科學界宣佈將 X 射線納入光學,是傳統光學最黑暗的一天

「今天科學界說 X 射線也是光的一種,就是重新定義了傳統的光學!」

「大家想想,今天他們說 X 射線也可以是光,再過不久他們就會說萬有引力也是光!」

「他們承認 X 射線也可以是光,我們傳統可見光光學的路將更難行!」

「 X 射線也可以是光了!以後我們做傳統可見光光學、不支持 X 光光學的就要被拘捕了!這是民主嗎?」

「今天一口氣封鎖了 500 多位研究 X 光光學、微波光學、紅外線光學和紫外線光學的朋友,還有支持這些研究的人們。」

「通過 X 射線光學,該國即將衰落,我們傳統光學會復興。不要問我,相信我的話。」

「伽瑪射線的研究領域今天發生意外,很多人死傷!我認為這就是上天對科學界說 X 射線也是光的懲罰。」

我們細心想想,如果聽到以上的言論,我們會感到荒謬、不可理喻嗎?

我已料到會有人說我的比喻不公平,兩件事本質上不同。對,兩件事本質上不同,所以我們應該著眼於上述邏輯的類比之上:承認另一個概念的正當性,不會對原本的概念的正當性造成損害。以上例句都是來自於真實的發言,我只是把關於婚姻的名詞改成科學名詞而已。

我們以為在平行時空才會出現的言論,其實就在我們身邊。我個人認為,對於文化、道德、信仰等等,科學雖然沒有能力去解釋和改變,但通過理性的科學,也許能夠幫助我們看穿一些邏輯上的謬誤。

最後,讓我分享一些科學家的引言。我並不是說科學家的說話就是對的,只是他們這些段落的確值得我們思考。而我希望,終有一天,世界上每個人都可以說出同樣的說話:

愛因斯坦:「世界需要推動新的道德觀,而我恐怕這些觀念不會來自於在歷史洪流中不斷折中妥協的教會。我估計這些新觀念一定會來自延續伽利略、克卜勒、牛頓的傳統的科學家們。雖然受到挫折與迫害,這些人投入了他們的一生去證明宇宙是一個不需要人性化造物者的整體。真正的科學家並不受讚美、指責或教條影響。他揭露宇宙的真相,而人們自然會受到新的啟發:創造的規則、協調與壯麗!當一個人認識到支配宇宙驚人的定律是何等完美,他就會開始體會到他是何等渺小。他看見人類的野心、陰謀和『我比你優越』的教條是何等渺小。這就是他的一種宇宙宗教觀的開端;其道德教條就是友誼與人性。一旦失去這種道德根基,我們就要宣佈絕望。」[1]

查理.達爾文 (Charles Darwin):「我看不到任何人希望基督教就是真理的理由;如果其言語白紙黑字的意味著所有不信的人都會遭受永恆的懲罰,而其中包括我的父親、兄弟和幾乎所有的朋友,那麼這就是不值得信的教條。」[2]

理查.費曼 (Richard Feynman):「到頭來,懷疑基督的神性,與愛你的鄰居如愛你自己的美德,是可以共存的。這兩種態度可以同時存在;我會說,我希望各位可以看到我的無神論科學同事在社會中保有良好的品行。」[3]

卡爾.薩根 (Carl Sagan):「我指的是,如果上帝希望給我們一個信息,而祂能夠想像的方法就只是古代文獻,祂應該可以做得更好的。」[4]

理查.道金斯 (Richard Dawkins):「你是否真的想說,行善的唯一原因就是為了得到上帝的許可和獎勵、或者為了避免祂的責難和懲罰?這不是道德,這只是攀附、討好,和因為天上那個偉大的監察鏡頭、或者在你腦海中的細小竊聽器在監督你的一舉一動,所以你害怕做錯事。」[5]

延伸閱讀:

[1] William Hermanns 在 1943 年與愛因斯坦的第二次對話紀錄,1983 年出版於《Einstein and the Poet: In Search of the Cosmic Man》:

The world needs new moral impulses which, I’m afraid, won’t come from the churches, heavily compromised as they have been throughout the centuries. Perhaps those impulses must come from scientists in the tradition of Galileo, Kepler and Newton. In spite of failures and persecutions, these men devoted their lives to proving that the universe is a single entity, in which, I believe, a humanized God has no place. The genuine scientist is not moved by praise or blame, nor does he preach. He unveils the universe and people come eagerly, without being pushed, to behold a new revelation: the order, the harmony, the magnificence of creation! And as man becomes conscious of the stupendous laws that govern the universe in perfect harmony, he begins to realise how small he is. He sees the pettiness of human existence, with its ambitions and intrigues, its ‘I am better than thou’ creed. This is the beginning of cosmic religion within him; fellowship and human service become his moral code. And without such moral foundations, we are hopelessly doomed.

[2] 達爾文自傳中所記,於其死後五年,即 1887 年出版:

I can indeed hardly see how anyone ought to wish Christianity to be true; for if so the plain language of the text seems to show that the men who do not believe, and this would include my Father, Brother and almost all of my friends, will be everlastingly punished. And this is a damnable doctrine.

[3] 節錄自費曼在 1956 年於加州理工大學 YMCA 午餐論壇的演講

In the end, it is possible to doubt the divinity of Christ, and yet to believe firmly that it is a good thing to do unto your neighbor as you would have him do unto you. It is possible to have both these views at the same time; and I would say that I hope you will find that my atheistic scientific colleagues often carry themselves well in society.

[4] 出於薩根在 1985 年出版的小說《Contact》的主角 Dr. Arroway 口中:

What I’m saying is, if God wanted to send us a message, and ancient writings were the only way he could think of doing it, he could have done a better job.

[5] 道金斯寫於 2006 年出版的著作《The God Delusion》:

Do you really mean to tell me the only reason you try to be good is to gain God’s approval and reward, or to avoid his disapproval and punishment? That’s not morality, that’s just sucking up, apple-polishing, looking over your shoulder at the great surveillance camera in the sky, or the still small wiretap inside your head, monitoring your every move, even your every base though.

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微中子夢遊仙境

我:「妳看到那微中子嗎?它不帶電荷,比一般中子細很多!它和電子一樣都是輕子。」

她:「有什麼特別?」

我:「妳知道每秒都有數以十億計的微中子穿過我們的身體嗎?」

她:「為什麼我們感覺不到?」

我握著她的手說:「妳知道是什麼力,令我們感覺到彼此的手嗎?」

她:「是肌肉的力?」

我:「沒錯。但是肌肉的力不是宇宙的基本力。」

她:「那是哪一種基本力?」

我:「是電磁力,也與量子力學的不相容原理有關。簡單講,我們手的皮膚表面的電子都帶負電荷,所以互相排斥,我們就感覺到彼此的手。」

我拖著她的手,繼續說:「萬有引力也是另一種基本力。地球的引力把我們向地球中心拉,不過地板上的電子與我們腳底的電子一樣會互相排斥,所以我們能夠站在地面。」

她:「這些與微中子有什麼關係?」

我:「微中子沒有電荷,不會與電子之間產生電磁力。另外,微中子是輕子,所以也不會與原子核之間產生力 – 那叫做強核力,不過不重要。因此微中子在穿過我們身體時不會有任何感覺。」

她:「那麼我們如何知道微中子的存在?」

我:「微中子雖然沒有電磁力和強核力,但引力和弱核力都會對它們造成影響。」

她:「引力?但你看看那些微中子!它們經過太陽附近,可是並沒有被太陽的引力影響啊!」

我:「其實有的,只不過微中子的速度太快,所以太陽的引力對它們造成的影響很小。就連光也會被太陽的引力影響,妳知道嗎?」

我繼續:「光線經過重力場時會偏向,只不過我們的太陽實在太輕了,這個效應很難察覺。你知道宇宙中有億萬個比太陽重千百萬倍的天體嗎?妳看!那束光線經過那個天體時,是不是偏向了?」

她:「是啊!所以微中子也一樣?微中子的速度也很快嗎?」

我:「微中子也以光速行走啊!正確來說,最新的實驗數據顯示微中子的速度與光速只相差 10-19 這麼少,而且在誤差值以內與光速沒有分別。」

我還拖著她。我繼續說:「其實有三種不同的微中子,觀測數據顯示三種微中子會互相轉變!不過,根據理論計算,微中子若能夠互相轉變,就必須擁有質量。可是相對論說,只有沒有質量的東西才可以達到光速。所以,微中子的研究還沒有定論呢!」

我:「有趣嗎?」

她看著我。

然後我醒來,我手中她的手不見了。

畢氏定理 X 圓 X 三角學

大家知道畢氏定理、圓、三角學這三樣東西有著密切的關係嗎?

首先,我們來考慮一個直角三角形:

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[圖一]

根據前文討論過的畢氏定理,我們就有 a2 + b2 = c2

現在來考慮一個圓形。我們可以如何定義一個圓形呢?

「指定一點叫做圓心 O ,向任一方向伸延一長度 R,然後將這長度 R 繞 O 轉一圈,那麼 R 的頂點畫出來的形狀就定義為『圓』,並且 R 稱為這圓的半徑。」

好了,我們現在有了三角函數和圓的定義,就來看看它們之間有什麼關係吧!首先,我們把 O 放在二維平面上,並使 O 與 (x, y) = (0, 0) 重疊。我們問,一個半徑為 R 的圓形,如何以 (x, y) 座標表達呢?看看下圖,我們在圓周上隨意選一點 (x, y) = (a, b),並與 O 點連接,因此 (x, y) = (a, b) 和 O 之間的長度就是半徑 R。

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[圖二]

然後在 (x, y) = (a, b) 點垂直於橫軸畫一直線,就得到了一個直角三角形。根據畢氏定理,我們就有 a2 + b2 = R2。而由於 (a, b) 可以是圓周上的任何一點 (x, y),所以我們就得到了圓形的數學表達方程:

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接著,我們來談談三角學。三角學,簡單地說,當然就是研究三角形的學問了。而三角學的基本,大家都知道就是 sine、cosine 和 tangent 三個三角函數 (中文分別是正弦、餘弦和正切)。現在定義 sine、cosine 和 tangent 為圖一之中直角三角形裡夾角 θ 的函數:

sin θ = a/c

cos θ = b/c

tan θ = a/b

即是,其實 sin θ 就是對邊 a 與斜邊 c 之比、cos θ 就是底邊 b 與斜邊 c 之比、tan θ 就是對邊 a 與底邊 b 之比。舉一個例子,如果我們有一個圓,把定的半徑 R 設為 1 (設為什麼數字也沒有關係,不過 R = 1 比較方便下面的解釋而已),那麼根據 sine 和 cosine 的定義,b 就直接等於 sin θ、a 就直接等於 cos θ 了。換句話說,可以想像 sine 和 cosine 都是跟隨著圓周上的一點 (x, y) = (cos θ, sin θ) 在逆時針公轉!這樣的話,我們就得到了 sine 和 cosine 的函數形狀了:

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[圖三]

最後,我們再從畢氏定理出發,就得到下面的三角函數與圓形的關係:

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相信心水清的讀者,看到這裡已經猜到我的陰謀了:現在我們已經有了足夠的工具,下回我們就開始討論期待已久的圓周率了!

延伸閱讀:

加菲證明畢氏定理》- 余海峯

加菲證明畢氏定理

我又做標題黨了,這個加菲並不是加菲貓,而是美國第二十任總統占士.加菲 (James Abram Garfield)。

畢氏定理說,一個直角三角形中,直角 (即 90 度) 的兩條鄰邊長度各自二次方相加等於斜邊長度的二次方:

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[上圖應為「畢氏」,懶改,注意。謝 Alan Chiu 指正!]

加菲總統的證明很簡單,我們只需要知道幾件事實:

  1. 三角形內角總和是 180 度;
  2. 直線上的角度總和是 180 度;
  3. 三角形、正方形、梯形面積計算方法。

以上事實的證明十分簡單,就留給有興趣的讀者自行證明吧!事不宣遲,我們來證明畢氏定理吧:

我們首先沿 a 邊向上畫多一個一樣的直角三角形,不過這次把它順時針轉 90 度來畫。最後,我們好像下圖中把右上角和右下角的兩點連起來,得到了一個梯形:

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現在,我們問,圖中叫做 x 的角度是多少?給大家一分鐘。

答案是 90 度,即是一個直角。為什麼?如果叫 c 邊與 b 邊的夾角做 y,那麼 c 邊與 a 邊的夾角就是 90 度 – y,因為三角形內角總和是 180 度。接著,看看左邊垂直的 (a + b) 邊,因為直線上的角度總和亦是 180 度,我們就有

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所以,圖中打斜的是一個等腰直角三角形,兩條邊長是 c。換句話說,這個三角形的面積就是一個邊長為 c 的正方的一半。

我們就知道這個梯形的面積是兩個細直角三角形的面積再加上邊長是 c 的等腰直角三角形的面積。而且,我們也知道梯形的面積是「上底加下底乘高除二」。所以

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畢氏定理得證。

封面圖片來源:http://www.larouchepub.com/eiw/public/1995/eirv22n09-19950224/eirv22n09-19950224_050-garfield_the_pythagorean_theorem.pdf

科學數據如何畫靚啲?

科學家在寫論文的時候,除了文字解釋外,也需要用圖表去表達數據。今次我想介紹的是科學家很常用的一種數據表達方式:對數 (logarithm)。

我們在中學都會學過對數的數學運算。根據我一位數學家朋友所講,簡單來說,對數「就是用加法來做乘法」:

[在本篇文章之中,所有對數的底數 (base) 都是 10,當然我們的討論同樣適用於其他底數]

在日常生活中,我們可能沒有什麼機會用到對數運算。不過科學家卻是非常喜歡用的呢!為什麼呢?

很多自然定律都有一個特徵,就是它們的數學表達式,都是遵從冪定律 (power law) 的。例如地震強度、萬有引力和電磁力的強度、太陽內部的核子反應過程速率、行星運動軌跡、大家比較熟悉的經濟學裡的 80 – 20 定律 (長尾理論)、我在《科研解碼:淺談伽瑪射線暴》中介紹過的電子同步幅射光譜等等,都遵守冪定律。

可是冪定律又跟對數有什麼關係呢?其實在數學上並沒有特別關係,對數只是一種運算方法。不過在表達數據的時候,例如在用圖表去把數據畫出來的時間,如果不用對數去表達冪定律,就可能不太方便了。例如下圖是電子同步幅射光譜:

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在上圖,我們很容易就可以看出同步軸射光譜的特徵。留意圖中橫軸和縱軸,我們不是 1, 2, 3, 4… 即線性 (linear) 地去數,而是 1, 10, 100, 1000… 地去數。換句話說,我們用了對數方式去表達橫軸和縱軸,因為 log 1 = 0, log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3… 如此類推。所以其實在橫軸上,越向右邊的數字之間的「密度」就越高;同樣地在縱軸上,越向上面的數字之間的「密度」也越高。即是當我們使用對數去表達圖表的時候,越大的數字的貢獻會被「濃縮」,反之越小的數字的貢獻就會被「強調」。

我們會問,為什麼要這樣做啊?因為大自然的運作方式,很多時候都是冪定律。冪定律意味著在分析數據的時候,我們需要同時分析「很大」和「很小」的數字。但是,人類的腦袋卻比較習慣分析線性的資料,即是之間分別不是太大的數字。

例如,我們比較容易感受 1, 2, 3, 4… 去到不太大的數字之間的分別,例如我能夠感受 1 蚊和 100 蚊之間的分別 (很重要的啊,我以前可是要儲很久才買到一部 1:144 高達)。可是如果我問「1 萬和 1 千億之間的分別」或者「 1 仙和 1000 蚊之間的分別」時,我們對這兩個數字之間的分別的感受就沒有 1 蚊和 100 蚊之間的分別那麼大了。

其實不用講這麼多,我只要把上圖的橫軸和縱軸由對數改成熟悉的線性,大家就會明白了:

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變成了圖中大部分只看到一條橫線,而且完全看不出來同步軸射曲線的曲率了!注意,這兩張圖在數學上是完全等同、一模一樣的,只是表達方式由對數變成線性罷了!

其實科學家在寫論文的時候,很大一部分時間都是在考慮如何能把數據表達得比較「美觀」,即是如何直接把數據的重點表達出來。由數軸用對數還是線性、選擇用什麼數學符號、以至數據點用什麼顏色等等,都有很大的學問在其中啊!

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[圖片來源:PHD Comics]

新視野號探索冥王星

小時候,我們學習太陽系有九大行星,最裡面的是水星,地球排第三,最外面的是冥王星。在 2006 年,國際天文聯會在一人一票、沒有篩選的過程下,表決把冥王星從行星的地位移除,列入新定義的天體「矮行星」之一。

一直以來,我們對冥王星所知不多,只知道它很小,半徑只有大約 1,160 公里 (少於地球的 20%)、質量只有地球的 0.2%,需要大概 247 年才環繞太陽運行一圈。由於離開太陽很遠,它的平均表面溫度只有約攝氐零下 230 度。

縱使如此,其實冥王星並不孤單,因為其已知的衛星已有 5 個之多。不過,到今天為止,仍未有人造探測器到訪過冥王星。然而,NASA 的新視野號 (New Horizons) 將在一個月內抵達這顆曾經的行星,人類即將開始首次的近距離冥王星探索。

新視野號在 2006 年升空,利用地日系統的重力助推效應 (gravity assist) 以破紀錄的秒速 12.26 公里 (即用 1 秒多就能橫越香港島) 飛向外太陽系。新視野號探訪過小行星 132524 APL 和木星後,在 2007 年利用木星重力加速向冥王星的軌道前進。經過 9 年的太空飛行,新視野號預計會在 7 月 14 號經過最接近冥王星、離其表面約 12,470 公里高的位置。

為了抵達這個預定的位置,NASA 在本月 12 和 13 號發送了指令給新視野號,令其在 14 號進行了一次 45 秒長的軌跡調整。傳送回地球的資料顯示新視野號一切機能皆正常,控制中心現正分析其軌跡數據,可能會再次發送指令調整軌跡。

因為新視野號現在的位置離地球 47 億 4 千 7 百萬公里,連光線也要 4 個半小時才能到達,所以指示新視野號的指令必須經過精密計算、預早傳送,才能確保新視野號能在準確的時刻執行指令。 這個距離,如果用現時民航飛機的速率,大概要飛 167 年。

從地球發射探測器到這麼遠的距離,飛了差不多一個年代,最終能夠如期與這麼細小的冥王星相會,證明了科學為何如此重要:因為 it simply works!這個準確度,好比射十二碼時把龍門的大小縮至僅僅比足球的直徑闊 10 個氫原子左右。

新視野號配備「紅外線成像光譜儀」Ralph,能夠測量冥王星的顏色、溫度、成份;「紫外線成像光譜儀」Alice 能夠分析冥王星的成份和結構、並會嘗試找尋其衛星 Charon 的大氣;「射電科學實驗儀」REX 會分析冥王星大氣的成份和溫度;「長程偵察成像儀」LORRI 是一個望遠鏡式相機,在接近冥王星途中拍攝照片,有助分析新視野號的軌跡,也能夠提供高解像度的冥王星地質數據;「冥王星附近太陽風探測器」SWAP 會分析太陽風對冥王星的影響;「冥王星高能粒子光譜科學調查儀」PEPSSI 會測量逃離冥王星大氣的離子的成份和密度;而最特別的、由學生製造及操作的「學生塵埃計」 SDS 負責測量由地球到冥王星旅程中附在新視野號身上的宇宙塵埃量,有助了解太陽系的塵埃分佈。

新視野號除了是人類太空探索的一個里程碑外,也是太陽系行星科學的一個重要儀器。它所提供的數據不但有助天文學家了解太陽系外圍天體,也將是研究太陽系如何形成和演化的重要資料。

探索遙遠的太空,卻能夠解開關係地球起源的祕密。誰說科學不狂野、不浪漫?

延伸資料:

NASA 的新視野號主頁:http://www.nasa.gov/mission_pages/newhorizons/main/index.html

NASA 的新視野號紀錄片 (長達 58 分鐘,正啊喂):

*封片圖片來源:NASA

喵星人物理學家

在現代學術期刊的歷史中,有一位非常特別的作者,名字叫做 F. D. C. Willard。牠是唯一一隻寫過物理學論文的喵星人。

在 1975 年,密西根州立大學物理系的物理學家 J. H. Hetherington 寫好了一篇論文 “Two-, Three-, and Four-Atom Exchange Effects in bcc 3He“,準備投稿去著名的物理學學術期刊 Physical Review Letters。投稿前,他的同事告訴他,原來 Physical Review Letters 有一個出版規定:如果該論文只有一位作者,就必須使用英文中的「我」(“I”) 而非慣用的「我們」(“we”)。

當時還未有電腦出現,論文都是靠打字機打出來的。Hetherington 不想把所有 “we” 和 “our” 改成 “I” 和 “my”,所以他選擇了一個聰明的辦法:加多一位作者不就可以了嗎?

於是,他就在作者名單中加入住在他家中的喵星人 Chester。為了不被人發現 Chester 是一隻喵星人,他把牠的名字寫成 F. D. C. Willard:F. D. 就是喵星人的學名「家貓」 Felis domesticus、C. 就是 Chester、 Willard 是 Chester 父親的名字 (當然也是喵星人)。

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[圖中的是有 Chester 親喵簽名的論文,很珍貴啊!來源:http://xkeys.com/PIAboutUs/jacks/FDCWillard.php]

結果,論文順利刊登。那麼這件事是如何被人發現的呢?原來 Hetherington 在論文發表後,寄了十多份給他的朋友們,上面有 Chester 的親喵簽名:喵星人肉球手印。當每一次有訪客來到物理系,想與 Hetherington 討論這份論文,但 Hetherington 正好不在的時候,訪客就會問人「那麼我可以跟第二作者討論嗎?」

這件事情除了幽了學術期刊一默外,也令 Chester 成為歷史上最有名的喵星人之一。Hetherington 在之後的論文中也不時在嗚謝中提及 Chester,感謝牠對論文的有用貢獻和討論。Hetherington 的妻子也會跟朋友開玩笑說,她與這份論文的兩位作者都睡過!

另外,Chester 在 1980 年,於一本法國科學雜誌刊登了一篇只有牠一位作者的文章 “L’hélium 3 solide: un antiferromagnétique nucléaire“。果然,喵星人是一定會統治宇宙的。

我這個博客叫做 Teach your cat science,其實應該是 Your cat teaches science 吧?