三角 X 斜率 X 微積分

上回介紹了三角學的基本函數 sine 和 cosine 與圓形的關係。在下回介紹圓周率 \pi 之前,有一項非常重要的結果必須首先介紹。

對於一條任意畫的線,只要它是可以一筆過不斷開地畫出來和沒有尖角的 (嚴謹的數學概念叫連續的和可微分的),那麼我們就可以定義一個叫做斜率的東西:

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換句話說,斜率就是描述該線段相對於橫軸的斜度而已,即是講一道斜坡相對於平地有多斜。從上式定義之中,可見斜率以小數或分數來表示的。日常生活中,通常我們都習慣用角度表示斜率,不過這對我們的討論沒有影響。

數學中一個非常重要的技巧就是微積分 (calculus)。微積分是牛頓 (Isaac Newton) 萊布尼茲 (Gottfried Leibniz) 在同一時期分別獨自發現的。現在我們用的微積分符號是萊布尼茲的版本。如果沒有微積分,今天我們日常生活中各式各樣便利的現代發明都不可能存在。微積分可說是人類史上最重要的數學發現。

故名思義,微積分就是微分和積分的運算。在我們的討論裡不會用到微積分的運算,大家只需要記住:微分就是計算無限短的線段的斜率的方法。至於積分我們會在以後再講。

上回圖中,我們知道了 sine 和 cosine 函數的圖形。現在我們問,它們的斜率是多少?換句話說,我們問:

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有學習過微分運算的讀者,必定能夠立即說出答案:

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上式中我們使用了 \textrm{d} 代替 \Delta,以表示無限小的改變。這只是數學慣用符號而已,只要我們記得現在所做的一切都是在趨向無限短的線段上做的,那麼兩個符號在概念上就是一樣的。

Screen Shot 2015-12-15 at 18.10.12

現在,讓我們來試試不使用微分運算去找出 sine 和 cosine 的斜率吧!首先考慮上圖。圖中有一半徑為 R 的圓形,圓心為 O 點。把 R 從水平逆時針畫出一角度 \theta,連起 O 點和 A 點。再繼續逆時針畫出一細小角度 \Delta\theta,連起 O 點和 B 點。所以 A 和 B 都在圓周之上。現在同時由 A 點垂直向上及由 B 點水平向右畫,相交於 C 點。因此角 ACB 就是一個直角。下圖是 A、B、C 點附近的放大。

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根據 cosine 的定義 (見上回討論),我們可以直接看出直線 BC 的長度就是

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\Delta\theta 趨向無限小的時候,三角形 ABC 的邊 AB 就會趨向圓形的弧 AB。因為圓弧長度等於 R\Delta\theta,我們就有

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現在需要一點平面幾何想像力。由於 \Delta\theta 趨向無限小,角 OAB 就趨向直角。所以我們可以看出角 BAC 等於 \theta。考慮三角形 ABC,我們就有

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最後把 (1) 和 (2) 式相等,就有

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上式左邊的就是 cosine 斜率的定義。因此,我們就證明了 \frac{\textrm{d}\cos x}{\textrm{d}x}=-\sin x。證明  \frac{\textrm{d}\sin x}{\textrm{d}x}=\cos x 的方法亦一樣,只需要重複上述步驟找出 AC 的長度就可以了,有興趣的讀者可以自行證明。

下回,就讓我們來證明圓周率 \pi 是永恆不變的常數吧!

延伸閱讀:

畢氏定理 X 圓 X 三角學》- 余海峯

加菲證明畢氏定理》- 余海峯

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3 thoughts on “三角 X 斜率 X 微積分

  1. […] 首先第一個證明,涉及微積分的概念。注意在此證明之中我並不會用到實際微積分的運算技巧;使用微積分的符號只為證明的完整和方便而已。未學過微積分的讀者不用太過在意,只需要知道記住「積分」只是計算無限短的長度的加法,而「微分」可想成是積分的反向操作而已。 (也可參考上回,微分是計算無限短線段的斜率的方法) […]

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