冬至

有云:「冬大過年。」這裡的冬指冬至。在古中國曆法之中,古人將太陽一年在天空中的軌道分成 24 份,所以就有黃道 24 節氣。冬至是一年之中第 22 個節氣。

冬至在世界各地差不多所有文明裡都有非常重要的意義。冬至前的夜晚,每一晚的時間都比前一晚長;冬至後的夜晚,每一晚的時間都比前一晚短。所以冬至是冬天正中間的一天。現代天文學叫冬至做 Winter solstice,冬天 (Winter) 至日 (solstice) 的意思。所以「至」並非「來臨」而是「極限」的意思。

為什麼呢?這與地球的自轉軸與公轉平面的夾角有關。如果這個角度等於 90 度,即如果地球自轉軸與公轉軸的夾角等於 0 度 (方向一致),那麼地球上就不會有季節存在。

事實上,地球自轉軸與公轉軸的夾角約為 23.4 度,我們叫這個角度做轉軸傾角 (axial tilt)。因為地球的自轉軸指向的方向在一年這麼短的時間中幾乎不變 (地球自轉軸的歲差現象我們在以後再討論),所以在北半球冬至前後幾天,若從太空之中看,就如下圖所示:

Screen Shot 2015-12-23 at 15.25.22

若在地球上看 (即千百年以來人類所看到的),就如下圖所示:

Screen Shot 2015-12-23 at 15.25.06

可見冬至這一天,在北半球看到的太陽軌跡是全年最靠近南方的,所以太陽在天空中的軌跡就最短。換句話說,這一天夜晚的時間就最長了。

由於地球環繞太陽公轉的軌道並非正圓形 (雖然非常接近正圓形),在地球上看到太陽在一年中之每天同一時刻劃過天空的軌跡並非均速,因此 24 個節氣之間相差的日數並不相等。冬至一般都在每年的 12 月 21 或 22 號。

可能由於這一天象徵著一個循環的終結、新的循環的開始,這一天大家都習慣回家一起吃晚飯,有團聚之意,所以有冬大過年之說。

太多事 太多愛 原是凍 怎保暖 驟冷那一天思緒剪接著撩亂
結果來我要怎算 如地球是要公轉的始終在轉

話我知 怎麼今天的冬至竟這樣凍
話我知 消失的手心溫暖可會流動

冬至快樂。

延伸閱讀:

香港大學物理系與香港太空館製作的自學天文課程《宇宙的本質》

自認優越嘅上一代 德國篇

近年主打寫科學普及,已經甚少寫時事。有啲上一代鍾意以科技盲為榮,成日批判年輕一代、批評新科技。但唔好以為只係得香港先有呢種自認優越嘅上一代。

我住慕尼黑,通常日頭做完研究夜晚就出去做運動。尋晚攀完石十一點幾,坐地鐵返屋企,順手拎部電話 po 攀石相上 Instagram 同 Facebook 呃吓 like ,是常識吧。突然坐我對面個德國人伸個頭埋嚟睇我部電話個螢幕。

咁我梗係睥住佢啦,大佬你識唔識規矩?知唔知咩叫私隱?何況我識你老鼠呀?

之後佢開始用德文同我講嘢。雖然我有學過德文,但大佬攀完石已經攰㗎啦,仲要我腦部運作做翻譯?咪搞,即刻講句 “Entschuldigen, ich kann nur ein bisschen Deutsch sprechen.” 即係「Sor9ry,我只識講少少德文。」咁解。希望佢知難而退咪 L 阻住我呃 like。(好多德國人英文都差過香港人好多)

點知條友唔放棄,用英文講 “Sorry, but I see you are always looking at your phone. I know it is interesting but I think you should not look at it every moment.” 我真係火都嚟,我坐地鐵上網呃 like 你識條鐵咩。

我就話:”It’s like people looking at newspapers 50 years ago.”

諗住佢會 feel 到我唔 gur,自動收皮啦。點知佢繼續講:”But it is a different thing 50 years ago with newspapers you realize the world around you. With this thing you don’t.”

真係火都嚟。係要逼我發火。我上調聲浪問佢:”How do you know I don’t realize the world around me?”

佢呆咗。睇怕佢冇諗過會有人反問佢,叫佢 justify 佢個斷言。我再講:”Maybe in 50 years they will say the phone is a different thing.”

佢死雞撐飯蓋:”In 50 years people won’t talk anymore.”

我:”Yes they will talk telepathically.”

科幻作家亞瑟.克拉克 (Arthur C. Clarke,《2001太空漫遊》作者) 同天文學家卡爾.薩根 (Carl Sagan,《超時空接觸》作者) 都講過類似說話:「任何足夠先進的文明都與魔術無法分辨。」

人類科學發展係以指數上升,呢種人跟唔上科技進步,就用「你唔同人溝通」呢種斷言去攻擊用新科技嘅新一代。面對呢種人,最好方法就係叫佢 justify 佢個斷言,就可以輕鬆 KO。因為佢 justify 唔到。

其實唔明白新科技、唔使用新科技係完全冇問題,個人選擇。只不過唔好因為接受唔到科技發展速度之快,就將新科技視為壞事、標籤其他人。

好彩之後佢要落車,唔係我真係要同佢玩落去,浪費時間。我頭也不回,有禮拜咁拋低一句 “Servus.” (拜仁人用嘅問候語),然後回復我廢青網民現實失敗者嘅身分,上網打呢篇文做網絡判官。完!

原子能之母:邁特納 (Lise Meitner)

莉澤.邁特納 (Lise Meitner, 1878 – 1968) 是奧地利和瑞典藉的原子物理學家。她被稱為原子能之母,因為她是首個解釋核分裂現象的人。20 世紀前半,物理學界剛剛發現核輻射現象 (radioactivity),因此促進了物理學家與化學家的交流和合作。

奧圖.漢 (Otto Hahn) 是一個化學家,邁特納與他一起進行了長達差不多 30 年的核輻射研究。最後,奧圖.漢因為提出原子核分裂而得到了 1944 年諾貝爾化學獎。可是,解釋他的觀測數據的邁特納卻沒有得獎。

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[圖片:1906 年在維也納的邁特納,當時她仍未取得博士學位。取自維基百科。]

由於邁特納是女人,她的學術生涯受過很多歧視。當時的德國大學不准許女性擔任教授,所以奧圖.漢與馬克斯.普朗克 (Max Planck) 要特別為她安排,當奧圖.漢的「研究助手」。事實上,邁特納已在 1906 年於維也納大學 (Universtät Wein) 得到了維也納歷史上第二個女性博士學位 (愛因斯坦亦在同年得到博士學位),早已超越「研究助手」一職。她的指導老師之中有著名的統計力學之父波爾茲曼 (Ludwig Boltzmann)

由於性別歧視,她只能從後門進入實驗室。更不可理喻的是,她由 1907 年直到 1912 年,都是沒有薪金的。在第一次大戰之中,她加入了奧地利的戰地醫院,當 X 射線部門的護士。

莉澤.邁特納:「自由的科學有如自由的呼吸一樣重要。」

“Freie Wissenschaft ist ebenso selbstverständlich wie freies Atmen.” – Lise Meitner

2015-12-18 18.26.00

[德國加興研究中心 (Garching-Forschungszentrum) 地鐵站內的邁特納介紹牌,寫有她的上述引言。拍攝:余海峯]

邁特納的猶太身分亦使她在二戰時受迫害,生命受到納粹的威脅。1938 年,她幾經辛苦,危險地逃後瑞典。她與奧圖.漢仍然保持書信形式的合作,使她能夠得知第一手的研究數據。1939 年,她與同為物理學家的侄子奧圖.弗里施 (Otto Frisch) 在滑雪旅程之中得到靈感,使用 E = mc2 解釋了奧圖.漢提供給她的數據。現代原子能發電的核裂變現象 (nuclear fission),就是她命名的。

邁特納與愛因斯坦、居禮夫人等偉大的科學家都是朋友。有說當波耳知道她解釋了核分裂現象的時候,就說:「噢,我們真蠢啊。」是物理大師波耳對她的貢獻的極高讚賞。可惜,因為性別歧視,只有奧圖.漢得到了 1944 年的諾貝爾化學獎。她三次被提名,但都沒有得獎。

[邁特納介紹紀錄片]

邁特納一生未婚,死前移居英國劍橋與侄子同住。她主張和平使用原子能,亦活躍於婦女平權運動。她曾說:

「我愛物理,我很難想像我的生活中沒有物理會怎樣。這是一種非常親密的愛,就好像愛一個對我幫助很多的人一樣。我自己往往自責,但作為一個物理學家,我沒有愧對良心的地方。」

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[邁特納的銅像。取自維基百科。]

2014 年,柏林洪堡大學 (Humboldt-Universität zu Berlin) 為邁特納豎立了銅像,紀念她對世界的貢獻。

可惜的是,我們在現代仍然看到很多作出歧視行為的人,性別、種族、性取向等等。我很好奇,他們有否一點點感到愧對邁特納、圖靈等,為科學、文明付出一生的科學家?

今天,邁特納在柏林洪堡大學的銅像與普朗克的銅像並列,永垂青史。

封面圖片:左、邁特納在實驗室。右、奧地利發行的邁特納紀念郵票。來源不明。

Pi 是永恆 (一)

亞視永恆。但有些東西可以比亞視更永恆。

我們都學過圓周率,而且我們都知道圓周率的名字叫做 \pi。在學校裡,我們必定學過一條公式,就是如何用一個圓形的半徑去計算它的周長,即是圓周:

C=2\pi R

上式告訴我們「圓周 C 除以兩倍半徑 (即直徑) 2R 等於 \pi」,大概就是我們對 \pi 的第一個印象吧!我們在學校也學過,上式中的 \pi 是一個常數。換句話說,無論一個圓形有多大,它的圓周 C 和直徑 2R 之間的比例都是不變的。

有史記載第一個證明 \pi 是常數的人,有說是阿基米德。他使用極限 (limit) 的數學概念,以逼近法把 \pi 好像夾三文治一樣夾出來!從而證明它是一個常數,計算出 \pi 在 3.1408 和 3.1429 之間,準確至兩個小數位。事實上,\pi 是無窮無盡的,即是它擁有無限個小數位,怎樣計也永遠計不完。現代的超級電腦,可以把 \pi 計算至萬億個小數位。可是,萬億個小數位距離無限,仍然是無限遠。

我們知道這些都是事實。可是,我們又有沒有想過,為。什。麼?

在這一連幾篇文章中,我會用兩個不同的方法去證明 \pi 是一個常數,即是證明所有圓形的圓周率都是一樣的。換句話說,我們會證明所有圓形的圓周與直徑的比例都是一樣的。然後我會介紹其他與圓形和 \pi 有關的問題和故事。好了,我們開始吧!

首先第一個證明,涉及微積分的概念。注意在此證明之中我並不會用到實際微積分的運算技巧;使用微積分的符號只為證明的完整和方便而已。未學過微積分的讀者不用太過在意,只需要知道記住「積分」只是計算無限短的長度的加法,而「微分」可想成是積分的反向操作而已。 (也可參考上回,微分是計算無限短線段的斜率的方法)

首先,我們有一個半徑為 R 的圓,圓心 O 點放在 (x, y) = (0, 0)。現在於圓形上任意選擇一段長度為 \Delta s 的段落。\Delta s 兩端對應的座標叫做 (x_1, y_1)(x_2, y_2)。如下圖:

Screen Shot 2015-12-16 at 15.11.11

我們問,\Delta s 有多長?假設我們選擇的 \Delta s 非常非常短。當趨向於無限短,那麼 \Delta s 就差不多是一條直線。根據上圖,使用我們討論過的畢氏定理,我們就有 \Delta s= \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}。明顯地,如果把很多段 \Delta s 圍繞圓心加起來,就會等於圓周的長度。把很多段無限短的長度加起來的方法,就叫做積分,符號上是這樣寫的:

S=\int \textrm{d}s=\int\sqrt{\textrm{d}x^2+\textrm{d}y^2}

把 \Delta 寫成 \textrm{d} 是為了表示無限短的意思,只是微積分的慣用符號而已。上式可寫成

S=\int\textrm{d}s=\int\sqrt{1+\left(\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)^2}\textrm{d}x

這公式告訴我們如何計算任意一段線段的長度。這公式不單止適用於圓形,也適用於所有能夠定義斜率 \frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x} (即是高度除長度) 的線段。所以現在我們只需要知道圓形的 \frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x} 就可以計算圓周長度了。懂得微積分運算的讀者可以自行快速計算,但我說過此文中我會不用微積分運算。那麼要如何做呢?原來非常簡單,只需要知道初等幾何學裡的一個定理:兩條互相垂直的直線的斜率相乘等於 -1

Screen Shot 2015-12-16 at 15.17.40

見上圖,沿半徑方向的斜率明顯等於 \frac{y}{x} (其實就是斜率的定義而已),而我們希望找到的沿圓周方向的直線 (即是圓周上的切線) 與半徑互相垂直,所以

\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\times\frac{y}{x}=-1

因此圓周的斜率就是

\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=-\frac{x}{y}

把上式放回積分裡,就有

S=\int\sqrt{1+\left(\frac{-x}{y}\right)^2}\textrm{d}x

把開方裡面通分母再化簡,就得到

S=\int\frac{R}{y}\textrm{d}x

在《畢氏定理 X 圓 X 三角學》裡,我們已經知道 y = R\sin\theta。所以

S=\int 1 / \sin\theta\textrm{d}x

現在我們有一個問題,就是要把很多段 1 / \sin\theta 加起來,但是其長度卻用 \textrm{d}x 去表達。就正如計算面積時,我們不可以用米做高度、厘米做長度,單位必須一致。怎麼辦呢?不用擔心,只需要知道每個 \textrm{d}x 等於多少個 \textrm{d}\theta 就可以了!就如只需要知道一米有多少厘米一樣。

在《畢氏定理 X 圓 X 三角學》裡,我們也知道 x = R\cos\theta。所以我們要知道的就是:當 \theta 改變少許的時候 x 改變多少?心水清的讀者已經知道,這正正就是上回講到的斜率了,只不過由計算 \frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x} 變成計算 \frac{\textrm{d}x}{\textrm{d}\theta},概念一樣。而且從上回的討論中我們已經知道 cosine 的斜率就是負 sine,因此

\textrm{d} x = - R \sin\theta \textrm{d}\theta

原來每個 \textrm{d}x 等於 - R \sin\theta 個 \textrm{d}\theta。所以我們就知道

S=\int -R\textrm{d}\theta

不論 \int -\textrm{d}\theta 等於多少,也與 R 無關。因此圓周上任意長度 S 與直徑的比例就是

S/2R=\int -1/2\textrm{d}\theta

只與角度 \theta 有關。因此無論圓形有多小多大 (由 R 一個變量決定),此比例亦恆等不變。所以我們就證明了無論一個圓形有多大,它的圓周 C 和直徑 2R 之間的比例都是不變的!

最後,我們來證明這個數字等於 \pi。其實這也不可以說是一個「證明」,只是一個定義 \pi 的方法罷了。不過有了這個定義,下回我們就可以計算 \pi 的數值。數學上,我們習慣把角度的 180 度叫做一個 \pi。繞圓周轉一圈是 360 度,所以半個圓周周長就是把上式由 0 度積分至 180 度,即是由 0 積分至一個 \pi

(C/2)/2R=\int^{\pi}_{0} -1/2\textrm{d}\theta = -\pi/2

上式中的負號是因為我們在上面作開方根的時候,沒有考慮正負兩個選擇。長度當然不能是負數,因此這告訴我們在上面的開方步驟中應該選擇負的結果。所以上式就說「半個圓周 C/2 與直徑 2R 的比例是 \pi/2」。換句話說,

C=2\pi R

\pi 是永恆。下回,我們來看看它如何能夠 loop 到下個世紀,仲未埋尾。

延伸閱讀:

三角 X 斜率 X 微積分》- 余海峯

畢氏定理 X 圓 X 三角學》- 余海峯

加菲證明畢氏定理》- 余海峯

三角 X 斜率 X 微積分

上回介紹了三角學的基本函數 sine 和 cosine 與圓形的關係。在下回介紹圓周率 \pi 之前,有一項非常重要的結果必須首先介紹。

對於一條任意畫的線,只要它是可以一筆過不斷開地畫出來和沒有尖角的 (嚴謹的數學概念叫連續的和可微分的),那麼我們就可以定義一個叫做斜率的東西:

Screen Shot 2015-12-15 at 18.25.06

換句話說,斜率就是描述該線段相對於橫軸的斜度而已,即是講一道斜坡相對於平地有多斜。從上式定義之中,可見斜率以小數或分數來表示的。日常生活中,通常我們都習慣用角度表示斜率,不過這對我們的討論沒有影響。

數學中一個非常重要的技巧就是微積分 (calculus)。微積分是牛頓 (Isaac Newton) 萊布尼茲 (Gottfried Leibniz) 在同一時期分別獨自發現的。現在我們用的微積分符號是萊布尼茲的版本。如果沒有微積分,今天我們日常生活中各式各樣便利的現代發明都不可能存在。微積分可說是人類史上最重要的數學發現。

故名思義,微積分就是微分和積分的運算。在我們的討論裡不會用到微積分的運算,大家只需要記住:微分就是計算無限短的線段的斜率的方法。至於積分我們會在以後再講。

上回圖中,我們知道了 sine 和 cosine 函數的圖形。現在我們問,它們的斜率是多少?換句話說,我們問:

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有學習過微分運算的讀者,必定能夠立即說出答案:

Screen Shot 2015-12-15 at 18.25.20

上式中我們使用了 \textrm{d} 代替 \Delta,以表示無限小的改變。這只是數學慣用符號而已,只要我們記得現在所做的一切都是在趨向無限短的線段上做的,那麼兩個符號在概念上就是一樣的。

Screen Shot 2015-12-15 at 18.10.12

現在,讓我們來試試不使用微分運算去找出 sine 和 cosine 的斜率吧!首先考慮上圖。圖中有一半徑為 R 的圓形,圓心為 O 點。把 R 從水平逆時針畫出一角度 \theta,連起 O 點和 A 點。再繼續逆時針畫出一細小角度 \Delta\theta,連起 O 點和 B 點。所以 A 和 B 都在圓周之上。現在同時由 A 點垂直向上及由 B 點水平向右畫,相交於 C 點。因此角 ACB 就是一個直角。下圖是 A、B、C 點附近的放大。

Screen Shot 2015-12-15 at 18.10.22

根據 cosine 的定義 (見上回討論),我們可以直接看出直線 BC 的長度就是

Screen Shot 2015-12-15 at 18.24.09

\Delta\theta 趨向無限小的時候,三角形 ABC 的邊 AB 就會趨向圓形的弧 AB。因為圓弧長度等於 R\Delta\theta,我們就有

Screen Shot 2015-12-15 at 18.24.15

現在需要一點平面幾何想像力。由於 \Delta\theta 趨向無限小,角 OAB 就趨向直角。所以我們可以看出角 BAC 等於 \theta。考慮三角形 ABC,我們就有

Screen Shot 2015-12-15 at 18.33.14

最後把 (1) 和 (2) 式相等,就有

Screen Shot 2015-12-15 at 18.33.18

上式左邊的就是 cosine 斜率的定義。因此,我們就證明了 \frac{\textrm{d}\cos x}{\textrm{d}x}=-\sin x。證明  \frac{\textrm{d}\sin x}{\textrm{d}x}=\cos x 的方法亦一樣,只需要重複上述步驟找出 AC 的長度就可以了,有興趣的讀者可以自行證明。

下回,就讓我們來證明圓周率 \pi 是永恆不變的常數吧!

延伸閱讀:

畢氏定理 X 圓 X 三角學》- 余海峯

加菲證明畢氏定理》- 余海峯

這是屬於發現的時代

卡爾.薩根:「我們幾乎沒有注意到,我們已經進入自文藝復興以來史無前例的探索和發現的時代。」

“We have entered, almost without noticing, an age of exploration and discovery unparalleled since the Renaissance.” – Carl Sagan

卡爾.薩根 (1934 – 1996) 在他的書中這樣寫道。

過去幾十年,我們發現了 DNA 的構造、醫治了許多從前的不治之症、派遣了幾十架人造衝星探訪太陽系各成員、探險車好奇號發現火星有水流過的痕跡、新視野號剛探訪冥王星,而今天 LISA 重力波探測器就要升空了。如果卡爾.薩根仍然在生,他會是何等的興奮和感動呢?

可惜的是,我們眼看周遭,眼下盡是人類自相殘殺、破壞環境、迷信未除、謠言未止。人為的溫室效應導致的全球升溫,數據是如此擺在眼前,但我們仍然未開始反應。我不確定我們仍來得及扭轉這個局面。

諷刺的是,在卡爾.薩根的時代出發的航行者 1 號和 2 號太空船,現正飛越太陽系的邊界,向著未知的星際空間進發。它們仍然努力地向地球上的人類回傳珍貴的科學數據。

作為生於這個世代的我們,是何其有幸!若人類免於自我滅亡,這個時代的科學進程必定佔據未來科學教科書之中極其重要的一頁。

身在此世代而不自知的我們,能否避免於自我毀滅的命運,就掌握在我們這一個世代的手中。

費曼和薩根都說過,這是一個不科學的時代。我衷心希望,藉著普及科學,我們仍有一絲希望,踏進未知的未來世界,繼續探索。

封面圖片為航行者 1 號,取自 NASA Voyager Mission 網站

當我們的小孩問問題,我們有耐心回答他們嗎?當我們不懂得回答時,我們會老實承認、敷衍了事,或責怪他們多問題?

我小學時,曾試過問老師問題,被老師罵我「啱啱先教完,點解又唔識?係咪冇聽書?」當我們叫小孩子讀書,我們的心態是希望他們多學習嗎?可是,為何我們有時卻不喜歡他們發問?

我們從書本上學習知識。書本,是人類最偉大的發明。透過書本,我們能夠窺見前人的思海、學習未所聽聞的知識。可是,在知識被發現之前,我們無書可讀。獲得知識的終極途徑,就是發問。

問問題,是因為我們不知道、因為我們想知道。有些問題,我們可以由已知的知識去推敲答案。有些問題卻不然。這些問題,可能是無解的、或靠當下的知識無法解決的。這些問題,我們非但不應迴避,更應多深入思考。因為這種問題,就是通往新知識的途徑。

十七世紀,人類仍不知道星辰運行的原因。牛頓看見蘋果從樹上掉下來。他抬頭仰望,看見月亮。

「為什麼月亮不會掉下來?」

這個問題,看似無聊。日月交替,明月高掛天際幾千年,從不變改。但想深一層,我們知道天體運行規律,並不代表我們明白它。牛頓發現,根本無人明白為何月亮不會像蘋果一樣往下掉,沒有人知道答案。那麼,就去尋找答案吧。

牛頓發現了萬有引力定律,原來日月星辰都依循同一條方程式運動。哈雷訪問牛頓,嘆息世上沒有人知道彗星的運動軌跡。牛頓卻說:「那很簡單,是個橢圓形。彗星和其他所有星體,都依循我發現的平方反比律運動,絲毫不差。」

300 年後,一位名叫愛因斯坦的年輕人,思考如果他能夠騎在一道光線之上,會看見什麼。

「我們會看見一個靜止的電磁波嗎?」

可是,電磁波動方程告訴我們,這不可能。最後他發現了相對論,推翻了牛頓運動定律。

沒有人一出生就知道知識。沒有人能夠讀完所有書本,也不可能學習所有知識。可是,我們能夠思考,而發問就是激發思路的最好方法。我們在地球的生命演化舞台中脫穎而出,其中一個原因是我們的好奇心。發問,是我們仍舊保有這好奇心的證據,是我們引以為傲、所以為人的證明。

下次,當小孩子問「為什麼?」誰知道這個問題會帶領我們走到那裡去?

延伸閱讀:

無知的價值》 – 余海峯

論人、論學問》 – 余海峯

從前有本書叫十萬個為什麼》 – 余海峯

冥王星和學問》 – 余海峯