光速:宇宙高速公路的速度限制

為什麼夜空是黑色的?

這是一個非常古老的問題。問題的答案並不簡單,涉及對光線本質以及宇宙的理解。

想像宇宙是一個大球體,地球在球體正中心。球體裡面有隨機分佈的發光點,代表一顆又一顆的恆星。有些星星離中心點地球比較近、有些比較遠。想像這個球體不斷變大,新的星星在新的空間裡隨機生成。如果這個球體趨向無限大,星星的數量就會趨向無限多。由於星星的分佈是隨機的,我們從中心點往任一方向觀測,視線都必然會落在某一顆星之上。如果光線不需要傳播時間,即光速無限,那麼夜空就應該是白色的!

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奧伯斯悖論示意圖。Image courtesy of Kmarinas86/Wikimedia Commons

這個問題叫做奧伯斯悖論 (Olbers’ paradox),是從前一個著名的科學悖論。現在我們知道宇宙並非無限大、可觀測宇宙大小有限、宇宙中星星的數量並非無限多、光速亦非無限快,因此從較遠的恆星出發的光不夠時間傳播到地球。

1861 年,馬克士威證明光是電磁波。當時的科學家都相信,就如同其他波動需要傳播媒介一樣,傳播光波亦需要一種假想的媒介,稱為以太。1907 年,阿爾伯特・邁克生 (Albert Michelson) 因為使用干涉儀非常準確地測量出光的速率而獲頒諾貝爾物理學獎。光速大約為每秒 30 萬公里,只需 1.3 秒就能從地球走到月球。

邁克生干涉儀實驗的另一目的是測量地球在以太之中運行的速率。他以為於一年四季不同時間做同樣的光干涉實驗,實驗結果理應會顯示光速因地球在以太中運動方向不同而有所分別。可是,邁克生和莫雷 (Edward Morley) 的干涉儀實驗結果顯示,不論地球的運動方向,光速都沒有改變。

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地球在假想的以太之中以不同方向運動會導致光速測量結果不同。Image courtesy of Cronholm144/Wikimedia Commons

愛因斯坦在 1905 年發表狹義相對論,解釋了邁克生和莫雷的實驗結果。相對論之中,時間和空間被結合成為一體,叫做時空。由於時間和空間的物理單位不同,我們需要一個因子去在兩者之間轉換。這個因子有著距離除以時間的單位,即是速率。這個速率是宇宙間所有物質的極限速度,因為跟據相對論,質量非零的物質需要無限多能量才能達到此極速。

愛因斯坦認為光是傳播資訊的最快方法。邏輯裡的因果定律成立是因為沒有資訊能傳遞快過光。因此,光速就是這個宇宙中的終極速度限制,而這個極速跟據相對論是個常數,永恆不變。在光速不變的前提下,空間會因觀測者的運動狀態不同而收縮。所以,相對論亦意味著光波不需要以太或任何傳播媒介。

相對論其實並沒要求光速不變而且為宇宙極速,只是這個極速必須剛好等於光速,才能解釋我們所觀察到的所有物理現象。因此,一直有理論物理學家研究可變光速理論。

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狹義相對論對光速不變導致時空收縮的數學圖解。不同顏色代表不同運動狀態的觀測者的時空。Image courtesy of Army1987/Wikimedia Commons

理論物理學家 João Magueijo 自 1990 年代起研究可變光速,亦寫了一本不錯的科普書講述他在發表論文時遇到的困難和科學家之間的合作與衝突。由於光速可變這假設會動搖所有物理理論的基礎,很少科學家會投入自己一生職業去研究。

今年 10 月,Magueijo 與合作者 Niayesh Afshordi 在科學期刊 Physical Review D 上發表了一篇新的可變光速研究論文,他們推導出宇宙微波背景 (cosmic microwave background, CMB) 的純量光譜指數 (scalar spectral index)。這是第一次可變光速理論研究能夠提供一個實在的數字去與觀測作比較。

現在的觀測結果雖然與 Afshordi 和 Magueijo 理論的數字吻合,但他們未能解釋光速可變會導致其他物理常數改變的後果。例如,光速可變意味著電磁力的大小在過去、現在、未來都不相同。這樣的話,依靠電磁力的化學知識全部都要改寫,科學家就很難解釋宇宙如何演化成今日的模樣、甚至地球上亦未必可以演化出生命。

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Afshordi 和 Magueijo 的可變光速論文明確預言宇宙微波背景光譜能量分佈斜率等於 0.96478(64)。Afshordi & Magueijo 2016, Phys. Rev. D, 94, 101301

“The predicted value is within current constraints, but improved observations would unambiguously prove or rule out the theory.” – Afshordi & Magueijo (2016)

光速是否可變是一個重要的科學問題,絕對有必要研究。然而為光速可變理論下結論,仍言之尚早。就如 Afshordi 和 Magueijo 所說,未來更精確的觀測結果將能證實或證偽光速可變理論。

提出預言、對比實驗,科學也。

延伸閱讀:

Critical geometry of a thermal big bang, Afshordi & Magueijo 2016, Phys. Rev. D, 94, 101301

光之系列:夜空為什麼是黑的?》- EVEREST. 議事之峰

1907年諾貝爾物理獎:阿爾伯特・邁克生》- 余海峯

超光速與時間倒流:叮噹可否不要老》- 余海峯

照亮相對論的光 (上)》- 余海峯

照亮相對論的光 (下)》- 余海峯

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超光速與時間倒流:叮噹可否不要老

根據相對論的假設,速度快過光速,時間就會倒流。

很多科幻故事也以超光速為題材。相對論的公式說明沒有東西能夠達到光速。根據相對論動能公式,加速至光速需要輸入無限多的能源。所以超人以超光速環繞地球飛行令時間倒流是不可能的,因為超人原本的速度低於光速,想要加速至超光速他需要比宇宙裡所有能量更多 (多無限倍!) 的能量才足夠。

其實相對論並沒有限制超光速的東西存在。只要低於光速的東西永遠低於光速、超光速的東西永遠超光速,相對論依然成立。

叮噹有一件神奇的法寶叫做隨意門,在十光年的範圍內,只要輸入了目的地資料,就能夠穿越空間。後來叮噹更說隨意門的把手原來有刻度,用來控制時間,變相把隨意門變成時光機。不過,就算隨意門沒有控制時間的把手,它本身也已經是一部時光機。因為瞬間轉移基本上等於不用加速就能夠把資訊以超光速傳遞。現在就讓我以不用數學公式的方法嘗試解釋一下!

根據相對論,沒有原本比光速慢的東西能夠達到光速。所以光速是我們傳遞資訊的最快方法。簡單講,即是我們能夠觀察到的所謂「同時」發生的事,都是由光線定義的。

為什麼?因為越遠的東西所發出的光線需要越多的時間才能跑進我們的眼睛,所以我們看見不同距離的東西時,它們所發出的光線其實是在「不同的時刻」發出的。因為對於身處不同位置的人來說,其相對各東西的距離都不同,所以「同時」對於不同的位置的觀察者來說都是不同的。再說得淺白一點,即是世上根本不存在對於所有人都一樣的「同時」。在我觀察來是同時的事件,在其他人的位置觀察時就可能不是同時的。

這與超光速會導致時間倒流有什麼關係呢?下圖中間的是大雄。由大雄的位置向外畫很多同心圓,圓與圓之間的距離叫做 LL 的數值是多少對於我們的討論沒有影響,不過為了容易理解,我們就把 L 設定為光線在 1 分鐘裡走過的距離,即大約 1,800 萬公里,足夠光線來回地球和月球跑 30 次。

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A 圓圈距離大雄 1 L 那麼遠,所以在 A 圓圈上的人看到的就會是在 1 分鐘前從大雄的位置出發的光線,即是看見 1 分鐘前的大雄。B 圓圈距離大雄 2 L 那麼遠,所以在 B 圓圈上的人看到的就會是在 2 分鐘前從大雄的位置出發的光線,即是只能看見 2 分鐘前的大雄。

同理,在 C 圓圈上的人只能看見 3 分鐘前的大雄、D 圓圈上的人只能看見 4 分鐘前的大雄,如此類推。

如果現在大雄用隨意門穿越 1 L 的距離,他回頭會看見什麼?他會驚訝地看見自己依然站在圓心上!因為大雄會看見 1 分鐘之前從圓心 (即是大雄自己身上) 發出的光線!如果大雄用隨意門穿越 2 L、3 L、4 L,甚至更遠的距離,他就會看見更早出發的光線、看見更早前的自己!換句話說,對於剛剛穿過隨意門的大雄來說,這就是時間倒流了。

這就是為什麼天文學家會說,望遠鏡就是一部時光機。當我們使用望遠鏡看遙遠的星系,其實就是在看它們過去發出的光線。看得到越遠的星系,等於看得到越早期的宇宙。

那麼,如果有些東西,例如現在仍未被人類發現的粒子,它們是一直都以超光速運動的話,在它們的角度,時間是否倒轉流動?根據相對論時間公式 (參考我的文章《你也能懂相對論》第 (4) 式),相對於靜止的人來說,這些粒子的時間長度不是正數、也不是負數,是虛數 (imaginary number)。什麼是虛數?想一想開方 -1 是什麼?即是有什麼數字自乘之後會等於 -1?想不到?對了,想不到。

今天的物理學依然未找到可以取代相對論的理論。就算有朝一日找得到,也不一定代表以上討論的相對論內容會是錯的。所以,超光速和時間倒流這些概念,依然能夠提供很大的科幻想像空間。

順帶一提,即使他朝人類真的發明了隨意門,我們可以穿越時空,但我們本身的時間流動速率也是不會改變的。即是說,無論我們觀察其他人的時間流動速率如何,也不能改變我們本身的衰老。

叮噹可否不要老?其實不老的回憶,早已永存心中。也許與親人和朋友一起老去,比時間倒流回到過去,會令我們更懂得珍惜。

一想到這裡,我到咗三十歲,都係坐交通工具算了。

無線新聞,你快得過光?

剛剛出去上德文課,幾位朋友同時傳來同一張無線新聞的截圖:

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將達時速14000公里,是光速的三倍

原來是是但但的無線新聞,在晚間新聞報導中說 NASA 的信使號將以「三倍光速」墜落水星。短短一個小時,這個錯誤已經在香港網絡界來回流傳了不知多少次了。

其實,如果不是物理專業的人,聽起來會覺得很正常,沒有問題啊!在日常生活中,我們很少會接觸到「光速」。光速就是光的速度,每秒鐘 30 萬公里,即時速 10 億 8 千萬公里。即是有多快?快到只需要 1 秒就能夠到達月球。

光速除了快,還有另外一個特徵,就是光速是宇宙間最快的速度。根據相對論,無論信使號如何加速,最多也只能達到 99.99999999999……….% 光速。就算把全宇宙的所有能量都輸給信使號,也永遠不可能達到 100% 光速。有興趣的讀者,可以參考我寫的講解相對論的科普文章《你也能懂相對論》。

不過,我認為其實重點不在於文字上。雖然寫報導的人有責任確保新聞內容無誤,我們就當這是手民之誤,袋住先吧。愛因斯坦也說過,學習之重要應該是去學習如何思考,而非死背資料性的數字。這一點相信大家都非常同意,尤其是非物理專業的人,不懂得相對論有何出奇?如果個個人都懂得相對論的話,我寫的文章也沒有人看了。

但問題是,我剛發現在四個小時後,是是但但的無線新聞靜靜雞改了原文,變成:

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將達時速14000公里,是音速的三倍

Oh god, 這次又錯在哪裡?

第一,既然大家知道水星上沒有大氣層 (其實有,但非常稀薄),哪又何來「音速」?沒有大氣,聲音如何傳播?

第二,就算其中的音速指的是地球上的音速,也只不過是秒速 340 米,即大約時速 1220 公里。14000 除以 1220,是 10 多倍呢。

其實,不懂科學真的不要緊。一個人可以不懂科學,這是完全沒有問題的。我不懂煮飯,相信比不懂科學更大問題!問題在於,錯完一次,再錯第二次,就不是知識的問題,而是寫報導的態度問題了。

我相信,要看一個人做事是否認真,可以從他看待事物細節之中看出來。小事求其,大事又豈會嚴謹?

給你兩次機會,兩次都是但求其。是是但但,真的實至名歸。

光的祕密

霍金當年寫《時間簡史》時,出版社警告他:書內每多一條公式,銷售量便會減半。

為何我仍然會在科普裡寫數學公式?這是因為我希望即使讀者未能理解推導過程的每一個步驟,也能夠體會大自然確確實實是物理與數學的美麗結合。越基本的科學所涉及的數學就越複雜,所以有人說「物理是科學之父、數學是科學之母」。終究科學並不是寫作,科學必須經過嚴謹論證,不可能每一次都用純文字去解釋。

4633000725_8817dcedb9_b聖經上寫道:「神說:『要有光!』就有了光。」如果宇宙真的存在一個創造者,我不相信這會是祂說過的話。天文學家使用越來越大型亦越來越精密的天文望遠鏡收集來自宇宙深處的光,希望得知宇宙的奧秘。今次我要討論一個問題,其實「光」是甚麼?

我們一般說的光,多指可見光 (visible light),波長約由 400 納米至 700 納米。整個電磁波譜由射電 (即 radio wave) 到伽瑪射線 (gamma-ray),可見光只佔其中非常少的部分。為甚麼我們會叫它們做「電磁」波呢?光又為何會是電磁波?

在日常經驗裡,「電」與「磁」看上去是兩種不同的物理現象。事實上,「電」與「磁」是同一個硬幣的兩面,本為一體,只是其中的關聯不容易被察覺而已。

1665 年,牛頓用三稜鏡把白光分解為七彩的光。他把另一個三稜鏡倒轉放在彩光後面,發現七色能夠結合變回白光。他認為光是一種粒子,其他一些人則認為光是一種波動。

1806 年,奧斯特 (Hans Christian Ørsted) 發現了電流磁效應。有一天,他在課堂上做電學實驗的示範,察覺到電線旁的指南針會受電流影響,從而發現了電流可以產生磁場。這就開啟了物理學的一道大門:「電」與「磁」兩種看來互不相干的物理現象之間的關聯被發現了。

1831 年,法拉第 (Michael Faraday) 發現了磁場的改變能夠產生電流,原來電能生磁、磁亦能生電。這些發現暗示了「電」與「磁」有可能只是同一種物理現象的兩個表現。

在 19 世紀,科學界已經累積了非常多的電磁現象實驗數據,但卻未有人能夠解釋所有現象。終於在 1865 年,馬克士威 (James Clerk Maxwell) 成功將所有理論與實驗數據整理好,他只用幾條方程式就解釋了所有電磁現象,從此電學與磁學統一為電磁學,成為一個完整的電磁理論。這是現代物理史上第二次將兩個看上來不同的現象統一起來;第一次統一是牛頓用運動三定律和萬有引力定律把力學和行星運動結合起來,就是我們學過的經典力學。

讀者若有中學程度的物理底,該會聽過庫倫定律 (Coulomb’s Law) 與法拉第定律 (Faraday’s Law) 等等之電磁學定理。這些定律全被包含在馬克士威方程式 (Maxwell’s Equations) 當中,所有的電磁現象都可以從這四個公式推導出來:

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其中 EB 分別為電場 (electric field) 及磁場 (magnetic field)、ρ 是電量密度 (charge density)、J 是電流密度 (current density),E與 上面的箭咀表示它們是三維向量。

現在嘗試由 (1) 式推導出庫倫定律。把 (1) 式作體積積分,就會得到

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左邊使用高斯散度定理 (Gauss’s divergence theorem),右邊使積分電量密度寫成總電量 Q,就有

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考慮球狀對稱,左邊就只剩下沿半徑向外的電場分量,所以變成純量 EdA 的積分,故此就得到電場

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這就是讀者熟悉的庫倫定律。

其實當年馬克士威的方程式組包含了二十個公式,以上只有四個公式的現代版本是由黑維塞 (Oliver Heaviside) 與吉布斯 (Josiah Willard Gibbs) 於 1884 年使用向量形式重新表達的。

說到這裡,究竟電磁學與光有甚麼關係?早在 1676 年,奧勒.羅默 (Ole Rømer) 聰明地利用觀測所得之木星衛星掩食時間與理論上的數值比較,從而計算出光從木星飛到地球的時間,是有史以來首次測量到光速的準確數值:約為秒速 30 萬公里。

馬克士威發現,使用 (1) 至 (4) 式可以推導出數學之中用來描述波動的波動方程,因此他預言電磁波的存在。問題在於如何得知電磁波與光是同一種物理現象?以下我將推導電磁波動公式,答案就藏在結果之中。

考慮 (2) 式,把它作旋度 (curl),並使用恆等式

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就得到

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由於旋度算子與對時間的偏微分算子互相獨立,作用次序可以互換。再將 (1) 式代入 (9) 式左邊,將 (4) 式代入右邊,當我們考慮真空狀態,電量密度及電流密度均為零,就得到

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(10) 式可寫成

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同樣地,磁場也可以寫成

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讀者可以自行推導。(11) 式與 (12) 式就是電磁場三維向量波動公式,它們每一個方向的分量都可以寫成下述模樣:

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這就是波動方程,f(x,t是位置 x 與時間 t 的純量函數,u 是波的速率。所以我們發現電磁現象可被描述成一種波動,而且在真空下具有速率

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所以這樣就證明了電磁波的存在。

(14) 式之中的真空電容率與真空磁導率皆為常數:

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由此計算出 c 大約等於秒速 30 萬公里!「這不是光的速度嗎?何等巧合!」由於電磁波的速率與光速非常巧合地一致,這使得馬克士威不得不下結論說,光就是電磁波!

到了 1886 年,赫茲 (Heinrich Rudolf Hertz) 在實驗中證實了電磁波的存在,成為世上第一個傳送電磁波的人 ,頻率的單位赫茲 (Hz) 亦以他的名字命名。

當年,赫茲在課堂上做電磁波傳送實驗,有學生問他:「這樣做有什麼實際用途?」

赫茲回答:「一點用也沒有。」

誰又知道,今天差不多每個人都有一部手提電話、電台和電視台無時無刻都在廣播、現代人最重要的必需品不是食物不是水,而是 Wi-Fi。

馬克士威把電學與磁學結合成為電磁學,更把光學一同納入電磁學的範疇。這是物理史上一次極其重要的統一,大自然在人類面前展示出她偉大而美麗的一致性。不過,馬克士威的電磁理論當年亦曾被科學家所懷疑,因為 (14) 式的結論「光速是個常數」完全抵觸了牛頓的物理學觀點:時間及空間的絕對性。這個問題最終在 1905 年被愛因斯坦提出的狹義相對論解決了。

下一次,我們將會討論電磁波的特性,以及電磁學與相對論的關係。

我想,宇宙若存在一個創造者,祂說的應該是:「要有馬克士威方程!」就有了光。

你也能懂相對論

如果我說,相對論與日常生用息息相關,你會信嗎?或許就算我是一位知名的物理學教授,說服力相信也不會大得多少。以下我將要用比較淺白簡單的文字和少許初等代數,說明並說服大家,相對論並不難懂,而且它在日常經驗中是如此的明顯、如此的必要!

1905 年被稱為愛因斯坦的「奇蹟年」,愛因斯坦向世界提出了一套非常明顯、非常合理,但卻一直不為人所理解的理論狹義相對論 (special relativity)。被稱為「狹義」是因為這個理論只在慣性座標系中適用;換句話說,即是在所有沒有加速度的系統中都適用。狹義相對論建基於兩大假設:

  • 在所有的慣性系統中,所有有物理定律保持不變。
  • 對於所有系統中的所有觀測者,光速永遠不變,而且不是無限快的。

假設 (一)「所有自然定律不變」一般被稱為相對性原理 (principle of relativity),明顯比較合理,也比較容易理解。而乍看之下,光速相對於所有人都不變,而不論那人正在高速奔跑或者靜止不動都沒有關係,就顯得較為奇怪了。要理解這一點,我們需要由速度的意義說起。速度,就是在說「每單位時間內走了多遠」。說得再淺白一點,可以想像為「每秒走了多少米 (m/s)」。但這只是慣用單位的問題,你當然可以想成「每小時走了多少公里 (km/h)」,這正是司機們慣用的單位。在科學中,單位是至關重要的,因為不同單位的東西就是不同性質的東西,不可以混為一談的比較,好像一個蘋果永遠不會等於一個橙。

假設 (二)「光速相對所有人都不變」,就是說相對於所有人,光在每單位時間內走的距離都一樣。就是說,當你向著一道光奔跑,「直覺上」你會認為你所看到的光速比起你在靜止不動時快,因為在你向光跑去的「同時」,光亦向著你衝去。換成數學上的表達,就是說如果你用速度 向著光衝去,而我們用 代表你在靜止時看到的光速,那你看到的光速就會變成了c + v。這就是所謂的伽俐略變換,亦被一般人叫做「常識」。當然了啊,兩個物件互相衝去,當然會比其中一個不動、或兩者互相遠離快啊。但是,愛因斯坦卻說不論你用甚麼速度,向著光或離開光移動,你到的光速都仍然為 c,不多也不少!

你會說:「這怎可能!這是違反常識的!」我的回答是,一般人的常識存在非常明顯的漏洞,可是在愛因斯坦之前卻一直沒有人留意到這個嚴重的錯誤!這個錯誤就是「同時」這一概念的演繹。甚麼是「同時」?就是說大家的時鐘顯示的時間都一樣啊!對,這也是愛因斯坦對「同時」的理解。但現在要再問一道問題,如何知道兩個時鐘的時間一樣?

問題到肉了,可是你會覺得很無聊:「說甚麼廢話!只要我看到兩個鐘的指針拍著的時間就是了!」好,停一停,想一想:我們能「看」到東西,是因為光進入到我們的眼球穿過水晶體折射後投影在視網膜上。總言之,我們能看到東西,是因為有光。光以一定的速度前進,而且因為光速有限,因此在不同距離發出的光相對於同一個觀測者而言,會在不同時間到達。試想像,兩個人相距非常遠,而兩個人都帶著一個時鐘,那麼當然,任何一方都會覺得對方那個時鐘所發出的光,會比自己手上的時鐘所發出的光要用更多時間才能進入你的眼睛吧!好了,我希望大家想想,究竟事先要如何調整兩個時鐘,才能使你和對方都看到兩個時鐘是同步的呢?當然,這是辦不到的!因為兩個時鐘相距兩個人的距離都不同。若然你看到它們是同步的,對方就會看到他手上的走得較快,反之亦然。

如果你不太理解的話,請從頭思考一次,先不要跳過讀下去,因為剛才所說的就是相對論的精髓所在。重點是,要知道世界上並沒有「對所有人都同時」這個概念存在,因此也可以說,「同時」這個概念對每個人都不同;說「對大家來說都是同時」就是錯誤的,沒有可能發生。這是非常明顯的,但卻一直被我們所忽略。這完全是因為對於人類的感覺來說,光速 (每秒三十萬公里,能夠環繞地球七個半圈) 實在是太快、太快了。

好了,接下來我要介紹相對論導致的兩個非常重要的結果,這些結果令人類對時間及空間的概念有了根本上的改變:時間及空間其實是互相糾纏、難分難離的。在這部分我會以數學論證,狹義相對論所涉及的數學都只是基本數學運算以及向量微積分,相信對有會考物理根基的朋友來說不會太難。

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在我們生活的三維空間中,每一件事件都可以用座標系的四個變量決定,就是 (長,闊,高,時間),數學表達為 (x, y, z, t)。假設在座標系 S 中有一原點 O,在 內觀測的人都會對每一件事件測得一組座標 (x, y, z, t);而現在有另一座標系 S’ 正在相對 S 以速度 向右移動,它的原點 O’ 在時間 t = 0 的時候剛好與 O 重疊,而在 S’ 內觀測的人都會對每一件事件測得一組座標 (x’, y’, z’, t’)。那麼,在我們的「常識」中,(x, y, z, t)(x’, y’, z’, t’) 的關係就是由伽俐略變換來決定:

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這就是我們認為的「常識」的數學表達方法。留意當中 t’ = t,因為在傳統的觀念裡,「同時」這概念仍然存在。明顯地,在伽俐略變換當中,時間是獨立地流逝的,與空間 (x, y, z) 無關。可是,在上文中我們知道「同時」是不存在的。

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想像小明站在一節正在行進的列車車廂正中間,在車頭及車尾都擺放了感應器。他向左右同時照射出兩道光束。對小明來說,車廂並沒有移動,所以他會看到兩道光束同時到達感應器。可是,對於一位站在月台上的人來說,因為列車正在向右移動,右邊的感應器不斷遠離光束,而左邊的就不斷靠邊光束。所以他會看到左邊那道光束首先到達感應器。因此,時間會因為觀測者的運動狀態不同而有所分別,而且這是非常明顯的!請注意,上述兩種情況都是正確的,沒有誰對誰錯,完全因為觀點與角度而已。回到 S 和 S’ 座標系的討論,因為兩個座標系的運動狀態不同,所以伽俐略變換就不是正確的描述了,我們必須改用另外一種座標變換方法,名為洛倫茲變換 (Lorentz Transformation):

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有關這組公式的推導過程,有興趣的朋友可以參考任何相對論課本。在這裡我們有興趣的是:如果時間及空間確實根據以上方程組變換的話,會有甚麼有趣的事情發生?

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首先,考慮一個「光鐘」,這是一個純粹由兩塊互相平行的平面鏡組成的計時器,有一束光在兩塊鏡之間來回反彈。然後我們定義這束光來回反彈一次的時間 Δt = 2h / 為一個時間單位,故此我們就有了這樣一種有趣的計時器。

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現在,我們讓這個光鐘在 S 座標系中以水平方向向右以均速 移動。所以我們就知道,如果我們稱光鐘為 S’ 座標系,就有 Δt’ = 2h / c。在 座標系當中,光就是以斜線行進的,根據畢氐定理,我們得到

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使用簡單代數運算求得 Δt

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因為 v < c,所以分母必定小於 1 ,故此 Δt’ < Δt。換句話說,移動中的座標系的時間流逝得比較慢。這就是著名的時間遲滯 (Time Dilation) 。

除了移動中的人的時間在其他人眼中會變慢之外,移動中的物體看起來也會變短。這叫做長度收縮 (Length Contraction)。如果 L是物體靜止時的長度,L 是物體相對於觀測者以速度 v 移動時的長度,那麼我們就會得到

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公式 (3) 的推導過程與公式 (2) 差不多,只要把光鐘轉個直角再考慮水平移動就可以了,有興趣的朋友可以自己當做練習試試推導。

以上兩個「違反直覺」的現象都已經被實驗觀測所證實了。其中一個重要的證明是關於宇宙射線的問題。每分每秒都有大量的宇宙射線攻擊著地球,這些射線多是帶電粒子諸如質子及電子等等,能量很高。幸好地球有磁場以及大氣層的保護,不然地球上就不可能有生命存在了。

一些粒子與大氣粒子碰撞後,會產生許多不同種類的粒子,向各個方向散射。這些粒子的壽命一般都非常短暫,就算在產生的一刻開始已經用接近光速前進,在它再衰變成其他粒子之前,前進的距離最多也只得幾百米。但是,雖然地球的大氣層厚度約為 100 公里,設置在地面上的儀器卻可以探測到它們!這完全是因為這些粒子以接近光速行進,相對論的效應就會變得很大。如果在靜止時這些粒子的壽命是 T,那麼根據時間遲滯現象,地面上的人就會測得它們的壽命為

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其中 是粒子的速度。明顯地,當 非常接近 c 的時候,T’ 就會變得非常大,所以它們有足夠的時間可以穿過厚厚的大氣層落到地面。

我最後想介紹的是著名的愛因斯坦速度相加法則。在早前的討論中,我們已經明白到,在光速不是無限快的條件下,時間必須是「相對」的。亦即是說,對於不同運動狀態的觀測者,時間的流逝速率各有不同。同樣地對於空間來說也是如此。因此,我們就不能說兩個互相靠近的人的相對速度 v’,會簡單地為 v’ = v1 + v2,其中 v和 v分別為兩個人的速度。那麼 v’ 應該如何表達才對呢?其實簡單得很,只要把洛倫茲公式對時間微分就可以了。詳細的做法可以參考教科書,其結果為

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因此可以看到在相對論下,相對速度 v’ 比較小。如果代入文章開頭的例子,你和光束互相衝向對方,就有

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所以你會驚訝地發現,c + 仍然是 c!這是當然的,因為相對論本身必須符合它的假設:光速不變。

其實狹義相對論還有許多有趣的題目可以討論的,例如著名的質能公式 E = mc^2、雙生子悖論、能量-動量四維向量、以及相對論性電磁場理論等等,或許在以後我會和大家深入討論。而愛因斯坦在 1916 年提出的廣義相對論 (general relativity),則是一套把重力與加速度都包含在內的時空理論,能夠非常準確地描述我們身處的宇宙。廣義相對論所涉及的數學非常深奧,需要使用到十分抽象的黎曼幾何以及張量的概念,確實並非每個學生也能明白。在以後我會試試為大家說明廣義相對論的重要性。總而言之,在這篇文章中,我希望大家明白的事,是相對論其實並非一般人想像的那麼深奧難懂。至少,就狹義相對論而言,只需要中學程度的物理及數學知識就可以了。