天才與悲劇:馬克斯・普朗克 (Max Planck)

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1878年的普朗克。
馬克斯・普朗克 (Max Karl Ernst Ludwig Planck, 1858 – 1947) 出身學者家族,他的曾祖父和祖父都是神學教授,父親則是法律教授。普朗克在德國北部城市基爾出生,於兄弟姊妹之中排行第六。

在他九歲的時候,普朗克舉家搬到南部城市慕尼黑居住。在慕尼黑的中學裡,他受到一位數學家老師 Hermann Müller 的教導,學習了很多關於力學、數學及天文學的知識。普朗克在 Müller 那裡第一次學到能量守恆定律,Müller 可說是他的物理學啟蒙老師。

普朗克在1874年進入慕尼黑大學(Ludwig-Maximilians-Universität München)攻讀物理。有趣的是,普朗克的物理學教授 Philipp von Jolly 曾勸他不要讀物理,因為「物理學的所有東西都已被發現了,剩下的工作只是填補漏洞」。更有趣的是普朗克的回答,他說自己「並不想發現新的東西,只想理解物理學的基礎,或者能夠加深對它們的理解」。

“Ich hege nicht den Wunsch, Neuland zu entdecken, sondern lediglich, die bereits bestehenden Fundamente der physikalischen Wissenschaft zu verstehen, vielleicht auch noch zu vertiefen.” – Max Planck

普朗克曾於1877年到柏林洪堡大學(Humboldt-Universität zu Berlin)學習一年,斯間曾跟隨物理學家亥姆霍茲(Hermann von Helmholtz)、基爾霍夫(Gustav Kirchhof)、數學家魏爾斯特拉斯(Karl Weierstraß)學習。他於1879年取得博士學位、1880年取得任教大學的資格,之後五年都在慕尼黑當沒有薪金的私人講師(Privatdozent)。1885年,普朗克終於受到基爾大學聘請,成為助理教授。1889年,普朗克在亥姆霍茲的幫助下,繼承基爾霍夫在柏林洪堡大學的職位,並在1892年成為正教授。根據邁特納(Lise Meitner)所說,普朗克教學從不出錯,是她聽過之中最好的。

“…using no notes, never making mistakes, never faltering; the best lecturer I ever heard.” – Lise Meitner

普朗克的物理學功力十分深厚,但原來他曾經想過以音樂家為職業。他學過唱歌,也懂得演奏鋼琴、管風琴和大提琴,亦會創作歌曲和歌劇。這一點與小提琴不離手的愛因斯坦很相似。普朗克在柏林居住的時候,很多著名的科學家如愛因斯坦、邁特納、哈因(Otto Hahn)等,都經常到普朗克家中作客,在討論科學之餘一起演奏音樂。

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那麼,究竟普朗克發現了什麼重要的物理學理論?在古典物理學概念裡,能量是連續的,可以被分成任意小的量。這聽起來相當自然而且合理,可是當物理學家計算出物體放出的輻射有多少時,就發現了一個大難題。根據古典熱力學,瑞利男爵(Lord Rayleigh)推導出一條公式去計算物體輻射的光譜。瑞利發現輻射強度與輻射的頻率的二次方成正比。換句話說,物件所釋放出來的輻射頻率越高,能量越大。因此,當我們計算所有波長的輻射總量時,我們就會得到無限大!這明顯違反實驗觀察吧……我們並沒有輻射出無限多的能量啊。

這個問題一直困擾著物理學家們。後來,威廉・維因(Wilhelm Wien)找到了一條公式,解決了高頻率輻射能量無限大的問題。維因的公式可以描述高頻率的情況,而瑞利的公式則描述低頻率的情況。可是我們又有另一個問題:兩條公式不能結合在一起!

普朗克從1894年開始研究這個問題。他在1900年發現,如果輻射的能量並非連續的,即有著一個最小的單位,那麼他就可以推導出一條完全符合實驗結果的公式,同時能夠結合維因和瑞利的方程。現在,我們稱這條終極公式為普朗克定律(Planck’s law)。符合普朗克定律的輻射光譜,又叫做黑體輻射(blackbody radiation)。

普朗克的單位能量概念,我們稱之為量子(quanta),而輻射的量子就即是光量子(photon)。他發現,光量子的能量與其頻率成正比,即

E = h \nu

其中 E 是能量、\nu 是頻率。這個結論完全違反傳統輻射理論中,輻射能量與輻射強度成正比。公式裡的比例常數 h 就是著名的普朗克常數(Planck constant),支配著宇宙間所有量子現象。普朗克提出的量子概念打開了現代物理學的一道大門,徹底改變了物理學的發展方向。

不過,普朗克本人也未能立即接受量子論。他說當時感到絕望,並已準備好放棄所有已知的物理學。

“I was ready to sacrifice any of my previous convictions about physics.” – Max Planck

普朗克對數學邏輯的信念最終令他接受量子論。後來,馬克斯・波恩(Max Born)這樣描述普朗克:「自然地,他[馬克斯・普朗克]是個保守派;他沒有革命思想,並徹底地懷疑所有推測。然而,他對基於事實的邏輯推論的強迫性信念,強到使他沒有在震撼物理學的革命性概念前畏縮。」

“He [Max Planck] was, by nature, a conservative mind; he had nothing of the revolutionary and was thoroughly skeptical about speculations. Yet his belief in the compelling force of logical reasoning from facts was so strong that he did not flinch from announcing the most revolutionary idea which ever has shaken physics.” – Max Born

1905年,愛因斯坦利用普朗克的光量子概念解釋了光電效應。普朗克和其他物理學家漸漸接受量子論的真實性,量子力學在20世紀初以極速發展。今天,我們從前沿物理到生物導航,都可以找到量子現象與普朗克常數的身影。2018年,國際計量委員會(International Committee for Weights and Measures)將在巴黎的會議中舉行投票,決定是否以普朗克常數重新定義質量的單位:公斤。普朗克於1900年提出的量子,在118年後仍然深深影響著人類的科學發展。

普朗克的名字在德國科學界幾乎無所不在。例如由普朗克建立的德國物理學會(Deutsche Physikalische Gesellschaft),自1929年起頒發普朗克獎章(Max Planck Medal)給𠎀出的理論物理學研究,第一屆就是頒給普朗克本人和愛因斯坦。德國最大的科研機構威廉皇家學會(Kaiser-Wilhelm-Gesellschaft,簡稱KWG)亦於1948年改名成馬克斯.普朗克學會(Max-Planck-Gesellschaft,簡稱MPG)。MPG其下共有83個以普朗克命名的科研機構,我亦有幸於其中的馬克斯.普朗克地外物理研究所(Max-Planck-Institut für extraterrestrische Physik)取得博士學位。

普朗克在科學上的成果豐碩,但他的一生其實充滿悲傷與不幸。1887年,普朗克與青梅竹馬馬莉(Marie)結婚,兩人生下四個孩子。可是在1909年,瑪莉卻因肺癆過世。兩年後,普朗克再與他的表妹瑪加(Marga)結婚,生下第五個孩子。1914年,第一次世界大戰爆發,普朗克的次子艾連(Erwin)被法軍監禁,長子卡爾(Karl)在凡爾登戰役戰死。之後,他的一對孖生女兒因難產死去,而艾連最後亦因在1944年暗殺希特拉失敗而被處死。我們根本無法想像普朗克承受的傷痛有多大。

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普朗克寫給希特拉的信。他懇求希特拉看在他已87歲,年事已高,放過他的兒子艾連。艾連在1945年1月23號被處決,普朗克痛不欲生,兩年後逝世。

“My Führer!

I am most deeply shaken by the message that my son Erwin has been sentenced to death by the People’s Court.

The acknowledgement for my achievements in service of our fatherland, which you, my Führer, have expressed towards me in repeated and most honouring way, makes me confident that you will lend your ear to an imploring 87-year old.

As the gratitude of the German people for my life’s work, which has become an everlasting intellectual wealth of Germany, I am pleading for my son’s life.

Max Planck”

第二次世界大戰期間,普朗克並沒有參與迫害猶太人的活動,他也曾幫助很多猶太科學家在1930年代繼續在德國保住工作。在普朗克的領導下,KWG曾在一段時間裡不受納綷政權的干預。縱使當時納粹政府禁止教授「猶太人的科學」,普朗克仍堅持繼續教授愛因斯坦的理論,因此他和其他不支持納綷的物理學家被攻擊為「白種猶太人」(weiße Juden)。納粹聲稱普朗克擁有1/16的猶太血統,普朗克否認了這個指控。

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普朗克與第一任妻子馬莉,和他們的四個子女。
普朗克在1926年從柏林洪堡大學退休,只保留各物理學會的職務。由於普朗克不肯與納粹政權合作,他們就阻撓普朗克在1937年KWG主席任期屆滿後連任,並控制了普魯士科學院(Prussian Academy),逼使普朗克辭職以示抗議。沒有職務在身的普朗克四處旅行講公開講座,又在1943年成功攀上阿爾卑斯山脈的一個三千米高的山峰。

1944年,普朗克於柏林的家被空襲摧毀,他的所有科學紀錄和書信全部化為灰燼。為逃避戰火,他與瑪加和兒子逃到哥廷根。最後,艾連的死令普朗克失去生存希望。量子物理之父普朗克於1947年10月4號與世長辭。

普朗克看著妻子與四個子女死亡,這種傷痛非常人能理解。如果我們繼續自相殘殺、破壞我們在宇宙中唯一的家園,我們如何有面目享受現代科技帶來的便利生活、又如何面對這些獻出一生去改變人類生活的科學先驅?

延伸閱讀:

拋開常識的學者:愛因斯坦 (Albert Einstein)》- 余海峯

原子能之母:邁特納 (Lise Meitner)》- 余海峯

人類將重新定義公斤 從此宇宙間牛扒質量都相同》- 余海峯(物理雙月刊)

1904年諾貝爾物理獎:約翰.斯特拉特》- 余海峯(物理雙月刊)

1911諾貝爾物理獎:威廉・維因》- 余海峯(物理雙月刊)

在宇宙的邊緣會看見什麼?

答案是我們什麼都不會看到。這非因沒有東西在宇宙外面,而是宇宙根本沒有邊緣。

讀者們可能聽說過:我們的宇宙是無邊無際的。不過這並非指我們的宇宙是無限大的。實際上,宇宙的大小是有限的,而且我們更可能知道,宇宙正在膨脹。這聽起來有點不可思議:一個正在膨脹的宇宙,怎會沒有邊界?

我們要稍微討論一下「維度」這個概念。維度就是我們常說的 2D、3D 的那個 D,即 dimension 的意思。一維可以用一條線表示、二維是一個平面、三維則是一個立體。好,問題來了:你能夠想像到四維的模樣嗎?我不是說「4D 電影」那種震動送風噴水啊⋯⋯咦,我說什麼?

好了,時間到。想到四維是什麼樣了嗎?想不到?沒錯,想像不到。為什麼呢?因為我們都是活在三維空間裡的生物。等等,我以前好像曾經寫過文章,說我們的宇宙是四維的⋯⋯?

對,我們的宇宙確實是四維的。不過並非四維空間,而是四維時空。時空的意思就是「時間 + 空間」。愛因思坦發現我們的宇宙是由三維空間加上一維時間構成的。牛頓認為時間與空間是獨立於宇宙而存在的。換句話說,在牛頓力學裡空間和時間就好像房間與掛在牆上的時鐘,房間裡放了一個宇宙;而愛因斯坦卻指出,空間和時間其實就是宇宙本身。我們的宇宙有了另一個名字:時空,而且它是四維的。

二維宇宙的膨脹。Image courtesy of Eugenio Bianchi, Carlo Rovelli, & Rocky Kolb.

說了這麼多,究竟跟宇宙沒有邊界有什麼關係啊?我們來想像一個氣球,氣球的表面積是有限的而無邊際的,就像我們的地球一樣。我們可能會以為球體表面是三維的,但其實它只是二維的。因為我們是生活在三維空間的生物,我們能用三維的視角看二維表面。現在,假設氣球正在膨脹,我們可以輕易地理解氣球表面如何在三維空間中越變越大。但如果有一些二維生物生活在這個二維表面上,他們也會發現他們的宇宙是沒有邊界的,但他們不能夠想像它是如何膨脹的。所以問他們在宇宙邊緣會看見什麼也是沒有意義的,因為氣球表面根本就沒有邊界。

同樣地,如果我們把這個二維氣球在三維空間中膨脹的比喻,套在我們的三維空間正在四維時空裡膨脹,就多少能夠明白我們的宇宙了。物理學家相信,如果我們在宇宙裡向一個方向走,最後有可能會從反方向回到起點,就好像在地球上一直向東走,最後會從西面回到起點一樣。

說不定,有些四維生物正在看著我們的宇宙,笑說我們是如何愚蠢呢。

生活數學:地鐵新優惠計劃真的比較優惠?

地鐵正考慮推出每程97折的新優惠計劃,以取代舊有的即日每第二程9折優惠計劃。我們可以計算一下,究竟新優惠計劃是否真的比較優惠?

首先,我們把每一程車資叫做 M,那麼第 n 程的車資就是 M_n。由於有優惠,實際上在第 n 程我們只需付 M_n \times d_n,其中 d_n 是第 n 程的折扣。

我們叫舊優惠計劃做 A,新優惠計劃做 B。那麼,我們就有

^Ad_n = 1n = 1,3,5...
^Ad_n = 0.9n = 2,4,6...

^Bd_n = 0.97n = 1,2,3...

如果我們一日內共搭 N 程,要付的總車資就是

\sum_{n=1}^{N}M_n d_n = M_1 \times d_1 + M_2 \times d_2 + M_3 \times d_3 + ... + M_N \times d_N

現在,我們希望新優惠比舊優惠便宜,因此我們就需要 A 的總車資比 B 的總車資貴:

\sum_{n=1}^{N}M_n~^Ad_n - \sum_{n=1}^{N}M_n~^Bd_n > 0

\sum_{n=1}^{N}M_n (^Ad_n-~^Bd_n) > 0

\sum_{n=1,3,5...}M_n (1-0.97) + \sum_{n=2,4,6...}M_n (0.9-0.97) > 0

0.03\sum_{n=1,3,5...}M_n - 0.07\sum_{n=2,4,6...}M_n > 0

0.03\sum_{n=1,3,5...}M_n > 0.07\sum_{n=2,4,6...}M_n

\frac{\sum_{n=1,3,5...}M_n}{\sum_{n=2,4,6...}M_n} > \frac{0.07}{0.03} \approx 2.333

所以,所有單數程的車資加起來必須是所有雙數程的車資加起來的 2.333 倍以上。換句話說,把較貴的旅程例如長途過海的安排在第一、三、五程,中間隔著短途較平的旅程,新計劃才真的會比舊計劃更優惠。

其實更簡單去想,如果每程車資一樣,新計劃折扣為95折才會與舊計劃總車資一樣。因此,除非平常每日只搭一程,或者第二程搭得特別平,新計劃根本沒有比較優惠,反而更貴。

好喇,計完,滿意啦?聽朝記得準時返工。

如果你願意一層一層一層的剝開科學

以前,我曾以為科學是用來證明什麼是對、什麼是錯的學問。

與此相反,科學的重要性在於所有科學理論都是可被證為錯的。這就是所謂的「可證偽性」。實驗儀器可以越來越精密,但我們永不能造出絕對準確的儀器;任何測量都必定有誤差。那麼,我們可能會問:如果科學理論只可能被證為錯,哪麼我們如何知道正確的科學事實?世界上的科學家豈非都在吹水?

科學理論的而且確不能被證實。但這並不等於說,我們不能知道一個理論有沒有錯。其實,正正因為科學可以被證為錯,我們就可以知道這個科學理論到底有沒有錯。

科學實驗的目的,其實是在找一個理論到底在什麼時候、怎樣的條件下才會與實驗結果不同。實驗測量都必定有誤差,隨科技進步,人類能夠製造出越來越細小誤差的儀器。一個理論如果在極其精確的實驗儀器測量下,仍然沒有超出其細小的誤差範圍,這個理論就是正確的。

每個理論都可以被未來更精確的實驗測量所推翻,就好像牛頓定律被愛因斯坦的相對論取代了一樣。然而,我們知道相對論效應非常微小,這就是為什麼汽車、飛機,甚至火箭升空,都不需要用到相對論,因為其誤差比牛頓的公式與相對論的公式之間的差距更大,用簡單的牛頓定律就足夠了。

回到主題上,究竟科學是什麼?想像一個洋蔥。這個洋蔥就是某個科學理論。我們把理論預測和實驗結果對比,修改理論中與實驗結果不相符的地方、保留相符的細節,好像把洋蔥的一層皮剝開。

隨著科技進步,我們造出越來越精密的實驗儀器,用來做越來越精細的對比。這個循環不斷重覆,這就好比一層一層一層的剝開這個洋蔥。我們永不知道下一次被剝開的是哪個部分,但我們可以說,真相就藏在剩下的某個部分之中。

不是去證明什麼是正確的,而是去找出什麼不是正確的。這就是科學。

如果你願意一層一層一層的剝開科學
你不會鼻酸  也不會流淚
你會看到大自然最深處的秘密

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