知道和理解的分別

很多學生問過我,學物理時究竟應不應該背公式。

我的答案是,公式是要背的。不過我認為這個問題並不是學習的重點。我認為重點並不是那些公式,而是公式背後的概念。公式要背,可是並非靠死背,而應該是經過自己反覆思考後自然記住的。

在這個問題上,費曼有一個很深刻的見解。他曾經在著名的演講系列《物理定律的特徵》(The Character of Physical Law) 之中,精要地講解了導致這個問題的主因:科學之中,何謂「知道」?何謂「理解」?

他說,對於一個自然現象,我們可以同時有兩個概念和數學結構都不同的理論,兩者都能得出同樣的解釋。科學上,我們是無法分辨哪一個才是「正確」的解釋。科學家會說兩個理論都是正確的。

不過,理論 A 使用的數學可能會在某些情況下比理論 B 使用的數學容易得出結果,但同時理論 B 的物理概念也可能比理論 A 的較為清晰易明。他說,每個理論物理學家都知道六、七個解釋同一個物理現象的不同理論。

費曼認為我們應該著重理解每個理論之間的異同,嘗試去理解為什麼由不同的假設出發的兩個理論,最後會推導出幾乎一樣的結果。他用牛頓的萬有引力定律和愛因斯坦的廣義相對論做比較,兩者都是描述重力的理論,可是兩者的出發點完全不同:牛頓的萬有引力定律假設重力是一種超距力,而愛因斯坦的廣義相對論假設重力是物質扭曲時空的結果。兩者計算結果的分別在日常情況下小得根本無法察覺。可是,當我們嘗試計算非常接近強重力源的情況時,兩者的計算結果就會有明顯分別。只有愛因斯坦的廣義相對論才能解釋水星繞日公轉的軌道。

費曼再以一個假想的例子去說明這種科學家常會遇到的思想問題:想像我們在古代,有一個馬雅天文學家,他不知道星辰和地球都是環繞太陽轉動的。因為古馬雅文明有著多年來非常豐富的天文觀測數據,所以他們能夠準確計算各天體運行的軌跡,甚至預測日、月食等等。這些都可以全靠機械式的計算過程,他們甚至不必理解究竟月球是什麼!現在,有一個人對馬雅天文學家說:「我有一個理論,其實天體都是行星,它們都遵守某些物理定律運行。」但當馬雅天文學家問他,那麼你的理論能否計算出天體的運行軌跡?那人就說不,這理論還未發展到能夠計算的階段。馬雅天文學家就會認為這個人的理論是多餘的,因為他不能作出跟馬雅天文學家一樣準確的預測。

費曼以這個例子引起我們去思考。費曼說明有時候「知道」一些事實、「知道」如何運算,並不代表「理解」背後的物理和科學概念。應該做的是多吸收不同的想法,並且經由自己重覆思考和推導。

費曼過身後,人們發現他辦公室的黑板上,留下了這兩句說話:

What I cannot create, I do not understand.

Know how to solve every problem that has been solved.

費曼一生堅持把每一個物理問題都經自己的手重新推導一次,他認為這樣才是真正的學習。相信費曼這兩句說話,可以作為同學們學習的榜樣。

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圖片來源:加州理工學院

延伸閱讀:

物理之美》(The Character of Physical Law) – 費曼的《物理定律的特徵》演講原稿

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