土星的自白

大家好,我叫做土星。在地球上,有些人叫我做土星。他們認為我代表構成萬物之一的「土」,可是我上面根本沒有泥土啊。另外有些人則叫我做 Saturn,據我的兄弟地球所說,這個字代表他們信奉的農業之神。地球人更創造了一個代表我的符號,看起來就像一把收割用的鐮刀。

我在太陽系裡的第六條軌道上運行幾十億年了。噢,因為太陽系一眾行星兄弟當中,地球最會計時,所以我們說的都是地球年、習慣使用的都是地球人的科學術語。我們在大約五十億年前、太陽誕生後剩下的塵埃之中形成,而我是各個行星兄弟中第二重的。不過,雖然在我的核心裡有岩石和冰,但我的外層都是金屬氫和其他氣體,所以我的平均密度是行星兄弟中最低的,是唯一一個比水密度更低的行星。

我記得,剛開始的時候,太陽系遠比現在在熱鬧多了。除了我們一眾比較巨大、稱為行星的兄弟之外,還有許多體積較小的岩石碎片,大家一起環繞太陽散步。行星兄弟們的軌道差不多都在同一個平面之上,非常接近正圓形。相反,碎石們的軌道卻有著高得多的離心率,大多都呈非常楕圓的形狀。其中一些會被我們吸引、撞上我們,化作我們的一部分,使我們越來越重。

經過了一斷時間,剩下的碎石越來越少,他們要不是與我們結合了,就是被太陽的引力拋向了無盡的外太空之中。這個過程亦同時慢慢改變了太陽系的質量分布,甚至改變了我們的軌道,使行星兄弟的排位互換了好幾次。我依稀記得自己本來不是排第六的,不過就不太記得我跟哪位兄弟交換過位置了。

經過了幾十億年,突然在幾十萬年之前,地球上的生命演化出人類這個有趣的物種。他們之中的一些人,會使用一種叫做望遠鏡的儀器,窺探遠方的船隻。我本來以為他們只是想看見遠方的朋友,可是他們竟然互相攻擊、自相殘殺,令我覺得很傷心。

有一天,一位叫做伽利略的人類,他非但沒把望遠鏡用在戰爭之中,反而把它指向了天空、指向了行星兄弟們、指向了我。我記得,他每個晚上都會用望遠鏡看看我們,然後在筆記本上繪畫出我們的素描。我很高興,終於有人想把我們看得清楚一點了!不過,他誤以為我的環是我的耳朵,使我被其他兄弟笑了好久呢!

然後,另一個叫做惠更斯的人類,使用一台比較強勁的望遠鏡,終於發現我沒有耳朵,而是有個很漂亮的環。我的環非常、非常薄,然而又非常巨大。我自己也很喜愛這個環,因為我的環其實是由非常多細小的冰塊和石頭構成的。我很喜歡把這些寶石給我的兄弟看,他們都很羨慕我呢!

其實,我並非獨自一個在第六軌道上運行的,我有幾十個小伙伴陪著我。人類把他們稱為衛星,事實上他們都是我的朋友。惠更斯用他的望遠鏡發現了其中一個,把他叫做泰坦。傳說這個名字是神話中的巨人。我把這個名字轉告了他,他似乎也很喜歡這個人類為他起的名字。然後,另一個地球人卡西尼發現了我更多的衛星朋友。他亦發現了我的環其中一條最大的縫隙,聽說人類更用他的名字稱呼這條縫隙呢!

伽利略、惠更斯、卡西尼和其他很多很多地球人,經常都會用望遠鏡看我,繪畫我的畫像。雖然我聽不到他們說的話,但我感覺他們都是我的好朋友。可是,我發現原來人類的生命很短暫,相比起我們行星百億年的生命,他們只有短短的幾十年。後來,我再也沒有看到這幾位朋友了,我很掛念他們。

之後,人類發明了更多不同種類、性能更強的望遠鏡,而且更多更多的地球人相繼加入觀看我們的行列。他們當中,有些偶然才會看看我、有些則每晚都會觀察我。人類好像把這些專門研究我和其他行星的人稱為行星天文學家,雖然我不太明白這是什麼意思,但我很高興能夠認識到越來越多的朋友。這些人都很熱愛天文、熱愛科學和大自然,不像之前的那麼暴戾,動不動就互相攻擊。天文學家們對我的研究有時會互相矛盾,以致引起爭論,但他們都總是互相尊重,就像我們一眾行星、衛星朋友一樣。

突然,有一天,從地球飛來了一架太空飛船,上面設有很多探測儀器和相機。原來這是人類派來研究我和我的環以及衛星朋友的太空探測器,他們更把他叫做卡西尼號!我彷彿再次遇見我的老朋友,而且更是近距離與他相聚,讓我開心得好久一段時間都睡不著呢!卡西尼號亦非隻身前來,惠更斯號附在他身上一起前來與我們見面,不久之後惠更斯號就降落到泰坦上了。

卡西尼號環繞我運行了十多年了。他為我拍了非常多漂亮的照片,傳送返回地球,讓更多人類看見我的真正面貌。聽說當中有很多人類的小孩,因為看見了我的照片,長大後成為了天文學家。我覺得很開心,他們都是有好奇心的人,是我的好朋友。噢,我忘了說,這幅照片就是卡西尼號為我拍的,你們覺得好看嗎?

不過,卡西尼號很快就又要和我說再見了。他的能源已經用得七七八八,快支持不住了。可是,他仍希望用自己生命的最後一口氣,飛近我的環、飛近我,把盡可能多的我的資訊傳回地球、傳給那些有好奇心的人類天文學家。卡西尼號告訴我,他已經調整好軌道,準備完成他最後的任務,最後五次非常接近地環繞我飛行,然後落入我的大氣之中。

在他收集我的大氣數據,並即時傳回地球的時候,我的大氣卻會把他慢慢地壓垮,直到他粉身碎骨,與我合為一體。我很敬佩他的勇氣,為了把我更多的科學知識教會人類而犧牲。再見了,卡西尼號,我的朋友。

在我之中,還有很多是人類所不知道的。我期望人類不要放棄探索太空、不要忘記好奇心。我期望,在不久的未來,會有另一位來自地球的朋友,飛來土星環的基地探望我。

科幻是科學的翅膀

科幻的意義

有人指控我「不尊重科幻作品」。我尊重他們發表意見的權利,亦欣賞他們對科幻作品的熱誠。我相信,這種熱情亦是推動好奇心的源動力。而我同時認為,如同《進擊的巨人》這樣好的科幻作品,是能夠激起人們思考科學、社會問題,再應用於我們所生存的這個世界之中的。

我希望藉著有趣的動漫題目,吸引各位思考科學原理。這當然就不是說我要破壞原作者的創作。誰不知道在作品當中,作者就是神、就是物理定律?我們會不會把科普文中提到的科學問題傳給作者叫他修改作品?不會,因為我們明白探討的題目是「如果在我們這個世界打出一記認真拳/打出龜派氣功/變身成為巨人,會發生什麼事情呢?」

就如同從前科學仍未發達的時候,登陸月球被視為幻想。有小說作家幻想登上月球,我們不會去攻擊他「不科學」,而是把這個幻想當成思考科學問題的機會,改善我們的科學技術。想必有些人曾經思考過「如果我們真的能夠飛上月球,會發生什麼事情呢?」

最終,岩士唐踏出了人類的一大步。幻想,成了真實。

科幻絕不應只幻不科。其實,我自己也是《進》的粉絲。吸引我的,除是了那些刺激的戰鬥場面外,也是那些叫人反思現實的情節。高牆和巨人,都一一暗喻了許多發生在我們身邊的社會問題。我們會把作品中對社會的描寫化作現實的反思,為什麼我們不能把作品中的科幻化作現實科學的思考?這樣,科幻才能成就科學。

我相信,這就是科幻的意義。

如果在我們的世界裡  巨人究竟可以有多重?

最後,就讓我們看看巨人究竟有多重。在我們的世界中,以現在人類對大自然的科學知識,我們沒有辦法進行高維度的物質傳送。因此就必須要憑空產生出額外的物質,無可避免地用到愛因思坦的質能互換定律 E=mc2。可是,這又會引起另一個問題:產生質量的能量太過龐大。

作者亦有想過這個問題。漫畫之中,曾明示過「巨人比想像中輕」。因此,我們就來假設在完全沒有用到 E=mc2 之下,巨人究竟會有多重。所以今次我們就不是假設密度不變,而是質量不變。跟上次一樣,我們只要使用密度=質量/體積,就能夠計算出各種巨人的密度。

對於一個 3 米級的巨人,其體積是一個 1.7 米高的人類的 5.5 倍。如果要維持質量不變,那麼 3 米級巨人的密度就是人類的 1/5.5=0.18,即是只有人類的 18%。以人類平均密度大約為 0.95 g/cc 去計算(g/cc 即是每平方厘米克),3 米級巨人的密度就是每平方米 0.17 g/cc。順帶一提,海平面一個大氣壓力下、室溫的水的密度是 1 g/cc,這就是為什麼人體是會浮在水面上的原因。而巨人受到的浮力就更加強了,想潛水基本上是不太可能的。

圖
假設身體重量不變,人型生物身高(橫軸,米)與密度(縱軸,g/cc)關係。

那麼 15 米級的巨人呢?體積是人類的 687 倍,密度是人類的 0.1%,即是 0.0014 g/cc。在海平面室溫的大氣密度是 0.0012 g/cc,所以 15 米級巨人的密度原來跟空氣差不多,被其打中應該就像颱風時站在街上的感覺吧⋯⋯

最後,當然少不了大家最關心的超大型巨人了。體積是人類的 44,000 倍,密度就只有人類的 0.0022%,即 0.00002 g/cc。這不就是只有大氣密度的 1.8% 嘛⋯⋯這樣的話,如果超大型巨人真的出現,我們頂多也只會看見一團非常輕薄的肉色氣團,被打中也是不會有什麼感覺的。而且,因為其比空氣密度更低,所以會慢慢升上天空,很恐怖的說⋯⋯哇,什麼時候變成鬼故事了?

科幻是科學的翅膀

其實,很多科學家也是科幻故事、漫畫、小說等的粉絲。如我上述,欣賞科幻作品和思考科學問題並非對立。科幻作品是科學進展的翅膀,驅動著人類對大自然的好奇心帶領人類飛上月球、飛到宇宙深處。

《進擊的巨人》故事重點根本就不是巨人變身,而是想透過人類打巨人去說一些道理。所以,這篇文章寫的只是無聊自娛的計算,就讓故事中的巨人繼續橫行吧。

永恆的對稱:艾瑪.諾特(Emmy Noether)

艾瑪.諾特(Emmy Noether, 1882 – 1935)是個才能非常出眾的女性數學家,愛因斯坦稱她為史上最重要的數學家。她的研究解答了一個非常深刻的物理問題:為什麼我們的宇宙中存在能量守恆、動量守恆等守恆定律?

諾特生於德國巴伐利亞城市埃朗根(Erlangen),父親是位數學教授。她本來打算畢業後當法文和英文老師,但後來改變主意,進入他父親工作的埃朗根大學(Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg)攻讀數學。她在 1907 年取得博士學位,著名的數學家大衛.希爾伯特(David Hilbert, 1862 – 1943)看見她的數學才華,希望把她聘到哥廷根大學(Georg-August-Universität Göttingen)做私人講師(Privatdozent,德國的一種講師資格,卻不一定是支薪的)。可是,哥廷根大學哲學系反對聘請諾特,他們說:「若然我們的軍士打仗回國,卻發現他們要接受一個女人的教導,他們會有何感想?」而且,他們不希望一個女人有資格在大學評議會中投票。

面對攻擊諾特的性別歧視,忿怒的希爾伯特反擊道:「我看不出申請人的性別是反對她成為私人講師的理由。畢竟,評議會並非澡堂。」

“I do not see that the sex of the candidate is an argument against her admission as a Privatdozent. After all, the Senate is not a bath-house.” – David Hilbert

儘管諾特得到希爾伯特的支持,哥廷根大學始終不肯聘請她。往後 7 年間,她在埃朗根數學院(Mathematical Institute of Erlangen)工作,而且是不支薪的。有時候,當她父親病倒了,她會代替他在埃朗根大學授課。直到 1915 年,希爾伯特和菲力斯.祈因(Felix Klein, 1849 – 1925)邀請她到哥廷根大學,以希爾伯特的名義講課。最後在 1919 年,哥廷根大學終於正式聘請諾特做私人講師。

諾特在數學中有很多重要的貢獻,而其中最著名的莫過於諾特定理(Noether’s Theorem):每個物理作用量的可微分對稱,都存在一個對應的守恆定律。簡單來說,諾特定理說物理守恆定律來自物理定律的對稱性。用更簡明的語言來說,就是如果物理定律在座標轉換後維持不變,那麼這個轉換背後就藏著一個守恆定律。例如,我們向著哪個方向做實驗都得到一樣的結果,這就代表了角動量守恆定律;我們在今天、昨天或明天做實驗結果都相同,這是因為能量守恆定律;動量守恆定律則使我們在宇宙中哪裡做實驗都沒有分別。

諾特定理對發展新的物理理論很有幫助。物理學家只要找出物理問題的對稱性,就能夠知道守恆的物理量;反之,也可以由守恆定律出發,推導出物理系統的運動方程。

諾特經常與同事合作研究,而且她的研究興趣非常廣泛。她的專長是抽象代數(abstract algebra),不過有時候在非專業的領域中,諾特也做出了不少貢獻。而且,她對分享知識和看法也毫不吝嗇,不會把想法收起來,而是會大方地與其他數學家討論,哪怕對方是同領域上的「對手」。有幾次,同行數學家用了諾特的想法發表論文,諾特也毫不介意。

諾特的研究和教學態度也廣受好評。儘管有時她會因為數學問題而與別人大吵一場,她的立場始終是針對數學而非針對個人。有次,她的兩個女學生留意到諾特的頭髮亂了,想上前提醍她,但她正在和其他學生討論數學,以致在兩小時內兩個女學生也找不到空間打斷諾特的討論。然而,諾特的課堂並不太有條理,她通常用課堂時間和學生討論最前沿的數學問題,有時她的講義內容甚至超越了當代領域的最新研究,這使有些學生感覺跟不上。不過諾特對學生非常關心,她的學生會稱她做「論文母親」,其他人也叫諾特的學生做「諾特的孩子」。

1933 年,納粹在德國橫行無道,擁有猶太血統的諾特被哥廷根大學開除。她移民到美國,在賓夕法尼亞州博懋學院(Bryn Mawr College)繼續做研究。可惜的是於 1935 年,她被診斷出有個卵巢囊腫,要入院做手術切除。手術之後三天,諾特情況慢慢好轉,然而在第四天她突然發高燒並陷入昏迷,未幾離世,享年 53 歲。

諾特受盡歧視,然而數學、科學發現都不會因身份、性別、種族或任何取向而改變。諾特與對稱,將一同永垂青史。

重力波GW170104再證愛因斯坦理論正確

才剛寫好一篇關於愛因斯坦廣義相對論的文章,美國的激光干涉重力波天文台(LIGO)又再發表論文,宣佈第三次探測到來自雙黑洞結合產生的重力波 GW170104。論文通過同儕審查,刊登在 Physical Review Letters

重力波是極大質量扭曲時空而產生的時空漣漪。根據廣義相對論,質量會令時空彎曲,這就是萬有引力的成因。如果極大質量以特定方式運動,其扭曲時空的效果就會形成波動,把能量以光速向外輻射開去。

與前兩次重力波 GW150914 和 GW151226 一樣,這次探測到的重力波來自雙黑洞結合系統,命名為 GW170104。兩個黑洞的質量分別為 31 和 19 太陽質量,它們互相環繞運動,越轉越快,最終碰撞結合成一個 49 太陽質量的黑洞。在此過程中,相等於約兩個太陽質量的能量的重力波會向四面八方輻射,比任何時刻宇宙中所有星系和恆星輻射的能量更高。

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X射線望遠鏡發現的黑洞大小(紫色)和 LIGO 發現的黑洞大小(藍色)。Image courtesy of LIGO/Caltech/MIT/Sonoma State (Aurore Simonnet).

然而,比起 GW150914 和 GW151226,GW170104 的雙黑洞來自 30 億光年以外,是 GW150914 和 GW151226 距離的兩倍以上。而且,這次結合得出的黑洞質量正好介乎前兩次的數值之間,使物理學家確認 20 倍太陽質量的黑洞族群確實存在。在 LIGO 探測到重力波之前,根據 X 射線望遠鏡的觀測,我們從未發現過 20 倍或以上太陽質量的恆星質量黑洞(stellar-mass black hole)。

隨著 2018 年歐洲的 Virgo 探測器將開始運作、而且 LIGO 將再次升級,探測重力波的靈敏度將會再次提高。屆時,科學家或許能夠探測到期待已久、來自中子星雙星系統或中子星-黑洞系統的重力波。物理學家預測,涉及中子星的結合事件除了重力波外,亦會釋放出高能量的電磁輻射如 X 射線和伽瑪射線,稱為伽瑪射線暴。同時探測到來自同一系統的重力波和電磁波,可以提高探測的可信性外,也能幫助天體物理學家分辨各種星體模型,有助了解這些極端星體的物理和演化。

GW170104 還告訴了我們很多訊息。例如,這次結合的兩個黑洞,至少有一個的自轉並非與它們互繞的平面方向相同。換句話說,至少其中一個黑洞的自轉軸是傾斜了的,就好像地球的自轉與公轉平面之間有個夾角一樣。這個發現,顯示兩個黑洞可能並非於同一雙星系統中誕生,而是在誕生後才互相捕捉,形成雙黑洞系統。

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GW170104 的探測數據(灰色)、其小波分析結果(橙色)和雙黑洞電腦模擬結果(藍色)。上下分別為位於 Hanford, Washington 和 Livingston, Louisiana 兩座 LIGO 天文台的訊號。Abbott et al. (2017).

另外,研究員亦確認了愛因斯坦的重力波預言準備無誤。重力波與電磁波不同,不會發生色散現象。色散其實就是光線穿過介質後分開成各種顏色的現象,就如太陽光穿過雨後的水珠形成彩虹一樣。LIGO 沒有發現任何重力波發生色散的證據,愛因斯坦的廣義相對論又再下一城。

美國的 LIGO 團隊與歐洲的 Virgo 團隊合作,迄今已經探測到三個重力波和一個低可信性的疑似重力波。這兩個研究團隊人數過千,成員來自全球各地,也包括來自香港的研究員。作為研究伽瑪射線暴的天體物理學家,我期待探測到伴隨伽瑪射線暴的重力波,這將會是人類科學文明的極重要里程碑。

封面圖片:畫家想像的 GW170104 雙黑洞系統,圖中黑洞的自轉軸與互繞平面方向不同。Image courtesy of LIGO/Caltech/MIT/Sonoma State (Aurore Simonnet).

延伸閲讀:

LIGO 論文:Abbott et al., “GW170104: Observation of a 50-Solar-Mass Binary Black Hole Coalescence at Redshift 0.2”, Phys. Rev. Lett. 118, 221101

LIGO 官方新聞稿:GW170104 Press Release LIGO Detects Gravitational Waves for Third Time Results confirm new population of black holes

我以往關於重力波的文章:
重力波:愛因斯坦的最後預言 (上)
重力波:愛因斯坦的最後預言 (中)
重力波:愛因斯坦的最後預言 (下)
銀河消息:人類首次聆聽重力波
愛因斯坦教授 你是正確的
重力波:2016年邵逸夫天文學奬

重力是什麼?愛因斯坦的廣義相對論

亞里士多德說重力是一種向下跌的慣性,物件越重下跌速度越快;牛頓說重力是物質互相吸引的萬有引力造成的,而且不論物件多重,下跌加速度都相同;愛因斯坦說,宇宙間根本沒有重「力」,物件之所以會互相吸引,是因為質量把時空扭曲了,物質沿著四維時空曲率「下跌」。

等等,我們不是活在三維空間裡面嗎?我們知道這個宇宙中有三個互相垂直的方向:前後、左右、上下。愛因斯坦發現,如果把時間也視作維度,就能用相對論描述整個宇宙的演化。三維空間加一維時間,構成了我們身處的宇宙。數學家能夠把 N 個維度的幾何規則推導出來,不過這個宇宙似乎只需要四維就足夠。

牛頓對決馬克士威

牛頓在 1687 年出版《自然哲學的數學原理》,闡述了他發現的運動定律和萬有引力定律。其實在牛頓的力學架構中,時間早己是一個維度。要討論力學,我們必須引入參考系概念。請不用擔心,參考系就是我們在基礎數學裡學過的座標而已。如果把三維空間的三個方向叫做 xyz,而時間叫做 t 的話,那麼要在兩個參考系 SS' 之間轉換,牛頓就說

x' = x - u_x t
y' = y - u_y t
z' = z - u_z t
t' = t

其中 u_xu_yu_z 分別是參考系 S' 相對參考系 S 在 xyz 方向上的速度,另外我們假設了 SS' 在時間 t = 0 時重合。這一組四式,我們稱之為伽利略變換。

我們可以看出,時間這個維度在牛頓力學體系裡,無論相對哪個參考系都是一樣的。換句話說,對於任何觀測者而言,彼此的時間都永遠相同。牛頓說,宇宙有一個絕對的時鐘,時間流逝速率對於任何人都一樣,永恆不變。

另一方面,因為速度等於位移除以時間,無論觀察的人跑得多快,一個物件的長度都不會改變。這就是牛頓的絕對時空觀,從 17 世紀到 19 世紀統治著物理學。在這段期間內所有科學實驗結果都與牛頓力學吻合,因此我們可說所有古典科學結論都建基於牛頓力學。

之不過,牛頓力學的天空在 19 世紀後半期已經開始烏雲密佈。如果時空的確是絕對的,那麼我們就可以找到一個絕對靜止的參考系。根據馬克士威在 1861 和 1862 年發表的電磁波動方程,電磁波——光——的速度是固定的,數值是秒速 299,792,458 米。這就引申了一個問題:光速相對哪個參考系有此定值?如果找到一個參考系,在這參考系之中測量的光速等於每秒 299,792,458 米,那麼這個就是絕對靜止的參考系。

當時的物理學家稱呼這個參考系做以太,認為以太就是光線的傳播媒介。如果宇宙是絕對靜止的,以太這個特別的參考系就好像宇宙本身,宇宙間一切事物都相對以太運動,而光速只有在以太參考系裡才是秒速 299,792,458 米。

然而,科學進程往往曲折離奇、耐人尋味。1887 年,邁克生和莫雷合作做了一個實驗,去測量地球在以太中的速度。他們用的儀器叫做干涉儀,可以精確地量度光速在兩個互相垂直的方向的差別,稱為光程差。因為地球環繞太陽運動,他們預期在四季不同日期會測量到不一樣的光程差。令所有人驚訝的是,光程差在一年中任何時間都一樣是零!

邁克生和莫雷的實驗結果顯示,無論觀測者的運動速率和方向,光速都一樣是秒速 299,792,458 米,絲毫不差。這個發現與牛頓力學完全相反,根據伽利略轉換,速度是會疊加的,所以在移動中的地球上沿不同方向行進的光線速率就是每秒 299,792,458 米加或減地球在該方向上相對以太參考系的速率。這是牛頓力學和馬克士威電磁波動方程結合的結果,可是大自然卻說這是錯的!

少年愛因斯坦的煩惱

問題到底出在哪裡呢?當時的物理學界並不知道,在德國南部城市慕尼黑裡,一個高中生的腦海裡的一個問題,竟然是答案的關鍵。愛因斯坦原本在慕尼黑讀高中,因為忍受不住德國軍訓式的課堂教育,以精神健康問題為由中途退學,到瑞士一個叫阿勞(Aarau)的小鎮完成中學課程,同時準備報考蘇黎世聯邦理工學院(ETH Zürich)。

從慕尼黑的中學到他自蘇黎世聯邦理工學院畢業、並在朋友的幫助下勉強找到一份瑞士專利局二級專利員工作的期間,這個問題一直佔據著愛因斯坦的思緒:如果一個人能夠騎在光束之上,會看見靜止的電磁波嗎?根據牛頓時空觀,答案是肯定的。可是,馬克士威的電磁理論中並沒有用到以太這個概念。如果光速恆定這結論適用於所有參考系呢?可是,這樣牛頓和馬克士威的理論就互相矛盾了。馬克士威錯了嗎?不可能,他的電磁理論太美麗了,不可能錯的⋯⋯牛頓錯了嗎?可是,兩百多年來他的理論從未出錯⋯⋯抑或是兩個都錯了?

顯然,這裡有個難題,而難題的解答並不會使牛頓和馬克士威皆大歡喜。「我們的常識哪裡出錯了嗎?」愛因斯坦問道。

愛因斯坦通常只用半天就完成整天要做的工作,然後他就會在專利局辦公桌上思考和推導物理。一天,他突然發現了我們常識中的漏洞,而這個靈感徹底改變了世界。

愛因斯坦想像有一列以超高速行駛的火車,在直線路軌兩端上的雲同時閃電。我們身處火車中央,相隔兩道閃電的距離剛好一樣。愛因斯坦問:我們會看到閃電同時發生嗎?答案是不會的,因為火車正向前面那道閃電駛過去,同時遠離後面那道閃電,因此我們會首先看見前面的閃光。現在,如果在路軌旁的地面站著我們的朋友,他亦距離兩道閃電同樣遠。因為他相對兩道閃電而言都是靜止的,他就會看見兩道閃電同時發生。

這就導致了一個驚人的結論:「同時」這個概念並非絕對,兩件事情的發生次序,與觀測者的運動狀態有關!換句話說,時間是相對的。

意識到時間並非絕對的愛因斯坦,在 1905 年發表了一篇題為《論動體的電動力學》的論文。他在論文中以不同運動狀態觀察法拉弟電磁感生效應,推導出狹義相對論的參考系變換公式:

x' = \frac{x - u t}{\sqrt{1-{(u/c)}^2}}
t' = \frac{t - xu/c}{\sqrt{1-{(u/c)}^2}}

為簡化表達式,我們設 S' 沿 x 軸方向運動。狹義相對論的所有結論都可以由這裡開始推導出來,我們稱之為洛倫茲變換。

速率 = 距離/時間。三個變數,如果其中一個不變而另一個改變,那麼第三個變數也就必須改變。常識說時間是絕對的,如果光線走過的距離改變,其速率也會改變。愛因斯坦指出時間並非絕對,光速才是。時間的改變補償了距離的改變,使光速永遠不變。

原來,我們對於時間的常識有誤;原來,馬克士威是正確的,錯的是牛頓;原來,光線能夠在真空中傳播,並不需要以太。就是這篇論文,再加上愛因斯坦同年發表的另一篇論文《一個物體的慣性依賴於它所包含的能量嗎?》推導出史上最著名的公式 E = mc^2,狹義相對論從此取代牛頓的絕對時空觀。

十年光陰追逐重力 答案就在等效原理

愛因斯坦的狹義相對論並沒有考慮重力。愛因斯坦發表狹義相對論後,就致力尋找一個更廣義、能把重力包括進去的相對時空理論。

這裡要提一個經常出現的錯誤觀念:狹義相對論不適用於加速的情況。例如,有個誤解是雙生子佯謬違反了狹義相對論,這是不正確的。狹義相對論能夠描述物件受力加速,也能夠處理加速參考系(即非慣性參考系)的情況。誤解可能來自於在狹義相對論裡,慣性和非慣性參考系的處理有所不同。但這只不過跟牛頓力學一樣,在非慣性參考系裡的觀測者會看到虛擬的力,例如離心力和科氏力等,都不是真正的力。但物理上,加速度對狹義相對論完全沒有影響。

既然如此,我們為什麼需要廣義相對論?既然狹義相對論可以處理加速度,那麼把牛頓的萬有引力定律放進去不就可以了嗎?愛因斯坦也曾嘗試這樣做,但牛頓萬有引力定律的問題在於所謂的超距作用:重力不用任何時間就能傳遞,而相對論卻說沒有資訊能夠超越光速。其實電磁力的情況也一樣,物理學家需要考慮電磁力傳遞的時間差,這是我們在大學物理課會學到的所謂推遲勢。由於電磁波就是光,電磁力的傳播速度就是光速。如果我們假設重力的傳播速度也是光速,同樣利用推遲勢把萬有引力定律改造,得出的計算數值與觀測結果並不相符。

另一方面,除了把重力包括在內,廣義相對論對慣性和非慣性參考系一視同仁。這是因為狹義相對論的時空只能是平直的,而廣義相對論的時空則可以是彎曲的。換句話說,在狹義相對論裡我們只能用「直線」來畫座標系,而在廣義相對論裡用任何曲或直的線來畫都可以。

1907 年,愛因斯坦突然靈機一觸,想到了等效原理(equivalence principle)。試想像我們身處一艘太空船裡,太空船沒有窗戶。我們發現自己感覺就如日常一樣。那麼,我們能否分辨太空船究竟正停泊在地球上,還是以與地球的地心加速度大小一樣的加速度往上加速?愛因斯坦說,我們不可能分辨得到。另外一個假想實驗是我們身處一部電梯之中,然而我們感受不到任何重力。那麼我們又能否分辨電梯究竟正在往下跌,還是漂浮在太空之中?愛因斯坦說,我們同樣不可能分辨得到。等效原理指出,重力和加速度並不單止效應相同,兩者實際上是同樣的東西!

愛因斯坦回憶說,想到了等效原理的一刻,是他一生中最快樂的一刻。然而,他往後足足用了八年時間,才能由等效原理建構出正確的廣義相對論公式。在尋找正確方程的過程中,愛因斯坦發現他知道的數學工具並不足夠。廣義相對論處理的是彎曲的時空,需要用到所謂的非歐幾里得幾何學。愛因斯坦在蘇黎世聯邦理工學院的同學格羅斯曼正好是研究非歐幾何學的教授,因此愛因斯坦向他請教了很多數學上的問題。縱使格羅斯曼並沒有直接參與廣義相對論的研究,他對愛因斯坦的幫助是找到正確方程的關鍵。

廣義相對論處理的非歐幾何時空問題,需要使用張量、度規、協變導數的數學概念。張量可想像成具有多個方向的向量,雖然數學上這不完全正確;度規用來描述時空的幾何結構,定義了在非歐幾何上距離的計算規則;協變導數則是在非歐幾何上做微分的方法。我們不用深入探討每一項,也能知道要得心應手地使用這些工具,必須經過長時間的數學訓練。雖然愛因斯坦的數學不差,他始終不是專業的數學家。

1915 年暑假,愛因斯坦受數學家希爾伯特邀請到哥廷根科學院(Akademie der Wissenschaften zu Göttingen)講了六場講座。他們互相交流了意見,而希爾伯特也開始尋找正確的廣義相對論公式。希爾伯特的進展非常快,漸漸令愛因斯坦感受到很大壓力,他害怕希爾伯特會比自己先找到正確公式。愛因斯坦在同年 11 月於柏林普魯士科學院(Preußische Akademie der Wissenschaften)講了四場講座,並在最後一場發表了他發現的廣義相對論方程式:

G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu}

現在,我們稱之為愛因斯坦場方程式(Einstein field equations)。這是一組十式獨立的張量微分方程組(對,一條公式已包含了十條方程),方程組的解不單止能夠描述物體在重力影響下的運動,更能描述整個宇宙的演化。因為在廣義相對論裡,時空就是宇宙本身。

驗證廣義相對論

廣義相對論說,物體並非受引力吸引,而是沿著四維時空的曲率「下跌」。而扭曲時空的,就是質量。相對論大師惠勒曾用一句精闢的話總結愛因斯坦場方程式:

「時空告訴物質如何運動,物質告訴時空如何彎曲。」

以下這個比喻是標準的廣義相對論解釋:想像有張彈床,彈床上放了個保齡球,令彈床向下陷。一個乒乓球滾過保齡球旁邊,就向彈床下陷的方向跌落去了。看起來就好像是保齡球吸引乒乓球一樣。只要把這個比喻變成四維版本,或多或少就跟物理現實一樣。

質量扭曲時空亦會導致一個牛頓力學沒有的結論,可以用來檢驗廣義相對論是否正確。由於重力不是一種力而是時空曲率,那麼就連沒有質量的光也會「跌落」時空的凹陷裡。1919 年,天文學家愛丁頓遠征非洲觀察日全食,記錄天狗食日時太陽附近的星光。他對比其他時候所觀察到同一天區的星星,發現星星的位置有輕微偏差,數值恰好與廣義相對論的預言吻合。

星光偏折是愛因斯坦廣義相對論的首個驗證。現在,天文學家利用觀察超大質量黑洞或星系團造成的光線偏折去研究非常遙遠的星系。這個類似光學透鏡的效應,叫做重力透鏡(gravitational lensing)。除此之外,廣義相對論還預測了很多物理效應,都已被一一證實。例如水星近日點進動(mercury perihelion precession),其數值與使用廣義相對論計算一致;時空會被自轉的星球扭曲,叫做參考系拖拽(frame dragging),已被人造衛星驗證;重力場越強時間流逝速率越慢,叫做重力時間遲滯(gravitational time dilation),已被非常準確的原子鐘證實;2015 年正值愛因斯坦發表廣義相對論 100 週年,人類終於直接探測到廣義相對論的最後一個未驗證的預言——重力波(gravitational wave),這是極大質量在時空中產生的漣漪。

重力波以光速前進,就跟重力傳遞的速度一樣。太陽平均距離地球 1 億 5 千萬公里,即光太約要走 8 分 20 秒的路程。假如太陽此刻突然消失,地球仍然會繞著前太陽位置繞 8 分 20 秒左右,才會「感到」太陽的重力消失了。

愛因斯坦的錯誤

不過,愛因斯坦一開始並不相信重力波存在。他移居美國後寫了一篇論證重力波不存在的論文,投到美國一家期刊。當年,同儕審查(peer review)在美國科學界已經是常規,但在德國科學界卻不然。愛因斯坦因為不滿期刊未經他同意就將論文交給一位專家審閱,忿而徹回了該論文。後來,愛因斯坦發現他論文中用來證明重力波不存在的數學出了錯。現在看來,他徹回論文此舉令他得以發現這個錯誤。

另一個關於廣義相對論的愛因斯坦犯下的錯,就是耳熟能詳的宇宙膨脹。愛因斯坦發現,他親手推導出來的場方程式說,宇宙不是正在膨脹就是在收縮。這是因為重力的本質,時空扭曲只會令物體互相吸引,不會排斥。愛因斯坦認為宇宙必然是靜止的,因此就在方程式裡加入了一個常數項用來平衡吸引力。這個常數項就是上述愛因斯坦場方程中的 \Lambda g_{\mu\nu},其中 \Lambda 就是所謂的宇宙常數。1929 年,哈勃發現宇宙正在膨脹,愛因斯坦就徹回了宇宙常數。現在,天文學家發現宇宙非但正在膨脹,而且膨脹正在加速,愛因斯坦加入宇宙常數似乎是正確的。

廣義相對論的展望

今天,很多物理學家在找尋比廣義相對論更上一層樓的新時空理論。雖然廣義相對論的預言從未出錯,但我們知道,它至少不是關於宇宙的完整理論,因為廣義相對論與量子力學並不相容。理論物理學家們正埋首研究量子重力理論,而天文學家們也正不斷以新的觀測去測試廣義相對論。沒有人知道再過百年之後,廣義相對論會否仍是主宰時空的理論。但愛因斯坦與相對論,肯定佔有人類文明史冊之中極重要的一頁。

延伸閱讀:

我於立場新聞寫的《廣義相對論 100 周年》系列:
誰是愛因斯坦?
與光同行 — 愛因斯坦
愛因斯坦:廣義相對論

我以往關於愛因斯坦和相對論的文章:
拋開常識的學者:愛因斯坦 (Albert Einstein)
你也能懂相對論
光的祕密
照亮相對論的光 (上)
照亮相對論的光 (下)
超光速與時間倒流:叮噹可否不要老
重力波:愛因斯坦的最後預言 (上)
重力波:愛因斯坦的最後預言 (中)
重力波:愛因斯坦的最後預言 (下)
淺談 E=mc^2:愛因斯坦 137 歲誕辰
愛因斯坦教授 你是正確的
重力波:2016年邵逸夫天文學奬
光速:宇宙高速公路的速度限制
相對論、量子力學、黑洞和反物質

我於物理雙月刊寫的關於邁克生-莫雷實驗的文章:
1907年諾貝爾物理獎:阿爾伯特・邁克生

【打電話問功夫】教你如何用物理震碎內臟

一個方法是打斷骨頭,使骨頭插穿內臟。研究顯示,大約3,300牛頓的力就足以打斷正常的胸骨。牛頓是力的單位,如果一個人以10m/s^2的加速度出拳(等於地心加速度),3,300牛頓就等於330公斤的重拳,不過對職業拳擊手來說應該不算太難。打斷胸骨非常危險,有可能插穿肺部或心臟。不過,這應該不算「震碎」吧。

如果要盡量不傷及皮膚而震碎內臟,就不可以很大力打下去。方法是有的,就是要用很小力度打出很多拳,而且出拳的頻率要與內臟的共振頻率一樣。

這是什麼原理呢?當我們以不同頻率振動一個物體,其實就是在用不同頻率向物體輸入能量。根據物體的形狀、大小、材質等因素,它會傾向吸收以特定頻率輸入的能量,這個特定頻率就稱為共振頻率。當我們不斷以共振頻率輸入能量,物體的振幅就會越來越大,直到物體強度不足以保持形狀,最終碎裂。

所以,要震碎內臟是可能的,只要我們知道想要破壞的內臟的共振頻率,再以共振頻率快速打出連續普通拳即可。不過,問題是我們如何知道對方體內各個內臟的共振頻率?雖然不同內臟的共振頻率可以靠實驗去找出來,但各人體型不同,內臟的大小也就有所差異了。

其中一個方法是,在比賽之前陪同對手去醫院做一次全身磁力共振成像,就可以測量對手各內臟的形狀、大小和位置,然後再去找一個差不多大小的內臟做共振實驗,就能準確找出對手每個內臟的共振頻率,比賽起來就更得心應手了。不過,如果走去問「因為我想震碎你的內臟,請你跟我去做一次磁力共振成像好嗎?」很難想像對手會答應吧。

另外一個方法,在科學研究之中叫做「試探性」,就是找很多個與對手體型差不多的人,拿到他們的內臟(別問我要如何做,我教物理學的,不是生物學),然後逐一測量每個人內臟的共振頻率,取其平均值。在比賽時,只要不斷以該平均值差不多的頻率嘗試,應該就能夠在實戰中找出對手內臟的實際共振頻率,輕易將之震碎。我建議雙手各以不同頻率一起使出連續普通拳,高手過招,攻擊機會稍縱即逝,兩隻手一起試,所需時間少一半。

說了這麼多,究竟人體內臟的共振頻率是多少啊?我稍為Google了一下,找到一些用人體模型做的共振頻率研究。因為是用模型去做,不能準確量度,而且也不能模擬內臟。普遍認為,人體如受到10Hz至1,000Hz的振盪,都會造成不同程度的不適和傷害,嚴重的可以影響新陳代謝、破壞神經系統,甚至令心臟停止跳動。哇,殺人了!不過,10Hz即是1秒打10拳,已經快過葉問李小龍了吧。

所以,與其希望震碎對手內臟,不如認真鍛練身體,打出一記認真拳直接破敵吧。

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延伸閱讀:

從物理看一拳超人有多強》- 余海峯

卡西尼號:在土星環看見宇宙

To boldly go where no man has gone before. – Star Trek

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卡西尼號穿越土星與土星環之間時拍攝的土星表面大氣情況,可見一巨型風暴。Image courtesy of NASA.

地球時間2017年4月26號,環繞土星運行的卡西尼太空深測器,勇敢到達前人未境之地,穿越了土星與土星環之間。

這次俯衝,展開了卡西尼號最後任務的序幕。接下來幾個月,卡西尼號每6日都會俯衝土星與土星環之間一次。2017年9月15號,卡西尼號就會直接衝進土星大氣層,完成長達20年的任務。卡西尼號將會沿途收集土星數據,即時傳送回地球,直至土星大氣將卡西尼號壓碎一刻。

1997年10月15號升空的卡西尼號曾兩度探訪金星,借助金星重力使出天體力學絕技「重力助推」,金星重力就好像彈弓把卡西尼號彈射飛向外太陽系。然後它又掠過月球和地球、小行星2685以及木星,然後於2004年7月1號進入環繞土星軌道。

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卡西尼號拍攝的土星環。Image courtesy of NASA.

卡西尼號並非隻身探險,它身上帶著另一個探測器惠更斯號。2004年12月25號,惠更斯號與卡西尼號分離,並於2005年1月14號成功降落土衛六泰坦。惠更斯號把泰坦上拍攝的影像和所有科學數據傳送上卡西尼號,然後由卡西尼號傳回地球。這是史上首次降落於外太陽系天體的任務。

公元1655年,荷蘭天文學家克里斯蒂安・惠更斯(Christiaan Huygens, 1629-1695)提出,伽利略在1610年觀察到的土星「耳朵」其實是個環。惠更斯使用自製的折射望遠鏡發現了泰坦,繼伽利略發現木星衛星後首次觀察到其他行星的衛星。

1671年,法國天文學家喬凡尼・卡西尼(Giovanni Domenico Cassini, 1625-1712)發現了土衛三、土衛四、土衛五和土衛八。卡西尼也發現了土星環的一條主要縫隙,現在我們稱之為卡西尼環縫。因為卡西尼和惠更斯對土星的觀察和研究貢獻,他們成為了土星天文研究的代名詞。

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卡西尼號拍攝的土星全貌照片「The Day The Earth Smiled」。右下角的一點,就是地球。那天,卡西尼號拍下了地球的微笑。Image courtesy of NASA.

過去20年,卡西尼號收集了非常豐富的科學數據,使愚蠢的人類眼界大開。透過卡西尼號的眼睛,我們發現了土星7個新的衛星,更親眼目睹一個新衛星正在土星環之中形成;我們看見了泰坦上的液態烷河流;我們看見了30年一次的土星巨型風暴「大白班」狂暴地釋放輻射;我們看見土星極地的六邊型旋渦;我們發現土衛二南極地底可能有液態水海洋存在。還有更多、更多。

人類從12億公里外看見了地球,看見了我們自己。看見了人類在廣闊宇宙裡如何渺小、探索宇宙的夢想又如何偉大。

謝謝大家/那麼守時/來到這兒
我在土星的演唱會/現在開始
只要讓我在/土星環的基地
看你/看你/看到你
——《土星環》

謝謝您們,卡西尼號、惠更斯號,再見了。

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卡西尼號最後任務的軌道。Image courtesy of NASA.

延伸閱讀:

NASA卡西尼號最後任務網頁

封面圖片:卡西尼號拍攝的土星 (NASA)