Pi 是永恆 (二)

上回我說亞視永恆。但我錯了,亞視已執粒。不過圓周率 \pi 卻是真的永恆,不會錯。

今次我們來看看,在公元前兩百多年,阿基米德 (Archimedes) 是如何計算 \pi。阿基米德用的方法叫做窮盡法 (method of exhaustion),但我喜歡叫它做三文治方法。以下就讓我們試試把 \pi 像夾三文治般夾出來。

首先,想像有一個半徑為 R 的圓形,在圖的內外各畫一個緊貼著的正方形。由下圖中可以看出,外面較大的正方形邊長為 2R、裡面較小的正方形對角線就是圓形的直徑,長為 2R

Screen Shot 2016-05-16 at 20.28.09
畫得樣衰,sor9ly sosad。注意 B = R 只有正方形 (n = 4) 才成立。

我們想要知道圓周,那就可以計算 \pi = C/(2R) = (圓周/直徑) 了。由上圖可知圓周 C 比內正方形週界 p 長、比外正方形週界 P 短。因此

p \le C \le P

那麼,pP 分別有多長?在《畢氏定理 X 圓 X 三角學》文中我們學會了用三角函數去表示三角形邊長之比。看上圖可知 b = R\sin\thetaB = R\tan\theta。在我們上圖中正方形的例子中正方形有 n = 4 條邊,因此 p = 2n \times bP = 2n \times B\theta = 360/(2n) = 360/8 = 45 度。所以我們就有

2nb \le C \le 2nB

2nR\sin[360/(2n)] \le C \le 2nR\tan[360/(2n)]

n\sin(180/n) \le C/(2R) \le n\tan(180/n)

所以,當我們使用 n = 4 的正方形去夾圓形時,就可以知道 \pi = C/(2R) 介乎 4\sin(45) \approx 2.8284\tan(45) = 4 之間。似乎使用正方形去夾並不足夠。我們可以增加邊的數量 n 去逼近 \pi,如下圖:

Screen Shot 2016-05-16 at 17.26.25

想像當 n 越來越大,外內圖形就會越來越像一個圓形。當 n 趨向無限大時,我們就有

\lim_{n\to\infty} n\sin(180/n) \le C/(2R) \le \lim_{n\to\infty} n\tan(180/n)

我們嘗試計算 \lim_{n\to\infty} n\sin(180/n)\lim_{n\to\infty} n\tan(180/n)。把兩式各乘以 (180/180),就有

\lim_{n\to\infty} n\sin(180/n) = \lim_{n\to\infty} 180 \times \sin(180/n)/(180/n)

以及

\lim_{n\to\infty} n\tan(180/n) = \lim_{n\to\infty} 180 \times \tan(180/n)/(180/n)

我們可以把 180/n 叫做 x,所以 n 趨向無限大就即是 x 趨向 0。如果各位有學過極限,就必定學過 \lim_{x\to 0} \tan(x)/x = 1 和 \lim_{x\to 0} \sin(x)/x = 1,這是考試必考之題 (嗱,我貼緊題喇)。於是我們就有答案

180 \le C/(2R) \le 180

即是

\pi = C/(2R) = 180 度,

用角度 (degree) 與孤度 (radian) 的定義,即是 C/(2R) = \pi rad。阿基米德當年用了兩個正 96 邊形去夾,得出 \pi 介乎 3.1408 與 3.1428 之間。今天我們可以輕易地用電腦去算,如下圖般我用兩個正 1024 邊形去夾,得出 \pi 介乎 3.14159 與 3.14160 之間。

Screen Shot 2016-05-16 at 17.15.29
電腦計算出用正多邊形的三文治方法夾出來的圓周率。紅點是下限、藍點上限、紫色直線是圓周率的真正數值。

這就是如何用窮盡法去找出圓周率 \pi。下次再介紹多些 \pi 的趣事。

\pi是永恆。

封面圖片:

羅馬軍隊攻入敘古拉城之時,阿基米德正在地上思考數學。

延伸閱讀:

古希臘的科學 (五) 撐起地球的支點》- 余海峯

Pi 是永恆 (一)》- 余海峯

三角 X 斜率 X 微積分》- 余海峯

畢氏定理 X 圓 X 三角學》- 余海峯

加菲證明畢氏定理》- 余海峯

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2 thoughts on “Pi 是永恆 (二)

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