科學與數學-人類對大自然的理解

愛因斯坦:「這個宇宙最不能理解的事,就是它竟然能被理解。」

科學是理解宇宙的方法。沒錯,而我相信科學是理解宇宙最有效的方法。

科學能理解宇宙,這是什麼意思?何謂理解?如果我們想深一層,「理解」的過程是沒有盡頭的。為什麼我們存在?因為有太陽提供能量給地球上的生命。為什麼太陽存在?因為星塵經由萬有引力結合成太陽。為什麼有星塵?因為宇宙誕生時產生了能量和質量。

那麼,為什麼有宇宙?

每種問「為什麼」的過程,都能夠追蹤到宇宙誕生,包括為什麼今天不小心打破了玻璃杯,其終極原因也是宇宙誕生。同樣,問基本粒子的本質是什麼,最後也只能答「因為宇宙誕生就是這樣啊」。

科學家在很久以前,問的是「為什麼(why)」,答案亦普遍停留於「定性(qualitative)」階段。然而,隨著主要由伽利略等人開始的科學革命,科學家漸漸發現使用數學能夠描述自然定律之餘,亦能做出非常精確的預測。其中,以牛頓萬有引力定律推算出彗星重臨時間的哈雷,最為人津津樂道。由17世紀發展以來的現代科學,變成一門精密的「定量(quantitative)」學問。

科學家學會了去問大自然「如何(how)」運作。這比問大自然 why 這樣運作容易回答,因為問大自然 how to 運作的答案可以用數式、數字,加上統計、歸納觀測和實驗數據而得到,並且非常精確。數學(包括統計學在內)不單止是大自然的語言,更是科學家用來理解大自然定律的語言。

在科學中,「理解」就是數學方程式。不管我們願不願意接受,數學都是描述和預測自然定律最精確的語言。把我們觀察到的數據歸納,以最少的假設建立一個能夠描述這些數據的數學模型,並對大自然作出預測,就是現今科學家的日常工作。

當然,我們可能不會滿足於問 how。人類是求知慾很強的生物,我們渴望知道 why。這也是很多著名的科學家說過的;很多科學家都說我們應該理解數學背後的物理概念,而非單純滿足於公式和數字。

我們會高興地說:「看!愛因斯坦和費曼等科學家都說過,理解物理公式不代表真正理解物理!」且慢。這個結論下得太快了;快點把你寫滿數式的筆記找回來。可能理解物理公式真的不代表理解物理概念,我不肯定;但我能肯定的是,不理解物理公式,就不可能理解物理概念。

會說出「物理不是數學」的科學家,他們之所以會這樣講,是因為他們已經把物理公式理解得相當透徹。他們達到一個層次、擁有的堅實數學能力讓他們是時候向下一步進發:不用數學而理解物理。不過,這一步,誰也不能保證成功,就連愛因斯坦、費曼等人都不可能保證成功。

每個科學家都知道,能夠不用數學就理解的自然定律少之又少;大部分的情況下,人類對自然定律的最終理解就是那堆數式、符號和數字。

這代表我們理解宇宙的嘗試失敗了嗎?非也。能夠利用數學去描述自然定律,還能得到非常不錯的預測,已經是非常厲害的壯舉。如果我們仔細思考,我們甚至會認為這個壯舉厲害得近乎不可思義。例如在2015年探測到的重力波,竟然是愛因斯坦在100年前發表的高度數學化的重力理論——廣義相對論——的預言。又例如在上世紀發展到今天的量子力學,其預測能力只有越來越精準,百多年來無數個實驗測試它都一一通過了。這些科學成就,無不是建立在科學家對物理公式的徹底理解之上。

我們應該謹記,無論我們對「理解物理定律」的解釋為何,首先都必須理解物理公式。正如做事要由基礎開始,學科學也要由科學定律的根基——數學——開始。當我們可以問 why 的時候,就代表我們已經理解 how 了。

或許有一天,我們所有人都能夠理解宇宙為何如此不可思議。我是這樣希望的。

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方程是永恆:愛因斯坦(Albert Einstein)

1879年,愛因斯坦出生於德國南部小鎮烏姆(Ulm)。1880年,他隨家人搬到慕尼黑(München)。與一般印象相反,愛因斯坦小時候因為鮮少說出完整句子,父母曾以為他有學習障礙。

愛因斯坦在慕尼讀中學。他非常討厭德國學校著重背誦的教育方式,課堂上總自己思考問題,不專注聽課,所以經常被老師趕出班房。1894年,愛因斯坦15歲,他父親赫爾曼・愛因斯坦(Hermann Einstein,1847-1902)在慕尼黑的工廠破產,迫使舉家遷往意大利帕維亞(Pavia),留下愛因斯坦在慕尼黑完成中學課程。同年12月,愛因斯坦以精神健康理由讓學校準許他離開,前往帕維亞會合家人。

這次出走改變了愛因斯坦的一生,甚至可說改變了人類文明的科學發展。

愛因斯坦不懂意大利語,不能在帕維亞上學。他早有準備,前往瑞士德語區蘇黎世(Zürich)投考蘇黎世聯邦理工學院(Eidgenössische Technische Hochschule Zürich,通常簡稱ETH Zürich)。結果愛因斯坦數學和物理學都考得優異成績,但其他科目如文學、動物學、政治和法語等等卻全部不合格。

蘇黎世聯邦理工學院給予愛因斯坦一次機會,著他到附近小鎮阿勞(Aarau)去完成中學課程,明年再考。在這段期間,愛因斯坦暫住在斯特・溫特勒教授(Jost Winteler,1846-1929)家中。愛因斯坦很喜歡開明、自由的溫特勒教授一家,利用這一年溫習各科目,更與溫特勒的女兒瑪麗・溫特勒(Marie Winteler,1877-不詳)相戀。

瑞士的教育方式與德國的不相同,並不強調背誦。瑞士學校老師非常鼓勵學生發表意見,不會以權威自居,這一點與討厭權威的愛因斯坦非常合得來。愛因斯坦曾於寄給溫特勒的信中寫道:「對權威不經思索的尊重,是真理的最大敵人。」[1]他稱自己為世界主義者,不喜歡德國日漸升溫的國家主義。溫特勒教授就幫助愛因斯坦放棄德國國籍,愛因斯坦因而成為了無國籍人士,他很喜歡這個「世界公民」身份。

一年後,愛因斯坦再次投考蘇黎世理工學院。物理、數學當然成績優異,其他科目亦合格,愛因斯坦順利被取錄入讀物理學系。然而,他父親卻期望他進入工程學系,將來繼續家族工廠,因此他們大吵了一場。

愛因斯坦大學時繼續他我行我素的性格,經常逃課去上其他科目的課堂,所以都要他的同學們幫他抄筆記,他才知道考試範圍。加上愛因斯坦以刺激權威為樂,教授們都不喜歡這個又煩又懶的學生,不願意幫他寫好的推薦信,所以他畢業後一直找不到工作。

在學時,愛因斯坦與物理系唯一一個女同學米列娃・馬利奇(Mileva Marić,1875-1948)相戀。根據膠囊資料顯示,愛因斯坦與米列娃的書信中曾提到他們有個女兒叫麗瑟爾。不過後來他們就再沒提到她,歷史學家估計麗瑟爾出生不久就死於猩紅熱。愛因斯坦與米列娃在1903年結婚,之後他們生了兩個兒子——大子漢斯和二子愛德華。他們最終在1914年分居,1919年離婚。

愛因斯坦於1900年畢業,取得了教學文憑。可是,由於教授們都不喜歡愛因斯坦,他申請大學職位的申請信全都石沉大海。愛因斯坦非常沮喪,以致他父親於1901年寫信給威廉・奧斯特瓦爾德教授(Wilhelm Ostwald,1853-1932,1909年諾貝爾化學獎得主)請求他聘請愛因斯坦當助手,或者至少寫給愛因斯坦鼓勵說話。當愛因斯坦快要連奶粉錢也不夠的時候,他大學時的舊同學格羅斯曼・馬塞爾(Grossmann Marcell,1878-1936)[2]的岳父以人事關係幫他在瑞士專利局找到了一份二級專利員的工作,愛因斯坦才度過難關。

愛因斯坦喜歡在早上就把所有工作做完,利用整個下午在辦公桌上思考物理問題。一個從學生時代就已令他著迷的問題就是:如果他能夠跑得和光一樣快,會看到什麼?

詹士・馬克士威(James Clerk Maxwell,1831-1879)的電磁學方程組說明光線就是電磁場的波動,而電磁波亦已被亨里希・赫茲(Heinrich Hertz, 1857-1894)的無線電實驗證明存在。科學家認為,既然光是波動,就跟所有其他波動一樣需要傳播媒介:聲波需要粒子、水波需要水份子,而光需要「以太」才能在宇宙直空中傳播。

愛因斯坦於1905年發表狹義相對論。在這之前牛頓的絕對時空觀早已令科學界困擾多年。著名的邁克遜—莫雷實驗結果與牛頓力學速度相加法則相違背[3]。無論地球公轉到軌道的哪個位置,無論實驗儀器轉向哪個方向,光線都相對以太以同樣秒速30萬公里前進,分毫不差。這就好像下雨時無論向哪個方向跑,雨點總是垂直落在我們的頭頂。難道雨點知道我們跑步方向,故意調整落下角度嗎?

光速不變概念非常革命性。因為光速不變,在我們眼中同時發生的兩件事,其他人看起來卻不一定同時。時間與空間有微妙關係,兩者結合在一起成為時空。當年大部分科學家都認為問題必然出在馬克士威電磁方程式,但愛因斯坦卻不這麼想。他認為,我們常識中對「同時」的理解根本有誤。不過,愛因斯坦並非以力學切入這個問題,而是思考一個著名的電磁現象:法拉第電磁感生效應。

法拉第電磁感應定律指出,移動的帶電粒子會同時產生電場與磁場,靜止的帶電粒子則只會產生電場,沒有磁場。但相對論說宇宙並沒有絕對空間,速度只有相對才有意義。而物理現象必須是唯一的,所以我們就有個問題:究竟有沒有磁場存在?把電磁鐵穿過線圈,我們可以做以下三個實驗:

(一)固定電磁鐵,移動線圈;
(二)固定線圈,移動電磁鐵;
(三)固定線圈及電磁鐵,改變磁場強度。

實驗結果:三個實驗之中都有電流通過線圈,而且數值完全一樣!

我們可以從實驗結果得出甚麼結論?基於完全不同的物理過程,實驗(一)與實驗(二)和(三)得到相同的電流。實驗(一)產生電流的是磁場,而實驗(二)和(三)產生電流的卻是改變的磁場所感生的電場。嚴格來說,實驗(一)的結果並非法拉第定律,因為法拉第定律所指的是磁場感生電場。正是這區別令愛因斯坦得到靈感,他在論文中說這個現象顯示無論是電動力學與力學,根本不存在絕對靜止這回事。

愛因斯坦預期相對論會在科學界引起廣泛討論,結果卻是異常安靜。愛因斯坦突然拋棄了物理「常識」,此舉令科學界摸不著頭腦。馬克斯・普朗克(Max Karl Ernst Ludwig Planck,1858-1947,1918 年諾貝爾物理奬得主)可能是唯一一個明白相對論重要性的人,他讀到論文後寫過信去問愛因斯坦解釋清楚一些理論細節,更派馬克斯・馮勞厄(Max von Laue,1879-1960,1914 年諾貝爾物理奬得主)去拜訪愛因斯坦。馮勞厄發現愛因斯坦竟然不是大學教授,而是瑞士專利局裡的小職員。回家路上,愛因斯坦送給馮勞厄一支雪茄,馮勞厄嫌品質太差,趁愛因斯坦不為意從橋上把雪茄丟了下去。

愛因斯坦導出那舉世聞名的質能關係方程式E=mc2,解釋了放射性同位素輻射能量來源和太陽能量來源。不過愛因斯坦後來在1921年獲頒的諾貝爾物理學獎並非因為相對論,而是因為他應用普朗克的量子論解釋了光電效應。

愛因斯坦並沒有滿足於狹義相對論。狹義相對論只適用於慣性坐標系,可是宇宙裡絕大部份坐標系都是非慣性的,例如地球就是個加速中的坐標系。愛因斯坦知道必須找出一個新理論去解釋加速坐標系中的運動定律。他幾乎是獨力地與新發展的數學分支「張量分析」在黑暗之中搏鬥了十年之久,最後才於1915年11月完成廣義相對論。我們已經觀賞過的宇宙大爆炸,都遵守廣義相對論的方程式。

愛因斯坦尋找正確的廣義相對論公式期間,米列娃與愛因斯坦的關已經變得非常惡劣,而且愛因斯坦的母親非常不喜歡他倆的婚姻,米列娃她就在1914年帶著兩個孩子離開他們的家柏林,到瑞士去了。與孩子分離使愛因斯坦非常傷心,因為他堅持留在德國做研究。不過,他與後來第二任妻子、表妹愛爾莎・愛因斯坦(Elsa Einstein,1876-1936)[4]的曖昧關係已經一發不可收拾。

我們穿越時間來到了1915年11月底,愛因斯坦就快發現能夠描述整個宇宙的新理論了。狹義相對論裡時空是平的,並且所有慣性坐標系都是等價的。廣義相對論描述的是更廣泛的彎曲時空,它能描述所有坐標系。只要指定一套時空度規、給定能量與物質密度分佈,就能夠計算出時空曲率如何隨時間改變。相對論大師約翰・惠勒(John Archibald Wheeler,1911-2008)曾說:「時空告訴物質如何運動;物質告訴時空如何彎曲。」[5]

狹義相對論改正了以往區分時間與空間的常識,而廣義相對論則把萬有引力描述成時空曲率,連光線也會被重力場彎曲,再次顛覆了常識。我們只需要把一組十式的愛因斯坦場方程式配合相應時空度規,任何宇宙的過去與未來都能夠計算出來。

當然很多人質疑廣義相對論的正確性,因為科學理論必須接受實驗驗證。終於在1919年,英國天文學家亞瑟・愛丁頓(Sir Arthur Stanley Eddington, 1882-1944)來到西非畿內亞灣普林要比島(Principe)以日全食觀測結果驗證了廣義相對論。1919年5月29日早晨,下著傾盆大雨。幸好到了下午1時30分雨停了,不過還有雲。愛丁頓努力拍攝了許多照片,希望能夠拍到太陽附近的星光偏折。最後結果出來了:在拍得的照片中,有一張與愛因斯坦的預測數值吻合。其實在科學裡,一個證據並不足以支持一個理論,但愛丁頓是個廣義相對論狂熱擁護者,他立即對外公佈廣義相對論已經被證實了。

廣義相對論場方程式顯示,宇宙若不是正在收縮就是正在膨脹。我們已經知道,當年愛因斯坦認為宇宙永遠存在,因此他在場方程式裡加入了宇宙常數,用來抵消重力,使宇宙變得平衡,不會擴張也不會收縮。但這樣的宇宙極不穩定,只要非常細微的擾動,宇宙就會膨脹或收縮。就好像把一個保齡球放在筆尖上,理論上保齡球可以停在筆尖上,但只要一點點風就能使保齡球滾下來。

不過,這個常被人說成是愛因斯坦一生最大錯誤的宇宙常數,其實的確存在。錯有錯著,歷史再次證明愛因斯坦正確,儘管這並非愛因斯坦的原意。1929年,愛德溫・哈勃(Edwin Hubble,1889-1953)發現星系正在遠離地球,而且越遙遠的星系後退的速度就越快。這只能有兩個解釋:要麼地球是宇宙的中心、要麼宇宙正在膨脹。當愛因斯坦知道哈勃的發現後,他後悔在廣義相對論方程式裡加入了人為的宇宙常數[6]。

今天,科學家已經發現宇宙不單正在膨脹,而且膨脹正在加速。暗能量、或者宇宙常數,因而在上世紀末重新復活。一個正在加速膨脹的宇宙,比一個靜止的宇宙需要更巨大的宇宙常數。而且事實上,即使有宇宙常數,宇宙亦不可能靜止。

愛因斯坦在第二次世界大戰時,因為擔心納粹德國會製造出原子彈,所以他曾寫信致羅斯福總統要求美國搶先研究製造原子彈。到戰後才發現,當時的德國根本無法造出原子彈,因為大多數的科學家已經被希特拉趕走了。那天早上,當愛因斯坦聽到原子彈已經把日本廣島夷為平地,他就呆坐在家,久久未能平復心情。從此以後,愛因斯坦極力主張廢除核武,導致他被50年代著名的FBI胡佛探長(John Edgar Hoover,1895-1972)認為他是共產黨間諜。理所當然,胡佛始終無法找到任何證據捉拿愛因斯坦。

愛因斯坦因以普朗克的光量子概念解釋了光電效應而獲得1921年諾貝爾物理獎。光電效應論文證明了光同時是波動和粒子,稱為光的波粒二象性,是量子力學的基本原理。不過,儘管量子力學和廣義相對論的所有預測都未曾出錯,兩者卻互不相容。現在的科學家十分清楚:要不是量子力學是錯的、或廣義相對論是錯的、或兩者都是錯的。

愛因斯坦於1923年7月11號在瑞典哥德堡舉行的Nordic Assembly of Naturalists會講上講了他的諾貝爾獎講座。雖然他得到的是1921年諾貝爾獎,可是因為諾貝爾奬委員會認為在1921年的提名名單中沒有人能夠得獎,跟據規則該年度之獎項順延至下一年頒發,所以愛因斯坦實際於1922年得到1921年的諾貝爾獎。而由於在1922年諾貝爾獎頒獎典禮舉行時愛因斯坦正在遠東旅行,直到1923年愛因斯坦才在哥德堡講出他的諾貝爾奬講座。順帶一提,愛因斯坦獲頒諾貝爾獎不久之前,他正在香港。

愛因斯坦雖然有份為量子力學打下基礎,後來卻變得不相信量子力學,例如他與兩個物理學家共同提出的愛因斯坦—波多爾斯基—羅森悖論[7]就是為了推翻量子力學的。可是,科學家後來發現愛因斯坦—波多爾斯基—羅森悖論的假設「局域性」是錯的。廣義相對論認為宇宙是「局域」的,只有無限接近的兩個點才能有因果關係,因此推翻了牛頓重力理論中的「超距作用」。但量子力學卻說,兩個相距非常遠的粒子也能夠互相影響,因此量子力學與廣義相對論的假設是不相容的。

愛因斯坦一生都在尋找量子力學的錯處,結果是一個都找不到。他晚年一直在研究統一場論,希望統一電磁力和重力。不過,在他死前,人類並不知道除電磁力和重力以外還有強核力和弱核力。所以愛因斯坦根本沒有足夠的資訊去進行統一場論的研究,歷史注定要他失敗。

愛因斯坦一生對金錢、物質、名譽等不感興趣,他喜愛的東西大概可說只有物理和女人。他希望找出大自然的終極奧秘,並以優美、永恆不變的數學方程式表達出來。愛因斯坦覺得「政治只是一時,方程式卻是永恆。」[8]愛因斯坦聲稱自己並不擅長政治,但他在一生中卻經常對種族平等、世界和平等政治大議題作公開演講。因此他也引來許多人對他的政治立場表達不滿。

當以色列的第一任總統哈伊姆・魏茲曼(Chaim Azriel Weizmann,1874-1952)於1952年逝世時,以色列官方曾邀請愛因斯坦擔任第二任總統。最後,愛因斯坦寫了一封回信感謝並婉拒。

1955年4月18號,愛因斯坦在撰寫祝賀以色列建國七週年的講稿中途逝世。他生前堅拒以人工方法勉強延長生命,他說:「當我想要離去的時候請讓我離去,一味地延長生命是毫無意義的。我已經完成了我該做的。現在是該離去的時候了,我要優雅地離去。」[9]

[1]”Autoritätsdusel ist der größte Feind der Wahrheit.” The Private Lives of Albert Einstein (1993), p. 79.

[2]格羅斯曼在愛因斯坦建立廣義相對論期間幫助愛因斯坦解決數學上的問題,可說是廣義相對論的促進者。注意格羅斯曼是匈牙利人,名稱習慣先姓後名,所以格羅斯曼是他的姓,馬塞爾才是他的名。

[3]邁克遜—莫雷實驗是阿爾伯特・邁克遜(Albert Abraham Michelson, 1852-1931)和愛德華・莫雷(Edward Morley, 1838-1923)在1887年合作做的實驗,測量地球在以太參考系裡的速度。

[4]原名愛爾莎・路文塔爾(Elsa Löwenthal)。

[5]”Spacetime tells matter how to move; matter tells spacetime how to curve.” Geons, Black Holes, and Quantum Foam (2000), p. 235.

[6]流傳愛因斯坦說過這是他「一生中最大的錯誤」的故事應該是假的。

[7]愛因斯坦—波多爾斯基—羅森悖論是愛因斯坦、鮑里斯・波多爾斯基(Boris Podolsky,1896-1966)、納森・羅森(Nathan Rosen,1909-1995)於1935年合寫的一篇論文中的思想實驗,希望證明量子力學自相矛盾。

[8]”… politics are only a matter of present concern. A mathematical equation stands forever.” Brighter than a Thousand Suns: A Personal History of the Atomic Scientists (1958), p. 249.

[9]”I want to go when I want. It is tasteless to prolong life artificially. I have done my share, it is time to go. I will do it elegantly.” The ruptured abdominal aortic aneurysm of Albert Einstein, Surgery, Gynecology & Obstetrics, 170 (5): 455-8.

延伸閱讀:
淺談 E=mc^2:愛因斯坦 137 歲誕辰
拋開常識的學者:愛因斯坦 (Albert Einstein)

土星的自白

大家好,我叫做土星。在地球上,有些人叫我做土星。他們認為我代表構成萬物之一的「土」,可是我上面根本沒有泥土啊。另外有些人則叫我做 Saturn,據我的兄弟地球所說,這個字代表他們信奉的農業之神。地球人更創造了一個代表我的符號,看起來就像一把收割用的鐮刀。

我在太陽系裡的第六條軌道上運行幾十億年了。噢,因為太陽系一眾行星兄弟當中,地球最會計時,所以我們說的都是地球年、習慣使用的都是地球人的科學術語。我們在大約五十億年前、太陽誕生後剩下的塵埃之中形成,而我是各個行星兄弟中第二重的。不過,雖然在我的核心裡有岩石和冰,但我的外層都是金屬氫和其他氣體,所以我的平均密度是行星兄弟中最低的,是唯一一個比水密度更低的行星。

我記得,剛開始的時候,太陽系遠比現在在熱鬧多了。除了我們一眾比較巨大、稱為行星的兄弟之外,還有許多體積較小的岩石碎片,大家一起環繞太陽散步。行星兄弟們的軌道差不多都在同一個平面之上,非常接近正圓形。相反,碎石們的軌道卻有著高得多的離心率,大多都呈非常楕圓的形狀。其中一些會被我們吸引、撞上我們,化作我們的一部分,使我們越來越重。

經過了一斷時間,剩下的碎石越來越少,他們要不是與我們結合了,就是被太陽的引力拋向了無盡的外太空之中。這個過程亦同時慢慢改變了太陽系的質量分布,甚至改變了我們的軌道,使行星兄弟的排位互換了好幾次。我依稀記得自己本來不是排第六的,不過就不太記得我跟哪位兄弟交換過位置了。

經過了幾十億年,突然在幾十萬年之前,地球上的生命演化出人類這個有趣的物種。他們之中的一些人,會使用一種叫做望遠鏡的儀器,窺探遠方的船隻。我本來以為他們只是想看見遠方的朋友,可是他們竟然互相攻擊、自相殘殺,令我覺得很傷心。

有一天,一位叫做伽利略的人類,他非但沒把望遠鏡用在戰爭之中,反而把它指向了天空、指向了行星兄弟們、指向了我。我記得,他每個晚上都會用望遠鏡看看我們,然後在筆記本上繪畫出我們的素描。我很高興,終於有人想把我們看得清楚一點了!不過,他誤以為我的環是我的耳朵,使我被其他兄弟笑了好久呢!

然後,另一個叫做惠更斯的人類,使用一台比較強勁的望遠鏡,終於發現我沒有耳朵,而是有個很漂亮的環。我的環非常、非常薄,然而又非常巨大。我自己也很喜愛這個環,因為我的環其實是由非常多細小的冰塊和石頭構成的。我很喜歡把這些寶石給我的兄弟看,他們都很羨慕我呢!

其實,我並非獨自一個在第六軌道上運行的,我有幾十個小伙伴陪著我。人類把他們稱為衛星,事實上他們都是我的朋友。惠更斯用他的望遠鏡發現了其中一個,把他叫做泰坦。傳說這個名字是神話中的巨人。我把這個名字轉告了他,他似乎也很喜歡這個人類為他起的名字。然後,另一個地球人卡西尼發現了我更多的衛星朋友。他亦發現了我的環其中一條最大的縫隙,聽說人類更用他的名字稱呼這條縫隙呢!

伽利略、惠更斯、卡西尼和其他很多很多地球人,經常都會用望遠鏡看我,繪畫我的畫像。雖然我聽不到他們說的話,但我感覺他們都是我的好朋友。可是,我發現原來人類的生命很短暫,相比起我們行星百億年的生命,他們只有短短的幾十年。後來,我再也沒有看到這幾位朋友了,我很掛念他們。

之後,人類發明了更多不同種類、性能更強的望遠鏡,而且更多更多的地球人相繼加入觀看我們的行列。他們當中,有些偶然才會看看我、有些則每晚都會觀察我。人類好像把這些專門研究我和其他行星的人稱為行星天文學家,雖然我不太明白這是什麼意思,但我很高興能夠認識到越來越多的朋友。這些人都很熱愛天文、熱愛科學和大自然,不像之前的那麼暴戾,動不動就互相攻擊。天文學家們對我的研究有時會互相矛盾,以致引起爭論,但他們都總是互相尊重,就像我們一眾行星、衛星朋友一樣。

突然,有一天,從地球飛來了一架太空飛船,上面設有很多探測儀器和相機。原來這是人類派來研究我和我的環以及衛星朋友的太空探測器,他們更把他叫做卡西尼號!我彷彿再次遇見我的老朋友,而且更是近距離與他相聚,讓我開心得好久一段時間都睡不著呢!卡西尼號亦非隻身前來,惠更斯號附在他身上一起前來與我們見面,不久之後惠更斯號就降落到泰坦上了。

卡西尼號環繞我運行了十多年了。他為我拍了非常多漂亮的照片,傳送返回地球,讓更多人類看見我的真正面貌。聽說當中有很多人類的小孩,因為看見了我的照片,長大後成為了天文學家。我覺得很開心,他們都是有好奇心的人,是我的好朋友。噢,我忘了說,這幅照片就是卡西尼號為我拍的,你們覺得好看嗎?

不過,卡西尼號很快就又要和我說再見了。他的能源已經用得七七八八,快支持不住了。可是,他仍希望用自己生命的最後一口氣,飛近我的環、飛近我,把盡可能多的我的資訊傳回地球、傳給那些有好奇心的人類天文學家。卡西尼號告訴我,他已經調整好軌道,準備完成他最後的任務,最後五次非常接近地環繞我飛行,然後落入我的大氣之中。

在他收集我的大氣數據,並即時傳回地球的時候,我的大氣卻會把他慢慢地壓垮,直到他粉身碎骨,與我合為一體。我很敬佩他的勇氣,為了把我更多的科學知識教會人類而犧牲。再見了,卡西尼號,我的朋友。

在我之中,還有很多是人類所不知道的。我期望人類不要放棄探索太空、不要忘記好奇心。我期望,在不久的未來,會有另一位來自地球的朋友,飛來土星環的基地探望我。

科幻是科學的翅膀

科幻的意義

有人指控我「不尊重科幻作品」。我尊重他們發表意見的權利,亦欣賞他們對科幻作品的熱誠。我相信,這種熱情亦是推動好奇心的源動力。而我同時認為,如同《進擊的巨人》這樣好的科幻作品,是能夠激起人們思考科學、社會問題,再應用於我們所生存的這個世界之中的。

我希望藉著有趣的動漫題目,吸引各位思考科學原理。這當然就不是說我要破壞原作者的創作。誰不知道在作品當中,作者就是神、就是物理定律?我們會不會把科普文中提到的科學問題傳給作者叫他修改作品?不會,因為我們明白探討的題目是「如果在我們這個世界打出一記認真拳/打出龜派氣功/變身成為巨人,會發生什麼事情呢?」

就如同從前科學仍未發達的時候,登陸月球被視為幻想。有小說作家幻想登上月球,我們不會去攻擊他「不科學」,而是把這個幻想當成思考科學問題的機會,改善我們的科學技術。想必有些人曾經思考過「如果我們真的能夠飛上月球,會發生什麼事情呢?」

最終,岩士唐踏出了人類的一大步。幻想,成了真實。

科幻絕不應只幻不科。其實,我自己也是《進》的粉絲。吸引我的,除是了那些刺激的戰鬥場面外,也是那些叫人反思現實的情節。高牆和巨人,都一一暗喻了許多發生在我們身邊的社會問題。我們會把作品中對社會的描寫化作現實的反思,為什麼我們不能把作品中的科幻化作現實科學的思考?這樣,科幻才能成就科學。

我相信,這就是科幻的意義。

如果在我們的世界裡  巨人究竟可以有多重?

最後,就讓我們看看巨人究竟有多重。在我們的世界中,以現在人類對大自然的科學知識,我們沒有辦法進行高維度的物質傳送。因此就必須要憑空產生出額外的物質,無可避免地用到愛因思坦的質能互換定律 E=mc2。可是,這又會引起另一個問題:產生質量的能量太過龐大。

作者亦有想過這個問題。漫畫之中,曾明示過「巨人比想像中輕」。因此,我們就來假設在完全沒有用到 E=mc2 之下,巨人究竟會有多重。所以今次我們就不是假設密度不變,而是質量不變。跟上次一樣,我們只要使用密度=質量/體積,就能夠計算出各種巨人的密度。

對於一個 3 米級的巨人,其體積是一個 1.7 米高的人類的 5.5 倍。如果要維持質量不變,那麼 3 米級巨人的密度就是人類的 1/5.5=0.18,即是只有人類的 18%。以人類平均密度大約為 0.95 g/cc 去計算(g/cc 即是每平方厘米克),3 米級巨人的密度就是每平方米 0.17 g/cc。順帶一提,海平面一個大氣壓力下、室溫的水的密度是 1 g/cc,這就是為什麼人體是會浮在水面上的原因。而巨人受到的浮力就更加強了,想潛水基本上是不太可能的。

圖
假設身體重量不變,人型生物身高(橫軸,米)與密度(縱軸,g/cc)關係。

那麼 15 米級的巨人呢?體積是人類的 687 倍,密度是人類的 0.1%,即是 0.0014 g/cc。在海平面室溫的大氣密度是 0.0012 g/cc,所以 15 米級巨人的密度原來跟空氣差不多,被其打中應該就像颱風時站在街上的感覺吧⋯⋯

最後,當然少不了大家最關心的超大型巨人了。體積是人類的 44,000 倍,密度就只有人類的 0.0022%,即 0.00002 g/cc。這不就是只有大氣密度的 1.8% 嘛⋯⋯這樣的話,如果超大型巨人真的出現,我們頂多也只會看見一團非常輕薄的肉色氣團,被打中也是不會有什麼感覺的。而且,因為其比空氣密度更低,所以會慢慢升上天空,很恐怖的說⋯⋯哇,什麼時候變成鬼故事了?

科幻是科學的翅膀

其實,很多科學家也是科幻故事、漫畫、小說等的粉絲。如我上述,欣賞科幻作品和思考科學問題並非對立。科幻作品是科學進展的翅膀,驅動著人類對大自然的好奇心帶領人類飛上月球、飛到宇宙深處。

《進擊的巨人》故事重點根本就不是巨人變身,而是想透過人類打巨人去說一些道理。所以,這篇文章寫的只是無聊自娛的計算,就讓故事中的巨人繼續橫行吧。

永恆的對稱:艾瑪.諾特(Emmy Noether)

艾瑪.諾特(Emmy Noether, 1882 – 1935)是個才能非常出眾的女性數學家,愛因斯坦稱她為史上最重要的數學家。她的研究解答了一個非常深刻的物理問題:為什麼我們的宇宙中存在能量守恆、動量守恆等守恆定律?

諾特生於德國巴伐利亞城市埃朗根(Erlangen),父親是位數學教授。她本來打算畢業後當法文和英文老師,但後來改變主意,進入他父親工作的埃朗根大學(Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg)攻讀數學。她在 1907 年取得博士學位,著名的數學家大衛.希爾伯特(David Hilbert, 1862 – 1943)看見她的數學才華,希望把她聘到哥廷根大學(Georg-August-Universität Göttingen)做私人講師(Privatdozent,德國的一種講師資格,卻不一定是支薪的)。可是,哥廷根大學哲學系反對聘請諾特,他們說:「若然我們的軍士打仗回國,卻發現他們要接受一個女人的教導,他們會有何感想?」而且,他們不希望一個女人有資格在大學評議會中投票。

面對攻擊諾特的性別歧視,忿怒的希爾伯特反擊道:「我看不出申請人的性別是反對她成為私人講師的理由。畢竟,評議會並非澡堂。」

“I do not see that the sex of the candidate is an argument against her admission as a Privatdozent. After all, the Senate is not a bath-house.” – David Hilbert

儘管諾特得到希爾伯特的支持,哥廷根大學始終不肯聘請她。往後 7 年間,她在埃朗根數學院(Mathematical Institute of Erlangen)工作,而且是不支薪的。有時候,當她父親病倒了,她會代替他在埃朗根大學授課。直到 1915 年,希爾伯特和菲力斯.祈因(Felix Klein, 1849 – 1925)邀請她到哥廷根大學,以希爾伯特的名義講課。最後在 1919 年,哥廷根大學終於正式聘請諾特做私人講師。

諾特在數學中有很多重要的貢獻,而其中最著名的莫過於諾特定理(Noether’s Theorem):每個物理作用量的可微分對稱,都存在一個對應的守恆定律。簡單來說,諾特定理說物理守恆定律來自物理定律的對稱性。用更簡明的語言來說,就是如果物理定律在座標轉換後維持不變,那麼這個轉換背後就藏著一個守恆定律。例如,我們向著哪個方向做實驗都得到一樣的結果,這就代表了角動量守恆定律;我們在今天、昨天或明天做實驗結果都相同,這是因為能量守恆定律;動量守恆定律則使我們在宇宙中哪裡做實驗都沒有分別。

諾特定理對發展新的物理理論很有幫助。物理學家只要找出物理問題的對稱性,就能夠知道守恆的物理量;反之,也可以由守恆定律出發,推導出物理系統的運動方程。

諾特經常與同事合作研究,而且她的研究興趣非常廣泛。她的專長是抽象代數(abstract algebra),不過有時候在非專業的領域中,諾特也做出了不少貢獻。而且,她對分享知識和看法也毫不吝嗇,不會把想法收起來,而是會大方地與其他數學家討論,哪怕對方是同領域上的「對手」。有幾次,同行數學家用了諾特的想法發表論文,諾特也毫不介意。

諾特的研究和教學態度也廣受好評。儘管有時她會因為數學問題而與別人大吵一場,她的立場始終是針對數學而非針對個人。有次,她的兩個女學生留意到諾特的頭髮亂了,想上前提醍她,但她正在和其他學生討論數學,以致在兩小時內兩個女學生也找不到空間打斷諾特的討論。然而,諾特的課堂並不太有條理,她通常用課堂時間和學生討論最前沿的數學問題,有時她的講義內容甚至超越了當代領域的最新研究,這使有些學生感覺跟不上。不過諾特對學生非常關心,她的學生會稱她做「論文母親」,其他人也叫諾特的學生做「諾特的孩子」。

1933 年,納粹在德國橫行無道,擁有猶太血統的諾特被哥廷根大學開除。她移民到美國,在賓夕法尼亞州博懋學院(Bryn Mawr College)繼續做研究。可惜的是於 1935 年,她被診斷出有個卵巢囊腫,要入院做手術切除。手術之後三天,諾特情況慢慢好轉,然而在第四天她突然發高燒並陷入昏迷,未幾離世,享年 53 歲。

諾特受盡歧視,然而數學、科學發現都不會因身份、性別、種族或任何取向而改變。諾特與對稱,將一同永垂青史。

重力波GW170104再證愛因斯坦理論正確

才剛寫好一篇關於愛因斯坦廣義相對論的文章,美國的激光干涉重力波天文台(LIGO)又再發表論文,宣佈第三次探測到來自雙黑洞結合產生的重力波 GW170104。論文通過同儕審查,刊登在 Physical Review Letters

重力波是極大質量扭曲時空而產生的時空漣漪。根據廣義相對論,質量會令時空彎曲,這就是萬有引力的成因。如果極大質量以特定方式運動,其扭曲時空的效果就會形成波動,把能量以光速向外輻射開去。

與前兩次重力波 GW150914 和 GW151226 一樣,這次探測到的重力波來自雙黑洞結合系統,命名為 GW170104。兩個黑洞的質量分別為 31 和 19 太陽質量,它們互相環繞運動,越轉越快,最終碰撞結合成一個 49 太陽質量的黑洞。在此過程中,相等於約兩個太陽質量的能量的重力波會向四面八方輻射,比任何時刻宇宙中所有星系和恆星輻射的能量更高。

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X射線望遠鏡發現的黑洞大小(紫色)和 LIGO 發現的黑洞大小(藍色)。Image courtesy of LIGO/Caltech/MIT/Sonoma State (Aurore Simonnet).

然而,比起 GW150914 和 GW151226,GW170104 的雙黑洞來自 30 億光年以外,是 GW150914 和 GW151226 距離的兩倍以上。而且,這次結合得出的黑洞質量正好介乎前兩次的數值之間,使物理學家確認 20 倍太陽質量的黑洞族群確實存在。在 LIGO 探測到重力波之前,根據 X 射線望遠鏡的觀測,我們從未發現過 20 倍或以上太陽質量的恆星質量黑洞(stellar-mass black hole)。

隨著 2018 年歐洲的 Virgo 探測器將開始運作、而且 LIGO 將再次升級,探測重力波的靈敏度將會再次提高。屆時,科學家或許能夠探測到期待已久、來自中子星雙星系統或中子星-黑洞系統的重力波。物理學家預測,涉及中子星的結合事件除了重力波外,亦會釋放出高能量的電磁輻射如 X 射線和伽瑪射線,稱為伽瑪射線暴。同時探測到來自同一系統的重力波和電磁波,可以提高探測的可信性外,也能幫助天體物理學家分辨各種星體模型,有助了解這些極端星體的物理和演化。

GW170104 還告訴了我們很多訊息。例如,這次結合的兩個黑洞,至少有一個的自轉並非與它們互繞的平面方向相同。換句話說,至少其中一個黑洞的自轉軸是傾斜了的,就好像地球的自轉與公轉平面之間有個夾角一樣。這個發現,顯示兩個黑洞可能並非於同一雙星系統中誕生,而是在誕生後才互相捕捉,形成雙黑洞系統。

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GW170104 的探測數據(灰色)、其小波分析結果(橙色)和雙黑洞電腦模擬結果(藍色)。上下分別為位於 Hanford, Washington 和 Livingston, Louisiana 兩座 LIGO 天文台的訊號。Abbott et al. (2017).

另外,研究員亦確認了愛因斯坦的重力波預言準備無誤。重力波與電磁波不同,不會發生色散現象。色散其實就是光線穿過介質後分開成各種顏色的現象,就如太陽光穿過雨後的水珠形成彩虹一樣。LIGO 沒有發現任何重力波發生色散的證據,愛因斯坦的廣義相對論又再下一城。

美國的 LIGO 團隊與歐洲的 Virgo 團隊合作,迄今已經探測到三個重力波和一個低可信性的疑似重力波。這兩個研究團隊人數過千,成員來自全球各地,也包括來自香港的研究員。作為研究伽瑪射線暴的天體物理學家,我期待探測到伴隨伽瑪射線暴的重力波,這將會是人類科學文明的極重要里程碑。

封面圖片:畫家想像的 GW170104 雙黑洞系統,圖中黑洞的自轉軸與互繞平面方向不同。Image courtesy of LIGO/Caltech/MIT/Sonoma State (Aurore Simonnet).

延伸閲讀:

LIGO 論文:Abbott et al., “GW170104: Observation of a 50-Solar-Mass Binary Black Hole Coalescence at Redshift 0.2”, Phys. Rev. Lett. 118, 221101

LIGO 官方新聞稿:GW170104 Press Release LIGO Detects Gravitational Waves for Third Time Results confirm new population of black holes

我以往關於重力波的文章:
重力波:愛因斯坦的最後預言 (上)
重力波:愛因斯坦的最後預言 (中)
重力波:愛因斯坦的最後預言 (下)
銀河消息:人類首次聆聽重力波
愛因斯坦教授 你是正確的
重力波:2016年邵逸夫天文學奬

重力是什麼?愛因斯坦的廣義相對論

亞里士多德說重力是一種向下跌的慣性,物件越重下跌速度越快;牛頓說重力是物質互相吸引的萬有引力造成的,而且不論物件多重,下跌加速度都相同;愛因斯坦說,宇宙間根本沒有重「力」,物件之所以會互相吸引,是因為質量把時空扭曲了,物質沿著四維時空曲率「下跌」。

等等,我們不是活在三維空間裡面嗎?我們知道這個宇宙中有三個互相垂直的方向:前後、左右、上下。愛因斯坦發現,如果把時間也視作維度,就能用相對論描述整個宇宙的演化。三維空間加一維時間,構成了我們身處的宇宙。數學家能夠把 N 個維度的幾何規則推導出來,不過這個宇宙似乎只需要四維就足夠。

牛頓對決馬克士威

牛頓在 1687 年出版《自然哲學的數學原理》,闡述了他發現的運動定律和萬有引力定律。其實在牛頓的力學架構中,時間早己是一個維度。要討論力學,我們必須引入參考系概念。請不用擔心,參考系就是我們在基礎數學裡學過的座標而已。如果把三維空間的三個方向叫做 xyz,而時間叫做 t 的話,那麼要在兩個參考系 SS' 之間轉換,牛頓就說

x' = x - u_x t
y' = y - u_y t
z' = z - u_z t
t' = t

其中 u_xu_yu_z 分別是參考系 S' 相對參考系 S 在 xyz 方向上的速度,另外我們假設了 SS' 在時間 t = 0 時重合。這一組四式,我們稱之為伽利略變換。

我們可以看出,時間這個維度在牛頓力學體系裡,無論相對哪個參考系都是一樣的。換句話說,對於任何觀測者而言,彼此的時間都永遠相同。牛頓說,宇宙有一個絕對的時鐘,時間流逝速率對於任何人都一樣,永恆不變。

另一方面,因為速度等於位移除以時間,無論觀察的人跑得多快,一個物件的長度都不會改變。這就是牛頓的絕對時空觀,從 17 世紀到 19 世紀統治著物理學。在這段期間內所有科學實驗結果都與牛頓力學吻合,因此我們可說所有古典科學結論都建基於牛頓力學。

之不過,牛頓力學的天空在 19 世紀後半期已經開始烏雲密佈。如果時空的確是絕對的,那麼我們就可以找到一個絕對靜止的參考系。根據馬克士威在 1861 和 1862 年發表的電磁波動方程,電磁波——光——的速度是固定的,數值是秒速 299,792,458 米。這就引申了一個問題:光速相對哪個參考系有此定值?如果找到一個參考系,在這參考系之中測量的光速等於每秒 299,792,458 米,那麼這個就是絕對靜止的參考系。

當時的物理學家稱呼這個參考系做以太,認為以太就是光線的傳播媒介。如果宇宙是絕對靜止的,以太這個特別的參考系就好像宇宙本身,宇宙間一切事物都相對以太運動,而光速只有在以太參考系裡才是秒速 299,792,458 米。

然而,科學進程往往曲折離奇、耐人尋味。1887 年,邁克生和莫雷合作做了一個實驗,去測量地球在以太中的速度。他們用的儀器叫做干涉儀,可以精確地量度光速在兩個互相垂直的方向的差別,稱為光程差。因為地球環繞太陽運動,他們預期在四季不同日期會測量到不一樣的光程差。令所有人驚訝的是,光程差在一年中任何時間都一樣是零!

邁克生和莫雷的實驗結果顯示,無論觀測者的運動速率和方向,光速都一樣是秒速 299,792,458 米,絲毫不差。這個發現與牛頓力學完全相反,根據伽利略轉換,速度是會疊加的,所以在移動中的地球上沿不同方向行進的光線速率就是每秒 299,792,458 米加或減地球在該方向上相對以太參考系的速率。這是牛頓力學和馬克士威電磁波動方程結合的結果,可是大自然卻說這是錯的!

少年愛因斯坦的煩惱

問題到底出在哪裡呢?當時的物理學界並不知道,在德國南部城市慕尼黑裡,一個高中生的腦海裡的一個問題,竟然是答案的關鍵。愛因斯坦原本在慕尼黑讀高中,因為忍受不住德國軍訓式的課堂教育,以精神健康問題為由中途退學,到瑞士一個叫阿勞(Aarau)的小鎮完成中學課程,同時準備報考蘇黎世聯邦理工學院(ETH Zürich)。

從慕尼黑的中學到他自蘇黎世聯邦理工學院畢業、並在朋友的幫助下勉強找到一份瑞士專利局二級專利員工作的期間,這個問題一直佔據著愛因斯坦的思緒:如果一個人能夠騎在光束之上,會看見靜止的電磁波嗎?根據牛頓時空觀,答案是肯定的。可是,馬克士威的電磁理論中並沒有用到以太這個概念。如果光速恆定這結論適用於所有參考系呢?可是,這樣牛頓和馬克士威的理論就互相矛盾了。馬克士威錯了嗎?不可能,他的電磁理論太美麗了,不可能錯的⋯⋯牛頓錯了嗎?可是,兩百多年來他的理論從未出錯⋯⋯抑或是兩個都錯了?

顯然,這裡有個難題,而難題的解答並不會使牛頓和馬克士威皆大歡喜。「我們的常識哪裡出錯了嗎?」愛因斯坦問道。

愛因斯坦通常只用半天就完成整天要做的工作,然後他就會在專利局辦公桌上思考和推導物理。一天,他突然發現了我們常識中的漏洞,而這個靈感徹底改變了世界。

愛因斯坦想像有一列以超高速行駛的火車,在直線路軌兩端上的雲同時閃電。我們身處火車中央,相隔兩道閃電的距離剛好一樣。愛因斯坦問:我們會看到閃電同時發生嗎?答案是不會的,因為火車正向前面那道閃電駛過去,同時遠離後面那道閃電,因此我們會首先看見前面的閃光。現在,如果在路軌旁的地面站著我們的朋友,他亦距離兩道閃電同樣遠。因為他相對兩道閃電而言都是靜止的,他就會看見兩道閃電同時發生。

這就導致了一個驚人的結論:「同時」這個概念並非絕對,兩件事情的發生次序,與觀測者的運動狀態有關!換句話說,時間是相對的。

意識到時間並非絕對的愛因斯坦,在 1905 年發表了一篇題為《論動體的電動力學》的論文。他在論文中以不同運動狀態觀察法拉弟電磁感生效應,推導出狹義相對論的參考系變換公式:

x' = \frac{x - u t}{\sqrt{1-{(u/c)}^2}}
t' = \frac{t - xu/c}{\sqrt{1-{(u/c)}^2}}

為簡化表達式,我們設 S' 沿 x 軸方向運動。狹義相對論的所有結論都可以由這裡開始推導出來,我們稱之為洛倫茲變換。

速率 = 距離/時間。三個變數,如果其中一個不變而另一個改變,那麼第三個變數也就必須改變。常識說時間是絕對的,如果光線走過的距離改變,其速率也會改變。愛因斯坦指出時間並非絕對,光速才是。時間的改變補償了距離的改變,使光速永遠不變。

原來,我們對於時間的常識有誤;原來,馬克士威是正確的,錯的是牛頓;原來,光線能夠在真空中傳播,並不需要以太。就是這篇論文,再加上愛因斯坦同年發表的另一篇論文《一個物體的慣性依賴於它所包含的能量嗎?》推導出史上最著名的公式 E = mc^2,狹義相對論從此取代牛頓的絕對時空觀。

十年光陰追逐重力 答案就在等效原理

愛因斯坦的狹義相對論並沒有考慮重力。愛因斯坦發表狹義相對論後,就致力尋找一個更廣義、能把重力包括進去的相對時空理論。

這裡要提一個經常出現的錯誤觀念:狹義相對論不適用於加速的情況。例如,有個誤解是雙生子佯謬違反了狹義相對論,這是不正確的。狹義相對論能夠描述物件受力加速,也能夠處理加速參考系(即非慣性參考系)的情況。誤解可能來自於在狹義相對論裡,慣性和非慣性參考系的處理有所不同。但這只不過跟牛頓力學一樣,在非慣性參考系裡的觀測者會看到虛擬的力,例如離心力和科氏力等,都不是真正的力。但物理上,加速度對狹義相對論完全沒有影響。

既然如此,我們為什麼需要廣義相對論?既然狹義相對論可以處理加速度,那麼把牛頓的萬有引力定律放進去不就可以了嗎?愛因斯坦也曾嘗試這樣做,但牛頓萬有引力定律的問題在於所謂的超距作用:重力不用任何時間就能傳遞,而相對論卻說沒有資訊能夠超越光速。其實電磁力的情況也一樣,物理學家需要考慮電磁力傳遞的時間差,這是我們在大學物理課會學到的所謂推遲勢。由於電磁波就是光,電磁力的傳播速度就是光速。如果我們假設重力的傳播速度也是光速,同樣利用推遲勢把萬有引力定律改造,得出的計算數值與觀測結果並不相符。

另一方面,除了把重力包括在內,廣義相對論對慣性和非慣性參考系一視同仁。這是因為狹義相對論的時空只能是平直的,而廣義相對論的時空則可以是彎曲的。換句話說,在狹義相對論裡我們只能用「直線」來畫座標系,而在廣義相對論裡用任何曲或直的線來畫都可以。

1907 年,愛因斯坦突然靈機一觸,想到了等效原理(equivalence principle)。試想像我們身處一艘太空船裡,太空船沒有窗戶。我們發現自己感覺就如日常一樣。那麼,我們能否分辨太空船究竟正停泊在地球上,還是以與地球的地心加速度大小一樣的加速度往上加速?愛因斯坦說,我們不可能分辨得到。另外一個假想實驗是我們身處一部電梯之中,然而我們感受不到任何重力。那麼我們又能否分辨電梯究竟正在往下跌,還是漂浮在太空之中?愛因斯坦說,我們同樣不可能分辨得到。等效原理指出,重力和加速度並不單止效應相同,兩者實際上是同樣的東西!

愛因斯坦回憶說,想到了等效原理的一刻,是他一生中最快樂的一刻。然而,他往後足足用了八年時間,才能由等效原理建構出正確的廣義相對論公式。在尋找正確方程的過程中,愛因斯坦發現他知道的數學工具並不足夠。廣義相對論處理的是彎曲的時空,需要用到所謂的非歐幾里得幾何學。愛因斯坦在蘇黎世聯邦理工學院的同學格羅斯曼正好是研究非歐幾何學的教授,因此愛因斯坦向他請教了很多數學上的問題。縱使格羅斯曼並沒有直接參與廣義相對論的研究,他對愛因斯坦的幫助是找到正確方程的關鍵。

廣義相對論處理的非歐幾何時空問題,需要使用張量、度規、協變導數的數學概念。張量可想像成具有多個方向的向量,雖然數學上這不完全正確;度規用來描述時空的幾何結構,定義了在非歐幾何上距離的計算規則;協變導數則是在非歐幾何上做微分的方法。我們不用深入探討每一項,也能知道要得心應手地使用這些工具,必須經過長時間的數學訓練。雖然愛因斯坦的數學不差,他始終不是專業的數學家。

1915 年暑假,愛因斯坦受數學家希爾伯特邀請到哥廷根科學院(Akademie der Wissenschaften zu Göttingen)講了六場講座。他們互相交流了意見,而希爾伯特也開始尋找正確的廣義相對論公式。希爾伯特的進展非常快,漸漸令愛因斯坦感受到很大壓力,他害怕希爾伯特會比自己先找到正確公式。愛因斯坦在同年 11 月於柏林普魯士科學院(Preußische Akademie der Wissenschaften)講了四場講座,並在最後一場發表了他發現的廣義相對論方程式:

G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu}

現在,我們稱之為愛因斯坦場方程式(Einstein field equations)。這是一組十式獨立的張量微分方程組(對,一條公式已包含了十條方程),方程組的解不單止能夠描述物體在重力影響下的運動,更能描述整個宇宙的演化。因為在廣義相對論裡,時空就是宇宙本身。

驗證廣義相對論

廣義相對論說,物體並非受引力吸引,而是沿著四維時空的曲率「下跌」。而扭曲時空的,就是質量。相對論大師惠勒曾用一句精闢的話總結愛因斯坦場方程式:

「時空告訴物質如何運動,物質告訴時空如何彎曲。」

以下這個比喻是標準的廣義相對論解釋:想像有張彈床,彈床上放了個保齡球,令彈床向下陷。一個乒乓球滾過保齡球旁邊,就向彈床下陷的方向跌落去了。看起來就好像是保齡球吸引乒乓球一樣。只要把這個比喻變成四維版本,或多或少就跟物理現實一樣。

質量扭曲時空亦會導致一個牛頓力學沒有的結論,可以用來檢驗廣義相對論是否正確。由於重力不是一種力而是時空曲率,那麼就連沒有質量的光也會「跌落」時空的凹陷裡。1919 年,天文學家愛丁頓遠征非洲觀察日全食,記錄天狗食日時太陽附近的星光。他對比其他時候所觀察到同一天區的星星,發現星星的位置有輕微偏差,數值恰好與廣義相對論的預言吻合。

星光偏折是愛因斯坦廣義相對論的首個驗證。現在,天文學家利用觀察超大質量黑洞或星系團造成的光線偏折去研究非常遙遠的星系。這個類似光學透鏡的效應,叫做重力透鏡(gravitational lensing)。除此之外,廣義相對論還預測了很多物理效應,都已被一一證實。例如水星近日點進動(mercury perihelion precession),其數值與使用廣義相對論計算一致;時空會被自轉的星球扭曲,叫做參考系拖拽(frame dragging),已被人造衛星驗證;重力場越強時間流逝速率越慢,叫做重力時間遲滯(gravitational time dilation),已被非常準確的原子鐘證實;2015 年正值愛因斯坦發表廣義相對論 100 週年,人類終於直接探測到廣義相對論的最後一個未驗證的預言——重力波(gravitational wave),這是極大質量在時空中產生的漣漪。

重力波以光速前進,就跟重力傳遞的速度一樣。太陽平均距離地球 1 億 5 千萬公里,即光太約要走 8 分 20 秒的路程。假如太陽此刻突然消失,地球仍然會繞著前太陽位置繞 8 分 20 秒左右,才會「感到」太陽的重力消失了。

愛因斯坦的錯誤

不過,愛因斯坦一開始並不相信重力波存在。他移居美國後寫了一篇論證重力波不存在的論文,投到美國一家期刊。當年,同儕審查(peer review)在美國科學界已經是常規,但在德國科學界卻不然。愛因斯坦因為不滿期刊未經他同意就將論文交給一位專家審閱,忿而徹回了該論文。後來,愛因斯坦發現他論文中用來證明重力波不存在的數學出了錯。現在看來,他徹回論文此舉令他得以發現這個錯誤。

另一個關於廣義相對論的愛因斯坦犯下的錯,就是耳熟能詳的宇宙膨脹。愛因斯坦發現,他親手推導出來的場方程式說,宇宙不是正在膨脹就是在收縮。這是因為重力的本質,時空扭曲只會令物體互相吸引,不會排斥。愛因斯坦認為宇宙必然是靜止的,因此就在方程式裡加入了一個常數項用來平衡吸引力。這個常數項就是上述愛因斯坦場方程中的 \Lambda g_{\mu\nu},其中 \Lambda 就是所謂的宇宙常數。1929 年,哈勃發現宇宙正在膨脹,愛因斯坦就徹回了宇宙常數。現在,天文學家發現宇宙非但正在膨脹,而且膨脹正在加速,愛因斯坦加入宇宙常數似乎是正確的。

廣義相對論的展望

今天,很多物理學家在找尋比廣義相對論更上一層樓的新時空理論。雖然廣義相對論的預言從未出錯,但我們知道,它至少不是關於宇宙的完整理論,因為廣義相對論與量子力學並不相容。理論物理學家們正埋首研究量子重力理論,而天文學家們也正不斷以新的觀測去測試廣義相對論。沒有人知道再過百年之後,廣義相對論會否仍是主宰時空的理論。但愛因斯坦與相對論,肯定佔有人類文明史冊之中極重要的一頁。

延伸閱讀:

我於立場新聞寫的《廣義相對論 100 周年》系列:
誰是愛因斯坦?
與光同行 — 愛因斯坦
愛因斯坦:廣義相對論

我以往關於愛因斯坦和相對論的文章:
拋開常識的學者:愛因斯坦 (Albert Einstein)
你也能懂相對論
光的祕密
照亮相對論的光 (上)
照亮相對論的光 (下)
超光速與時間倒流:叮噹可否不要老
重力波:愛因斯坦的最後預言 (上)
重力波:愛因斯坦的最後預言 (中)
重力波:愛因斯坦的最後預言 (下)
淺談 E=mc^2:愛因斯坦 137 歲誕辰
愛因斯坦教授 你是正確的
重力波:2016年邵逸夫天文學奬
光速:宇宙高速公路的速度限制
相對論、量子力學、黑洞和反物質

我於物理雙月刊寫的關於邁克生-莫雷實驗的文章:
1907年諾貝爾物理獎:阿爾伯特・邁克生