淺談 E=mc^2:愛因斯坦 137 歲誕辰

每年的 3 月 14 號是 Pi Day 圓周率日,因為 Pi = 3.141529……。

今天同時也是愛因斯坦 137 歲生日。去年 3 月 14 號,我寫了《拋開常識的學者.愛因斯坦》一文去紀念這位物理學家的 136 歲誕辰。文中我介紹了愛因斯坦的前半生平。關於他的成名之作相對論,我後來也在其他文章了作了簡單介紹,包括《你也能懂相對論》淺談狹義相對論的基本數學和《照亮相對論的光(上)、(下)》介紹了相對論與電磁學的關係。

很多讀者都跟我說,希望我寫一篇關於愛因斯坦最著名的方程式 E = mc^2 的文章。在今天愛因斯坦 137 歲誕辰,我們就來看看愛因斯坦在 1905 當年是如何推導出這家傳戶曉的質能轉換公式吧!

任何一本現代物理學或相對論教科書,無論是本科或研究生程度,都必定會講解 E = mc^2 的推導過程,涉及四維向量和微積分的數學技巧。不過,原來愛因斯坦當年的推導並沒有使用這些數學工具,而是用更直接的物理去得出 E = mc^2 這結論。

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我家靜止不動的兩隻喵星人。

想像有一隻喵星人。愛因斯坦本來並非說喵星人,而是一個廣義的物理系統,只不過我選擇喵星人做這個物理系統。這隻喵星人會發光(我們今天不討論生物學)。喵星人在靜止不動的時候(牠們很擅長),就有

總能量 = 喵星人能量 E_0

然後想像喵星人發光。由於光是能量,所以我們就會有

總能量 = 喵星人發光後的能量 E_1 + 光的能量。

假設喵星人放出的光總能量為 L。現在隨意選擇一個方向叫做 x,如果我們與喵星人相對靜止,就會觀察到一半的光能量 \frac{1}{2}L 沿著 +x 方向擴散開去、另外一半的光能量 \frac{1}{2}L 沿著 -x 方向擴散開去。因此就有

總能量 = 喵星人發光後的能量 E_1 + \frac{1}{2}L + \frac{1}{2}L

現在,假設我們觀察喵星人發光的時候並非靜止不動,而是沿著與 x 軸的一個夾角 \theta 方向以均速 v 跑。跟據狹義相對論,我們也可以說自己是靜止的,是喵星人在沿著與 -x 軸的一個夾角 \theta 方向以均速 -v 跑。所以我們就有

總能量 = 喵星人能量 H_0

注意 H_0 不等於 E_0,因為喵星人的運動狀態不同。然後,我們亦見到喵星人發光。我們知道一道波動在不同的波源運動狀態下,其頻率會有所改變,例如我們會聽到救護車的警報聲由高頻變成低頻,這現象叫做都普勒效應 (Doppler effect)。光也是波動的一種(電磁波動),因此也會有都普勒效應。不過由於光以光速行進,聲波的都普勒公式並不適用,我們需要使用相對論都普勒公式:

頻率比 = 能量比 = \frac{1+v/c \cos\theta}{\sqrt{1-v^2/c^2}}

所以

總能量 = 喵星人發光後的能量 H_1 +\frac{1}{2}L \times \frac{1+v/c \cos\theta}{\sqrt{1-v^2/c^2}} + \frac{1}{2}L \times \frac{1-v/c \cos\theta}{\sqrt{1-v^2/c^2}}

於由能量守恆,喵星人發光前後的總能量必須相等,簡化後就有

E_0 = E_1 + L

H_0 = H_1 + \frac{L}{\sqrt{1-v^2/c^2}}

現在我們來想一想,究竟這兩條公式代表什麼?首先我們會發現 \theta 不見了。這是合理的,因為 \theta 方向是可以隨意選擇的,任一 \theta 都不應該影響最後的物理結論。然後我們能夠看出 H_0 - E_0 = K_0 是喵星人發光前的能量於兩個運動狀態下觀測的差別、 H_1 - E_1 = K_1 是喵星人發光後的能量於兩個運動狀態下觀測的差別。因於喵星人從來沒有做過除發光外的事,這兩個能量差別 K_0K_1 必定是喵星人在兩個運動狀態下被觀測到的動能。

把上述兩式相減,我們就得到

K_0 - K_1 = \frac{L}{\sqrt{1-v^2/c^2}} - L

把上式右邊做泰勒展開 (Taylor expansion),忽略所有 4 次方或更高冪項,就得到近似值

K_0 - K_1 = \frac{1}{2}\frac{L}{c^2}v^2

這代表什麼呢?如果 K_0K_1 來自動能,其差也必來自動能。相信大家都知道動能的公式是 \frac{1}{2}mv^2(相對論的動能公式作泰勒展開並忽略所有 4 次方或更高冪項後也是 \frac{1}{2}mv^2),因此

\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}\frac{L}{c^2}v^2

化簡後得到

m = \frac{L}{c^2}

即是發光的能量來自喵星人的質量。除了發光外,考慮任何能量為 E  的物理過程,上述推導過程都完全一樣。因此

E = mc^2

愛因斯坦,祝你生日快樂。喵。

延伸閱讀:

拋開常識的學者.愛因斯坦》 – 余海峯

你也能懂相對論》 – 余海峯

照亮相對論的光(上)》 – 余海峯

照亮相對論的光(下)》 – 余海峯

封面圖片:http://www.hetemeel.com/einsteinform.php

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宇宙

0 秒,這是開始。一切奇妙事件的開端。大爆炸。到處充斥著極多的能量。時空自此開始。

0.0000000000000000000000000000000000000000001 秒,即 10-43 秒,重力從弱核力、電磁力、強核力分離開來,形成太初重力波。

0.000000000000000000000000000000001 秒,宇宙暴脹結束,弱電力與強核力分離。在暴脹的這 10-32 秒之內,宇宙的體積至少大了 1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 倍,即 1078 倍。

0.000001 秒,質子形成。

3 分鐘,太初核熔合結束。

38 萬年,由於溫度隨著時間下降,電子與原子核形成原子。沒有自由電子散射光線的宇宙因此變得透明。此時看見的宇宙,就是宇宙背景微波輻射。

5 億 6 百萬年,氫、氦及少量其他元素被萬有引力聚集在一起,形成一個個氣體團。氣體不斷向中央墜落,因此越接近中央地方的密度及溫度就越高。最後,在宇宙某處的某個氣體團的中央溫度達到氫核熔合成氦核的臨界溫度,第一顆恆星誕生。之後,宇宙各處相繼點燃了這種燭光,星星開始照亮宇宙。星系亦續漸開始形成。

92 億年,在今天人類稱為銀河系的其中一條漩臂之上的其中一個氣體團開始了它的熱核熔合反應。這顆恆星有一個名字,叫做太陽。這個平凡恆星的誕生同時創造了眾多行星。其中八顆避過了互相撞擊毀滅的命運,各以不同的軌道穩定地環繞太陽公轉。人類居住的太陽系就此誕生。

100 億年,太陽系第三號行星地球上出現了最早期形式的生命。以後,生命就在這個星球上繁衍不斷、生生不息。

137 億年,地球上有一些叫做人類的動物,回想當時的情境,使用電腦模擬宇宙誕生的歷史。

封面圖片:Hubble eXtreme Deep Field/NASA

科幻高手

我最愛的電影是與她一起看的《Contact》。

《Contact》是卡爾.薩根 (Carl Sagan) 寫的科幻小說。小說在 1985 年出版,於1997年被拍成電影,由 Judie Foster 主演,可惜趕不及在卡爾.薩根離世前上映。CCTVB 明珠台重播過無數次,成為我最欣賞的電影之一。

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《超時空接觸》電影海報。

《Contact》的香港中文譯名《超時空接觸》譯得不錯,符合物理亦符合劇情,不知是有心或無意。卡爾.薩根作為天文學家與科學普及工作者,出自其手筆的這部小說能夠成為科幻小說的經典及模範,實不足為奇。

科幻與吹水其實只有一線之差。一個好的科幻作家並不需要把幻想世界裡的每個現象寫得與現實世界的物理定律一樣,否則就不是科「幻」了。科幻作品之中高手與低手的分別,以我看來就在於內容的一致性。好的科幻故事裡,作者不會打破自己定下的法則。他會按照早先定下的科幻世界定律去描述故事,不會為了故事的發展而不斷創造新的東西。反之,低手往往為了故事流暢或可觀性不斷描寫新的東西。

高手重視科幻劇情的一致性,這是源於對讀者的尊重,也是對自己作品的尊重。他們知道「科」幻包含著科學精神。可對低手來說,一致性是無必要的,因為他們沉迷於科「幻」,只要迎合大眾對於刺激劇情的追求就夠了。他們喜歡沉迷在幻覺世界裡。

作為讀者,我認為科幻作品的一致性比劇情刺激與否來得更重要。《超時空接觸》出自科學家之手,而科學家對一致性的追求和執著、對科學精神的堅持,很多時候卻被一般人看成固執。高手尊重「科」也喜愛「幻」,因為對未知事物的好奇心就是科學精神的源頭,是科學研究的推動力。就如登上月球一樣,很多昨日的科幻,都變成了今天的科技。

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《Contact》原著第一版封面。

更重要的是,《超時空接觸》內容描寫的大部分都不在「科」亦不在「幻」,而在人心。假若人類有一天真的發現了外星文明送來地球的訊息,地球的文化、政治、宗教等領域會如何變化?我們會如何理解這發現的意義?這會對我們的文明帶來甚麼衝擊?對於首次與外星文明接觸,人類應該如何、又會如何應對?

我建議大家可先觀看電影,然後再看原著。這個次序,會令你驚嘆這部作品程度之高,也了解電影如何無法取代文字。我深信,在擠迫的地鐵車廂看書,既可省去不少漫無目的地掃芒而浪費的手機電力,也能為這個文化沙漠種植幾棵小樹苗吧。

=== 本文原刊於星匯點 2012 年 6 月號會員通訊 ===

延伸閱讀:

科研解碼:宇宙文明的歷史與未來》 – 余海峯

從外星生命淺談天文》 – 余海峯

科學家巡禮:我們都是星塵.卡爾.薩根 (Carl Sagan)》 – 余海峯