只是計算無限短的長度的加法,而「微分」可想成是積分的反向操作而已。 (也可參考上回,微分是計算無限短線段的斜率的方法)

首先,我們有一個半徑為 R 的圓,圓心 O 點放在 (x, y) = (0, 0)。現在於圓形上任意選擇一段長度為 \Delta s 的段落。\Delta s 兩端對應的座標叫做 (x_1, y_1)(x_2, y_2)。如下圖:

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我們問,\Delta s 有多長?假設我們選擇的 \Delta s 非常非常短。當趨向於無限短,那麼 \Delta s 就差不多是一條直線。根據上圖,使用我們討論過的畢氏定理,我們就有 \Delta s= \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}。明顯地,如果把很多段 \Delta s 圍繞圓心加起來,就會等於圓周的長度。把很多段無限短的長度加起來的方法,就叫做積分,符號上是這樣寫的:

S=\int \textrm{d}s=\int\sqrt{\textrm{d}x^2+\textrm{d}y^2}

把 \Delta 寫成 \textrm{d} 是為了表示無限短的意思,只是微積分的慣用符號而已。上式可寫成

S=\int\textrm{d}s=\int\sqrt{1+\left(\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)^2}\textrm{d}x

這公式告訴我們如何計算任意一段線段的長度。這公式不單止適用於圓形,也適用於所有能夠定義斜率 \frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x} (即是高度除長度) 的線段。所以現在我們只需要知道圓形的 \frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x} 就可以計算圓周長度了。懂得微積分運算的讀者可以自行快速計算,但我說過此文中我會不用微積分運算。那麼要如何做呢?原來非常簡單,只需要知道初等幾何學裡的一個定理:兩條互相垂直的直線的斜率相乘等於 -1

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見上圖,沿半徑方向的斜率明顯等於 \frac{y}{x} (其實就是斜率的定義而已),而我們希望找到的沿圓周方向的直線 (即是圓周上的切線) 與半徑互相垂直,所以

\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\times\frac{y}{x}=-1

因此圓周的斜率就是

\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=-\frac{x}{y}

把上式放回積分裡,就有

S=\int\sqrt{1+\left(\frac{-x}{y}\right)^2}\textrm{d}x

把開方裡面通分母再化簡,就得到

S=\int\frac{R}{y}\textrm{d}x

在《畢氏定理 X 圓 X 三角學》裡,我們已經知道 y = R\sin\theta。所以

S=\int 1 / \sin\theta\textrm{d}x

現在我們有一個問題,就是要把很多段 1 / \sin\theta 加起來,但是其長度卻用 \textrm{d}x 去表達。就正如計算面積時,我們不可以用米做高度、厘米做長度,單位必須一致。怎麼辦呢?不用擔心,只需要知道每個 \textrm{d}x 等於多少個 \textrm{d}\theta 就可以了!就如只需要知道一米有多少厘米一樣。

在《畢氏定理 X 圓 X 三角學》裡,我們也知道 x = R\cos\theta。所以我們要知道的就是:當 \theta 改變少許的時候 x 改變多少?心水清的讀者已經知道,這正正就是上回講到的斜率了,只不過由計算 \frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x} 變成計算 \frac{\textrm{d}x}{\textrm{d}\theta},概念一樣。而且從上回的討論中我們已經知道 cosine 的斜率就是負 sine,因此

\textrm{d} x = - R \sin\theta \textrm{d}\theta

原來每個 \textrm{d}x 等於 - R \sin\theta 個 \textrm{d}\theta。所以我們就知道

S=\int -R\textrm{d}\theta

不論 \int -\textrm{d}\theta 等於多少,也與 R 無關。因此圓周上任意長度 S 與直徑的比例就是

S/2R=\int -1/2\textrm{d}\theta

只與角度 \theta 有關。因此無論圓形有多小多大 (由 R 一個變量決定),此比例亦恆等不變。所以我們就證明了無論一個圓形有多大,它的圓周 C 和直徑 2R 之間的比例都是不變的!

最後,我們來證明這個數字等於 \pi。其實這也不可以說是一個「證明」,只是一個定義 \pi 的方法罷了。不過有了這個定義,下回我們就可以計算 \pi 的數值。數學上,我們習慣把角度的 180 度叫做一個 \pi。繞圓周轉一圈是 360 度,所以半個圓周周長就是把上式由 0 度積分至 180 度,即是由 0 積分至一個 \pi

(C/2)/2R=\int^{\pi}_{0} -1/2\textrm{d}\theta = -\pi/2

上式中的負號是因為我們在上面作開方根的時候,沒有考慮正負兩個選擇。長度當然不能是負數,因此這告訴我們在上面的開方步驟中應該選擇負的結果。所以上式就說「半個圓周 C/2 與直徑 2R 的比例是 \pi/2」。換句話說,

C=2\pi R

\pi 是永恆。下回,我們來看看它如何能夠 loop 到下個世紀,仲未埋尾。

延伸閱讀:

三角 X 斜率 X 微積分》- 余海峯

畢氏定理 X 圓 X 三角學》- 余海峯

加菲證明畢氏定理》- 余海峯

畢氏定理 X 圓 X 三角學

大家知道畢氏定理、圓、三角學這三樣東西有著密切的關係嗎?

首先,我們來考慮一個直角三角形:

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[圖一]

根據前文討論過的畢氏定理,我們就有 a2 + b2 = c2

現在來考慮一個圓形。我們可以如何定義一個圓形呢?

「指定一點叫做圓心 O ,向任一方向伸延一長度 R,然後將這長度 R 繞 O 轉一圈,那麼 R 的頂點畫出來的形狀就定義為『圓』,並且 R 稱為這圓的半徑。」

好了,我們現在有了三角函數和圓的定義,就來看看它們之間有什麼關係吧!首先,我們把 O 放在二維平面上,並使 O 與 (x, y) = (0, 0) 重疊。我們問,一個半徑為 R 的圓形,如何以 (x, y) 座標表達呢?看看下圖,我們在圓周上隨意選一點 (x, y) = (a, b),並與 O 點連接,因此 (x, y) = (a, b) 和 O 之間的長度就是半徑 R。

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[圖二]

然後在 (x, y) = (a, b) 點垂直於橫軸畫一直線,就得到了一個直角三角形。根據畢氏定理,我們就有 a2 + b2 = R2。而由於 (a, b) 可以是圓周上的任何一點 (x, y),所以我們就得到了圓形的數學表達方程:

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接著,我們來談談三角學。三角學,簡單地說,當然就是研究三角形的學問了。而三角學的基本,大家都知道就是 sine、cosine 和 tangent 三個三角函數 (中文分別是正弦、餘弦和正切)。現在定義 sine、cosine 和 tangent 為圖一之中直角三角形裡夾角 θ 的函數:

sin θ = a/c

cos θ = b/c

tan θ = a/b

即是,其實 sin θ 就是對邊 a 與斜邊 c 之比、cos θ 就是底邊 b 與斜邊 c 之比、tan θ 就是對邊 a 與底邊 b 之比。舉一個例子,如果我們有一個圓,把定的半徑 R 設為 1 (設為什麼數字也沒有關係,不過 R = 1 比較方便下面的解釋而已),那麼根據 sine 和 cosine 的定義,b 就直接等於 sin θ、a 就直接等於 cos θ 了。換句話說,可以想像 sine 和 cosine 都是跟隨著圓周上的一點 (x, y) = (cos θ, sin θ) 在逆時針公轉!這樣的話,我們就得到了 sine 和 cosine 的函數形狀了:

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[圖三]

最後,我們再從畢氏定理出發,就得到下面的三角函數與圓形的關係:

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相信心水清的讀者,看到這裡已經猜到我的陰謀了:現在我們已經有了足夠的工具,下回我們就開始討論期待已久的圓周率了!

延伸閱讀:

加菲證明畢氏定理》- 余海峯