畢氏定理 X 圓 X 三角學

大家知道畢氏定理、圓、三角學這三樣東西有著密切的關係嗎?

首先,我們來考慮一個直角三角形:

Screen Shot 2015-06-23 at 15.09.10

[圖一]

根據前文討論過的畢氏定理,我們就有 a2 + b2 = c2

現在來考慮一個圓形。我們可以如何定義一個圓形呢?

「指定一點叫做圓心 O ,向任一方向伸延一長度 R,然後將這長度 R 繞 O 轉一圈,那麼 R 的頂點畫出來的形狀就定義為『圓』,並且 R 稱為這圓的半徑。」

好了,我們現在有了三角函數和圓的定義,就來看看它們之間有什麼關係吧!首先,我們把 O 放在二維平面上,並使 O 與 (x, y) = (0, 0) 重疊。我們問,一個半徑為 R 的圓形,如何以 (x, y) 座標表達呢?看看下圖,我們在圓周上隨意選一點 (x, y) = (a, b),並與 O 點連接,因此 (x, y) = (a, b) 和 O 之間的長度就是半徑 R。

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[圖二]

然後在 (x, y) = (a, b) 點垂直於橫軸畫一直線,就得到了一個直角三角形。根據畢氏定理,我們就有 a2 + b2 = R2。而由於 (a, b) 可以是圓周上的任何一點 (x, y),所以我們就得到了圓形的數學表達方程:

Screen Shot 2015-06-23 at 15.09.45

接著,我們來談談三角學。三角學,簡單地說,當然就是研究三角形的學問了。而三角學的基本,大家都知道就是 sine、cosine 和 tangent 三個三角函數 (中文分別是正弦、餘弦和正切)。現在定義 sine、cosine 和 tangent 為圖一之中直角三角形裡夾角 θ 的函數:

sin θ = a/c

cos θ = b/c

tan θ = a/b

即是,其實 sin θ 就是對邊 a 與斜邊 c 之比、cos θ 就是底邊 b 與斜邊 c 之比、tan θ 就是對邊 a 與底邊 b 之比。舉一個例子,如果我們有一個圓,把定的半徑 R 設為 1 (設為什麼數字也沒有關係,不過 R = 1 比較方便下面的解釋而已),那麼根據 sine 和 cosine 的定義,b 就直接等於 sin θ、a 就直接等於 cos θ 了。換句話說,可以想像 sine 和 cosine 都是跟隨著圓周上的一點 (x, y) = (cos θ, sin θ) 在逆時針公轉!這樣的話,我們就得到了 sine 和 cosine 的函數形狀了:

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[圖三]

最後,我們再從畢氏定理出發,就得到下面的三角函數與圓形的關係:

Screen Shot 2015-06-23 at 15.09.15

相信心水清的讀者,看到這裡已經猜到我的陰謀了:現在我們已經有了足夠的工具,下回我們就開始討論期待已久的圓周率了!

延伸閱讀:

加菲證明畢氏定理》- 余海峯

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