照亮相對論的光 (上)

我在《光的祕密》文中討論了電磁學的發展,以及馬克士威方程如何預言電磁波的存在。但是在 19 世紀末的物理學界仍然存在好幾片烏雲,而且正不斷擴大。其中一片就是牛頓力學與電磁學的結論互相抵觸。

相對性原理 (principle of relativity) 其實並非愛因斯坦所發現的。人類似乎很早就知道 (卻沒有去追問為甚麼,彷彿一切都是必然的) 我們能在行駛中的船上以在地上一樣的力度和角度打桌球、廚師能以在地上一樣的技巧將薄餅拋來拋去、而你也能夠在正以時速 900 公里飛行的飛機上從容不迫地與在地面上一樣做相同的動作。看來,我們習慣所有東西都是理所當然的。懷海德 (Alfred North Whitehead) 說

“It requires a very unusual mind to undertake the analysis of the obvious.”

伽利略是個 unusual mind。他發現了鐘擺等時定律、也發現了物質具有慣性 (inertia),即沒有被施外力的物質會一直保特其運動速度,即是以同樣的速率與方向繼續運動。所以相對性原理其實是伽利略發現的。

牛頓也知道伽利略發現了這個超越古希臘的知識。由觀察蘋果和月球的運動得出萬有引力定律的牛頓,肯定也是個 unusual mind。這是發生在 17 世紀的故事,距公元 5 世紀愛奧尼亞文明的衰亡足足遲了 1200 多年。我經常想像,如果阿基米德沒有被羅馬士兵所殺,也許人類文明會比現在進步上千年。

magic

回到主題。究竟描述光的電磁學與描述時空的相對論有何關係?關係在於電磁波動方程:

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其中 E 及 B 分別為電場及磁場,它們頭上的箭咀表示它們是三維向量。由上述公式可知電磁波的存在,其速度約為每秒 30 萬公里。究竟秒速 30 萬公里有甚麼問題呢?這個數字本身沒有問題,問題在於這一數字是個常數,即其數值不會改變。在數學中,我們都清楚知道常數的數學規則。但在現實中,「光速是個常數」究竟是甚麼意思?「不會改變」究竟是指何種情況之下不會改變?愛因斯坦的答案是:在宇宙間任何時間、地點、運動狀態下都不會改變!

想像小明在火車車廂中以速度 u 跑步,而火車正以速度 v 行駛,所以在月台上的人看到小明的速度就應該是 u + v 吧!接下在,我們想像正在跑步的不是小明,而是一道以速度 c 前進的光線。請問在月台上的人看到的這道光線正在以甚麼速度行進呢?是 c + v 嗎?不!答案是 c。無論這道光線向著哪個方向發射,其速度都是 c,不多也不少。

你可能會問:「這怎麼可能!如果我以光速向著一道光線跑去,我不是會看到兩倍光速嗎?」不,結果仍然是 c。在這場牛頓對馬克士威的比賽中,大自然選擇了馬克士威。馬克士威的電磁理論在宏觀的大尺度事物上是正確的,它與愛因斯坦的相對論相容,但與牛頓的絕對時間、空間概念相悖。大自然告訴我們,速度不是 1 + 1 = 2。在《你也能懂相對論》一文中,我們已經討論過狹義相對論,故此不再重複。相對性原理說明,宇宙間沒有絕對速度,可被測量的只有相對速度。即是說,月台上的人可以說是火車在運動,火車上的人也可以說是月台在運動,兩者的說法都一樣正確。

現在我想以電磁學的角度去討論相對論。一個運動中的帶電粒子會同時產生電場與磁場,而靜止中的帶電粒子則只會產生電場,沒有磁場。問題來了:哪究竟這粒子有沒有產生磁場?如果一個觀測者 A 相對於該粒子為靜止,他將不會測量到任何磁場。但如果有另一個觀測者 B 相對觀測者 A 運動,他將會測量到一個磁場,因為觀測者 B 相對該粒子也在運動。可是,物理現象必須是唯一的,因為同一個事件不可能得出兩個不同的結論。

我們來進一步分析這個問題。假設你有一個任意形狀的線圈和一塊可以改變磁場強度的電磁鐵。我們試試把電磁鐵穿過線圈,你可以做三個實驗:

  1. 固定電磁鐵,移動線圈;
  2. 固定線圈,移動電磁鐵;
  3. 固定線圈及電磁鐵,改變磁場強度。

如果我們真的做這三個實驗,會得到什麼結果呢?由於時間關係,我把結果告訴你:三個實驗都發現有電流通過線圈,其數值都完全一樣!

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法拉第做了這些實驗。在實驗 (1) 裡,產生電流的原因是磁力。根據洛倫茲力方程式 (Lorentz force equation),由於沒有電場存在,作用於線圈內每單位電荷的力就是

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其中 u 為電荷的速度。由於磁通量 (magnetic flux) 是

Screen Shot 2015-03-29 at 21.18.21 (2)

參考上圖,線圈由時間 t 的位置移動到時間 t + dt 的位置,帶狀範圍就是 [並非由硬幣導致……] 磁通量的改變,其量為

Screen Shot 2015-03-29 at 21.18.38 (3)

考慮圖中點 P,經過了 dt 的時間後它移動至 P’ 的位置。如果 v 為電線段的速度,u 為電荷在電線內的速度,所以 w = v + u 就是電荷在點 P 的速度。由於每一格帶狀區域的面積就是 dA = (v x dl) dt代入 (3) 式就得到

Screen Shot 2015-03-29 at 21.18.44 (4)

因為 u 平行 dl 於,所以我們就有

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現在利用恆等式

Screen Shot 2015-03-29 at 21.18.54 (6)

可以把 (5) 式改寫成

Screen Shot 2015-03-29 at 21.18.51 (7)

由於 w 就是電荷在點 的速度,所以 (w x B) 就是電荷所受的磁力,根據 (1) 式我們就有

Screen Shot 2015-03-29 at 21.18.59 (8)

最後,根據電動勢的定義

Screen Shot 2015-03-29 at 21.19.02 (9)

我們就得到

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亦即我們在中學學過的「電動勢等於磁通量的負改變率」

另一方面,我們也可以試試來考慮實驗 (2) 和 (3),看看會得到什麼有趣的結果。

首先,我們知道改變中的磁場能夠感生一個電場。實驗 (2) 和 (3) 中的電動勢均由此電場產生,其強度與第 (10) 式中的一樣:

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現在使用第 (2) 式,我們就會得到

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這就是積分版本的法拉第定律,對它作旋度 (curl) 就可得到在《光的祕密》一文中的微分版本法拉第定律。

在實驗 (2) 和 (3) 中,法拉第發現線圈內的電動勢的數值,竟然恰巧等於實驗 (1) 中所得的數值!你可能會說:「當然!根據相對論,重要的只是線圈和電磁鐵的相對運動,所以實驗 (1) 與實驗 (2) 和 (3) 所得的結果必然一樣。」可是,當年的法拉第並不懂得相對論,愛因斯坦也還未出世。而且這也不足以解釋實驗 (3) 的結果為何也是一樣。由電磁學的角度看,這純粹是個漂亮的巧合。法拉第也有個 unusual mind,他的直覺告訴他,「電」與「磁」應該是相同的物理現象。不過他一直要等到馬克士威發現他的馬克士威方程式,法拉第的假設才被證明。

由這些討論我們可以得出甚麼結論?基於完全不同的物理過程,實驗 (1) 與實驗 (2) 和 (3) 得到相同的電動勢:實驗 (1) 中產生電動勢的是磁場,而實驗 (2) 及 (3) 中產生電動勢的卻是改變中的磁場所感生的電場。嚴格來說,實驗 (1) 的結果並非法拉第定律,因為法拉弟定律所指的是由磁場所感生的電場。這個分別看似無聊,但是正正因為這一分別,令愛因斯坦得到靈感,最終發現狹義相對論。愛因斯坦在他的論文中指出,這個事實顯示在電動力學與力學中,根本不存在絕對靜止的概念。

電動力學 (electrodynamics) 就是研究電磁現象與粒子的相互作用的物理學分支。與牛頓力學不同,由馬克士威方程式出發的電動力學與相對論相容。當時大部分科學家都認為,牛頓力學在物理學界已經屹立了幾百年,而馬克士威寫下他的方程式只有區區幾十年,所以馬克士威一定是錯的。但愛因斯坦並沒有因為理論誕生的先後次序而否定馬克士威方程式。

歷史證明愛因斯坦又是另一個 unusual mind。在科學裡,無論一個理論的歷史有多悠久、它的數學有多嚴謹、提出它的人有多著名,只要它不符合觀察結果,它就是錯的。科學裡只有事實,沒有權威。

法拉第曾用磁鐵感生出一個電流,使浸在水銀中的電線迴轉運動。這其實就是現代發電機與摩打的原型,法拉第在實驗中造出世上第一個發電機和摩打,然而他並不知道在百多年後的今天,他的研究對世界造成多大的貢獻。

有一年,法拉第在他著名的倫敦聖誕科學講座示範他的電磁實驗。實驗完結後,觀眾之中有一位女士問他:「法拉第先生,請問這樣做有什麼用途?」

法拉第很禮貌地回答:「我的女士,請問一個初生嬰兒有什麼用途呢?」

“Mr. Faraday, of what use is this?”

“Madam, of what use is a newborn baby?”

就像在《光的祕密》提到的赫茲一樣,法拉第不知道他的偉大科學貢獻對後世會有什麼影響。每一個新的科學發現都像一個新生嬰孩,在當下我們可能不會看到即時用途。但經過時間,每一個科學發現都有無限可能性、每一個科學發現都同樣重要。這一種看待科學以及其他所有創新概念的態度,我們應該向法拉第好好學習。

下回,我們將會看看如何用相對論證明「電」與「磁」其實是相同的物理現象。

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