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科學普及有感

我的書架上有過百本科學書,包括教科書和科普書,是十多年儲來的。其中大部分是自購的,也有少量是朋友相贈的。架上有十多本書放了好幾年,卻仍未讀過。

高中的時候,我對物理著了迷,每有閒暇就是到書店「科學」書架前看書。當時錢不夠,往往要考慮良久才決定把哪幾本書帶回家。其餘的就在書店裡讀完,再不捨地放回架上。後來上了大學、研究所,到現在博士後,有了正式的薪金。財務上許可了,本以為自己會買更多科學書。然而,就像長大成人去逛玩具店一樣,有了金錢,卻失去了買玩具的衝動。

不過,我並非完全不買新書,只是考慮的時間更長了。一來,家中書架已不夠空間;二來,藏書已多得讀不完;三來,大多數新書的內容,其實已經寫過、讀過很多次。

然而,我最在意的是第四個原因:越來越多新作者把極前沿的理論當成已驗證的事實般寫成書。這些書對於我這個把論文當報紙看的「業內人士」來說,自然沒有起到太多興奮的作用。但無可否認地,「前沿理論」四個大字仍然是吸引讀者的金漆招牌。

科普書籍能夠吸引年輕有志學子,幫助他們開啟科學眼界。就像我當年被費曼、薩根、道金斯、愛因斯坦的文字感動,投身科研,轉眼十多年光陰。可是,我開始懷疑把未經證實的科學理論放上科學普及書架,對於傳播正確的科學事實有多大效果。縱使這些理論有著堅實的數學支持,若然未觀察到任何證據,也只能維持在科學猜想階段,與事實相去甚遠。

因此,我寫的文章和合著的書中,都不會出現前沿理論的討論。一來,我非相關理論專家,未必能夠準確傳達理論內容;二來,我堅信科學是基於可觀測的結果之上。我相信已知的科學事實一樣可以引起大眾對科學的興趣。

當然,這都純屬我個人的感覺,或許連猜想都說不上。我近年買的都是出版較久的舊書,例如薩根的著作我仍未儲齊;我也開始讀越來越多的科幻小說;對科學家傳記我仍然愛不釋手。

我相信科普和科學一樣,可以同時是有趣和嚴謹的。希望十年後回望,今天的堅持沒有白費。

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教你如何連中十元⋯⋯背後的數學原理

有時會見到一些網頁,付費加入預測股市/賭波/賭馬貼士群組,聲稱每場必中,更有真實連中十元參加者現身說法。你會懷疑,這是真的嗎?

假設那是真正的參加者,要做到連中十元並不難。或者,我甚至能說,有人連中十元是必然的。我就解釋給你聽。

為了簡化以下解釋,我們用單循環淘汰賽做例子,即每場比賽必須分出勝負,沒有平手。

假設只有 2 隊隊伍,甲隊跟乙隊。那很明顯只有 1 輪、共 1 場比賽。如果你跟我買不同隊伍,我們當中必定有一人買中最後勝方。

如果有 4 隊隊伍,甲乙丙丁隊,就有 2 輪、共 3 場比賽。如果 4 個人各買不同隊伍,那麼第一輪比賽,甲隊對乙隊、丙隊對丁隊,4 個人當中就必定有兩人買中勝方;第二輪比賽就跟上面兩隊比賽的例子一樣,剩下 2 人必定有一人買中最後勝方。換句話說,4 人中就有一人 2 場連中了。

相信各位已能推論下去:如有 8 隊隊伍,就有 3 輪、共 7 場比賽。只需要最少有 8 個人各買不同隊伍,我就能夠保證最少有一人能 3 場連中。事實上,對於這種零和遊戲,如果我想製造 N 場連中紀錄,我只需要最少有 2^N 個人向我購買貼士,我再私下告訴每個人去買不同隊伍就行了!

我們再用世界杯決賽週做例子。在決賽週單循環淘汰賽階段有 16 = 2^4 隊國家隊,因此有 4 輪比賽。只需要有最少 16 人購買我的所謂貼士,我就算完全不懂足球也能夠確保有一人能在世界杯決賽週 4 場連中。而且我們也知道並非每一隊實力都一樣。所以實際上我可以把較強的隊伍配給多些人,也就不一定需要 2^N 這麼多人了。

有人會問,有贏有輸有和的聯賽呢?我們有 3 個可能性,因此需要連中 N 場就最少要有 3^N 個人買貼士。一般來說,在有 M 個可能性的情況下,需要最少有 M^N 個人買貼士,那麼我就算只靠估也能給出 N 場連中貼士!更別提每隊隊伍實力都有所不同了。

至於估股市更易:向 1024 = 2^10 人提供股市預測,升跌各半;只要不斷向測中的一半提供預測,最後剩下的一位,就是連中十元的證人。

戴個頭盔,我並非說那些提供貼士的人沒有實力,上面我也解釋了適當根據隊伍實力去分配就能增加貼士準確度。我只是分析了這種「連中貼士」背後的數學原理,為什麼我可確保必然有人能夠連中。大家分析完之後,自己決定要不要購買了。

公我贏,字你輸。你以為這世上真有那麼多貼士嗎?

廷伸閱讀:

不可能的事情如何不斷發生?》- 周達智

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AlphaGo連勝人類:從圍棋複雜程度淺談人工智能重要性

AlphaGo 改良測試版本已戰勝地球上幾十位最強人類圍棋高手。人類憑科學、邏輯、數學,創造出能夠在現有棋類中最複雜的圍棋戰勝世界冠軍的人工智能。

人工智能與一般電腦程式不同之處,在於其並非簡單依循人類工程師定下的規則去執行指令。人工智能使用分析大數據的演算法,稱之為機械學習(machine learning)。機械學習是一個統稱,其分成眾多不同演算法,應用於各種不同問題,詳細分別在此不述。無論何種機械學習演算法,其共通點是電腦會從過往經驗中學習,自動分析出最佳執行策略。

以棋類為例,為什麼必須使用機械學習?原因在於其可能步法數量非常多。我們可見的宇宙中,大約有 10^80 個粒子,即 1 後面跟 80 個零。我們可以問,圍棋最多可能有多少個不同棋局?

圍棋的棋盤是個 19 x 19 的正方形,即有 19 x 19 = 361 格。每格可以有三種狀態:黑子、白子、空位。因此,每一步最多可以有 3^361 種擺法,即大約 1.7 x 10^172 種擺法,亦即 17 後面跟 171 個零。這已經比宇宙中的粒子總數 10^80 更多。然而根據圍棋規則,並非每一格都能任意放黑子或白子,因此實際上最多可能擺法應比 1.7 x 10^172 少一些。電腦科學家 John Tromp 與其他人曾計算出實際可能擺法約為 2 x 10^170。

接下來,我們需要知道一局最長能有多少步。這很簡單,因為明顯地一局最長只能把所有可能擺法全部走完,即 1.7 x 10^172 步。Tromp 曾證明要在一局內把 1.7 x 10^172 步全部走一次是不可能的,但真正最長能有多少步仍未有人能計算出來。所以,1.7 x 10^172 步是數學上的絕對最大值。

因此,我們就知道,圍棋最多可能有 361^(2 x 10^170) 個不同棋局,約等於 10^(5.3 x 10^170),即 1 後面跟 5.3 x 10^170 個零。那麼多,究竟是多少個零啊?總之多到我也不想數。好吧,你硬要我數,我就數給你看。5.3 x 10^170 個零,即 53 後跟 169 個零,即

530,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,

000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,

000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 個零。

所以,圍棋最多可能有 1 後面跟這麼多個零個不同棋局。不要叫我寫出來,因為宇宙的年齡約為 138 億年,即約 4.35 x 10^17 秒。如果我由宇宙誕生的一刻開始寫,每秒就必需寫 10^152 個零,才能在今天寫完。再者,我肯定不夠墨水寫,因為我每秒必須寫的零的數量比宇宙中的粒子總數 10^80 更多。

當然,這是圍棋不同棋局數量的上限,哪麼下限呢?根據 Tromp 與其他人的計算,下限約為 10^(10^48),即 1 後面跟 10^48 個零,即 1 後面跟 1 後面跟 48 個零個零,即 1 後面跟

1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 個零。

嘩,少了好多個零啊。可是,這仍比 10^80 多非常多。就算我們以人類平均一局圍棋長度約 400 步來算,也大約有 10^800 個不同棋局。如果每個粒子都懂得下圍棋,宇宙中每個粒子都必須記住 10^720 個不同棋局才能把 10^800 個棋局全部記住。

因此,這就說明機械學習的重要性。正如我們會把發明汽車、輪船、火箭、太空船等等視為人類文明進步,我們應把 AlphaGo 看成人類文明另一大進步。人類發展出能夠自動分析數量過於龐大的可能性的電腦,若能應用於正當、適合的問題上,將是人類文明發展的極重要一步。例如自動駕駛。路面的複雜程度不下於圍棋,未來的自動汽車應能準確預測路面情況,把交通意外數量降至接近零。

延伸閱讀:

Number of Possible Go Games

封面圖片為 2016 年 1 月 28 號科研期刊《自然》的封面。

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科學家:我不知道

我們有時——其實是經常——會聽到科學家說:「這是個好問題!我不知道。」科學家豈非應知道得更多嗎?

科學理論——特別是前沿理論——很多時候都是不確定的。有時候科學家知道一個一般來說行得通的理論在某些情況下會變得不適用,可是卻不知道該如何修正。愛因斯坦發表相對論至今超過一百年,量子力學也差不多於同一時期發展。兩者都通過了所有——沒錯,是所有——的實驗與觀測檢驗。可是每個科學家都清楚,相對論與量子力學互不相容。

究竟哪裡出了問題?這是個非常困難的問題。沒人知道哪裡出了問題。

有時科學家想知道的並非知識本身。科學家最想知道的是如何獲得知識。想要獲得知識,我們必須承認自己在很多科學課題上——很可能是所有科學課題——都並不確定。

因此,當我們問到問題的核心時,科學家就會說:「這是個好問題!我不知道。」而說出這個不知道的原因,其實是因為我們知道很多,明白到哪些知識比較確定、哪些知識比較不確定。

理查・費曼說過:「說話的真正問題並非在於精確語言。真正問題在於清晰語言。」

The real problem in speech is not precise language. The problem is clear language.

科學家寧願犧牲確定性,也堅持要說出正確的陳述。因為科學的最高守則,就是誠實。

延伸閱讀:

好奇心和誠實:理查.費曼 (Richard P. Feynman)》- 余海峯

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相對論、量子力學、黑洞和反物質

愛因斯坦發表相對論至今已超過 100 年。百年之間,無數科學家使用各種方法檢驗相對論,所有結果都與愛因斯坦寫下的方程式的結果吻合,從未出錯。

䇄立不倒的相對論

自邁克生(Albert Michelson)與莫雷(Edward Morley)在 1887 年做的光干涉實驗驗證了狹義相對論的假設,到 2015 年位於美國的兩座激光干涉重力波天文台(LIGO)直接探測到廣義相對論預言存在的重力波,愛因斯坦的相對論的所有預言已全被實驗和天文觀測驗證。無獨有偶,這兩個發現同樣都基於光干涉實驗,巧合呼應愛因斯坦發現相對論之前所作的光線騎士思想實驗。

不過,這並不代表在未來不會發現相對論出錯。牛頓力學在很多情況仍然適用,例如計算太空探測器的軌道並不需要使用相對論。在需要比較精確的數據時,如全球衛星定位系統,才必須利用廣義相對論去糾正重力影響時間流逝速率的效應。沒有人知道在未來更加精確的測量下,相對論的公式會否出現偏差。

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Animated image converted from video by The News Lens Hong Kong. Original video credit: R. Hurt – Caltech/JPL

相對論與量子力學

物理學家非常清楚相對論與量子力學的假設互不相容。簡單地說,相對論禁止比光速更快地傳遞資訊,而量子力學則允許資訊在一刹那間橫跨宇宙。神奇地,描述大尺度時空的相對論與描述極微細粒子的量子力學,兩者於其應用範疇的預言都未曾出錯。

現在,物理學界傾向認為相對論並非大自然最基本的定律。很多人相信未來人類會找到能夠取代相對論、又與量子力學相容的時空和重力理論。

黑洞「火牆」

從前黑洞被認為是永不消失的。根據相對論,沒有任何物質能由黑洞視界(即光線也不能逃逸的界線)裡逃脫。然而,霍金(Stephen Hawking)在 1974 年預言,黑洞亦會以輻射粒子的形式流失能量。根據量子力學,真空並非真的一無所有,而是充斥著虛粒子對。量子力學裡的穿隧效應意味宇宙可以由虛無之中「借」來能量以產生虛粒子對,就好像這些虛粒子對由虛無之中穿越隧道到我們的宇宙中來,然後在極短時間內又互相碰撞、湮滅消失。宇宙似乎是個好債仔,有借有還。

霍金想像在黑洞的視界附近會有大量的虛粒子對產生又消失。可是,如果這些虛粒子對在非常接近黑洞視界出現的話,那麼它們就有可能在重新碰撞消失之前,其中一個粒子「不小心」越過了視界,落入沒有回頭路的黑洞之中。這樣的話,另一個粒子就失去了能與其湮滅的伴侶,能夠逃逸到遠處。由於能量必須守恆,逃逸的粒子帶有正能量,掉入黑洞裡的粒子就必須帶有負能量。所以對於遠方的觀測者來說,就如同黑洞拿自己的能量發射出一個帶有正能量的粒子。這個效應被稱為霍金輻射。

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美國科學人雜誌曾以黑洞火牆理論作為封面故事。

近年有理論物理學家發現,霍金輻射可能顯示相對論在黑洞視界失效。相對論的公式不能應用於無限密度。愛因斯坦本人也清楚,在黑洞中央、密度無限大的奇點,相對論會失效。不過,由於黑洞的奇點永遠被視界包圍,而沒有任何資訊能夠從視界內傳遞出來,所以相對論在視界外的宇宙仍力保不失。

愛因斯坦說,一個人不可能以任何實驗或觀測分辨出自己正受重力影響加速、或是位於無重力的慣性參考系之中。這叫做等效原理,是廣義相對論的基本假設。相對論公式說明,視界內外的時空並無分別,等效原理同樣適用。可是有理論物理學家發現霍金輻射在一般條件下會在視界外形成一道超高溫的高能量粒子「火牆」,任何穿越視界的人都會被極高能量𣊬間分解成基本粒子。如果真的如此,那就意味著相對論在視界外已經失效。不過,現時仍未有任何觀測證據能檢驗這個黑洞火牆理論。

反物質支持相對論?

迪拉克(Paul Dirac)在 1928 年把量力子學與狹義相對論結合,預言了反粒子的存在。他發現結合了狹義相對論的薛丁格方程有兩個數學解,其中一個是正常的物質,另一個是擁有相反物理特性(例如相反電荷)的物質。現在,我們稱這道公式為迪拉克方程,叫擁有相反物理特性的物質做反物質。

反物質的其中一個未解之謎,就是究竟它們會否擁有「負質量」?迄今所有科學觀察皆顯示質量只有「正」、沒有「負」。因此萬有引力只能相吸,不像電磁力般能相吸或相斥。

由於反物質碰到物質就會立即湮滅,長時間地控制並觀察反物質非常困難。今年,歐洲核研究組織(CERN)的物理學家團隊首次成功測量反氫原子(antihydrogen)的發射光譜。反氫原子由一個反質子(antiproton)與一個正子(positron,即反電子)構成。他們發現反氫原子的發射光譜與普通的、由一個質子與一個電子構成的氫原子完全一樣。這亦代表反氫原子與氫原子的量子能階結構相同,而且同樣擁有正質量。

這個發現支持相對論的正確性。就如前面所述,等效原理是相對論的基本原則。如果反氫原子與氫原子的發射光譜不同,科學家就能夠透過觀察反氫與氫的光譜推斷出自己是否正被重力場吸引。這就違反了等效原理,相對論就是錯的。

相對論能繼續䇄立嗎?

費曼(Richard Feynman)說過:「科學知識是不同肯定程度的陳述的整體。有些非常不確定、有些差不多確定,但沒有任何是絕對確定的。」

Scientific knowledge is a body of statements of varying degrees of certainty – some most unsure, some nearly sure, but none absolutely certain.

其實,當科學家說一個舊科學理論被「推翻」了,並不代表那理論是錯的。如同愛因斯坦相對論取代牛頓力學一樣,我們仍然可以用牛頓力學公式計算出大部分相對論預言的重力效應,只是兩者在很多個小數位後會有差異。因此我們會說,相比牛頓力學,我們更有信心相對論比較正確。我們不會說牛頓力學沒有用,因為在低速、低重力的日常情況下,牛頓與愛因斯坦的公式的計算結果沒有分別。

無論日後人類能否找到比相對論更精確的重力理論,大自然定律依舊不會改變、物件依舊會向下掉、地球依舊會繞太陽公轉。唯一不同的是,人類對大自然的了解會更深、更準確。

這就是科學的意義。

延伸閱讀:

霍金輻射論文

測量反氫原子發射光譜論文

愛因斯坦教授 你是正確的

費曼誕辰:談科學精神、機率和不確定性